【正文】 明，沒有遮蔽的整個(gè)波面對(duì) P點(diǎn)的作用等于第一個(gè)波帶在該點(diǎn)的作用的一 半。當(dāng)置于 P 處的屏沿著圓孔的對(duì)稱軸線前進(jìn)時(shí)，屏上將看到光強(qiáng)不斷地變化。如果帶數(shù)不是整數(shù)，那么合振幅介乎上述最大值和最小值之間。與 k為奇數(shù)相對(duì)應(yīng)的那些 P點(diǎn)，合振幅 Ak較大；與 k 為偶數(shù)相對(duì)應(yīng)的那些 P 點(diǎn)， Ak較小。 ? ?? ? 02020202 2/ rkrkrrr k ?? ????? 式中略去了 k2λ2/4。這個(gè)整數(shù) k與圓孔的半徑 (ρ =ρ k)、光的波長(zhǎng)λ以及圓孔的位置 (即 R和 r0)有關(guān)。P 點(diǎn)與波面上極點(diǎn) B0之間的距離為 r0。光通過光闌上的圓孔，ρ為圓孔的半徑，S 為光通過圓孔時(shí)的波面。圖 57為菲涅耳圓孔衍射的實(shí)驗(yàn)原理示意圖。如圖 56 所示 oc 的長(zhǎng)度 就是 P點(diǎn)的振幅。 第二半波帶、第三半波帶做同樣的分析。因此這 m個(gè)矢量的合成矢量即為第一個(gè)半波帶的合振幅。通過 O點(diǎn)的水平線 表示以波前頂點(diǎn) B0 為中心的小環(huán)帶對(duì)P的貢獻(xiàn)，位相為零。我們將每一個(gè)半波帶分割成 m 個(gè)更窄的小環(huán)帶，相鄰小環(huán)帶在 P/m。各帶在 P0點(diǎn)引起振幅的大小近似看成遞減的等差數(shù)列，故可認(rèn)為 ak = ak1 /2+ ak+1 /2。為了計(jì)算分式，讓我們考察如圖 54所示的球冠，其面積為 ? ? ? ????? c o s12c o s12 2 ??????? RRRS ? ?? ?02022c os rRR rrRR k? ????? 圖 54將上列兩式分別微分，得 ??? dRds sin2 2?? 和 ? ?0sin rRR drrd kk ???? 將上式代入前式，得 02 rR Rdrrds kk ??? ? 因?yàn)?,. ???kr ，可將上式中的微分 drk 視作相鄰半波帶間 r 的差值λ / dS視作半波帶的面積，于是 0rR Rrskk ???? ?? 由此可知，與 k 無關(guān)，即它對(duì)每個(gè)半波帶都是相同的，這樣，影響 ak大小的因素中只剩下傾斜因子 f(θ k)，從一個(gè)半波帶到鄰近一個(gè)半波帶，θ k 的數(shù)值變化甚微，因而 f(θ k)和 ak隨 k 的增加而緩慢地減小。 因?yàn)橄噜徃鲙У倪吘夵c(diǎn)到 P 點(diǎn)的光程差均為 2? ， 故稱此環(huán)形帶為菲涅耳半波帶。 我 們 劃 取 ,2020 ???? rPBr 在 S 面 上 做 圓 ， 并 依 次 取23,22 0302 ?? ???? rrrr ?分別在 S面上做 一系列同心圓。連接 QP交 S于 B0，我們稱 B0點(diǎn)為波面 S的極點(diǎn)。也可以通過簡(jiǎn)單的 圖 53 中， Q 為一點(diǎn)光源向空間發(fā)出球面波。關(guān)于夫瑯和費(fèi)衍射，由于使用的是平行光束 ，故可 167。由于實(shí)驗(yàn)裝置中經(jīng)常使用平行光束，故這種衍射較菲涅耳衍射更為重要。在討論時(shí)，通常可以按光 源和考察點(diǎn)到障礙物距離的不同情況，把衍射現(xiàn)象分為兩類。這相當(dāng) (3) 從面元 dS所發(fā)次波在 P處的振幅正比于 dS的面積，且與傾角θ有關(guān)，其中θ為 dS的法線 N 與 dS到 P 點(diǎn)的連線 r 之間的夾角，即從 dS發(fā)出的次波到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的振幅隨θ的增大而減 小 (傾斜因數(shù) ) (4) 次波在 P 根據(jù)以上的假設(shè)，可知面積元 dS 發(fā)出的次波在 P 點(diǎn)的合振動(dòng)可表示為? ? ? ?tkrrdSfdA ??? ?? c os 或 ? ? ? ?dStkrrfCdA ??? ?? c os (51) 其中 f(θ )為隨θ角增大而減小的函數(shù)， C 如果波面上各點(diǎn)的振幅有一定的分布，則面元 dS發(fā)出次波到達(dá) P 點(diǎn)的振幅與該面元上的振幅成正比，若分布函數(shù)為 A0(Q)，則波面在 P 點(diǎn)所產(chǎn)生的振動(dòng)為? ? ? ? ? ?dStkrr QAfCdA ??? ?? c os0 如果將波面 S 上所有面積 元在 P 點(diǎn)的作用加起來，即可求得波面 S在 P點(diǎn)所產(chǎn)生的合振動(dòng) ? ? ? ? ? ?dStkrr QAfCdAA s ???? ?? ?? c os0 (52) 或?qū)懗蓮?fù)數(shù)形式 ? ? ? ? ? ?dSer QAfCdAA tkris ???? ?? ?? 0 (53) (52)式稱為菲涅耳衍射積分，一般說來計(jì)算此積分式是相當(dāng)復(fù)雜的，但在波面對(duì)于通過 P點(diǎn)的波面法線具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的情況下，上項(xiàng)積分就比較簡(jiǎn)單， 借助于惠更斯－菲涅耳原理可以解釋和描述光束通過各種形狀的障礙物時(shí)所產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象。波面前方空間某一點(diǎn) P 的振動(dòng)可以由 S 面上所有 面積元所發(fā)出的次波在該點(diǎn)疊加后的合振幅來表示。因此必須能夠定量計(jì)算光 所到達(dá)的空間范圍內(nèi)任何一點(diǎn)的振幅，才能更精確地解釋衍射現(xiàn)象。事實(shí)上，光的衍射現(xiàn) 象要細(xì)微得多。但是，原始的惠更斯原理是十分粗糙的，用它不能說明衍射的存在，更不能解釋波的干涉和衍射現(xiàn)象，而且由惠更斯原理還會(huì)導(dǎo)致有倒退波的存在，而其實(shí)并不存在倒退波。光的直線傳播、反射、折射等都能以此來進(jìn)行較好的解釋。若光速為 v，為了求得另一時(shí)刻τ的波面的位置。圖 51 可以用來說明這個(gè)原理?；莞乖岢龃尾ǖ募僭O(shè)來闡述波的傳播現(xiàn)象，從而建立了惠更斯原理。 167。例如把楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)裝置中的一條縫遮住，仔細(xì)觀察，屏幕上仍可觀察到明暗分布不均勻的現(xiàn)象。在幾 何光學(xué)中，把光看成是沿直線傳播的“光線”，是在障礙物尺度遠(yuǎn)大于光波波長(zhǎng)時(shí)的近似。聲波的波長(zhǎng)可達(dá)到幾十米，無線電波的波長(zhǎng)可達(dá)幾百米，它們遇到的障礙物的線度通常要小于波長(zhǎng)，因而觀察到的衍射現(xiàn)象較為明顯。根據(jù)機(jī)械波的知識(shí)可知，衍射現(xiàn)象是否明顯，主要決定于障礙物線度和波長(zhǎng)大小之間的關(guān)系。 第五章 光的衍射 1 能夠證明光的波動(dòng)性的另一類重要現(xiàn)象是光的衍射現(xiàn)象。光波同機(jī)械波一樣，也能夠產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。只有障礙物的線度和波長(zhǎng)可比擬時(shí)，衍射現(xiàn)象才明顯地表現(xiàn)出來。 光波的波長(zhǎng)很小，與我們周圍的物體相比，物體的尺寸遠(yuǎn)大于光的波長(zhǎng)，因此人們的直觀感覺是光沿直線傳播。 在光傳播的途中，如果遇到線度很小的障礙物，光波的衍射會(huì)明顯地表現(xiàn)出來。若把一條細(xì)金屬絲放在光源與屏幕中間，屏上“影” 以上幾個(gè)實(shí)例從另一個(gè)側(cè)面說明了光的波動(dòng)性。 2 惠更斯 — 菲涅耳原理 一、惠更斯原理 在研究波的傳播時(shí)，總可以找到同位相 各點(diǎn)的幾何位置，這些點(diǎn)的軌跡是一個(gè)等相面，叫做波面，我們通常要把要考查的波面稱為波前?；莞乖砜杀硎鋈缦拢喝魏螘r(shí)刻波面上的每一點(diǎn)都可作為次波的波源，各自發(fā)出球面次波；在以后的任何時(shí)刻，所有這些次波波面的包絡(luò)面形成 根據(jù)這個(gè)原理，可以從某一時(shí)刻已知的波面位置求出另一時(shí)刻波面的位置。圖中 SS是某一時(shí)刻 (t=0)的波面，箭頭表示光的傳播方向?？梢园?原波面上的每一點(diǎn)作為次波源，各點(diǎn)均發(fā)出次波，經(jīng)時(shí)間τ后，次波傳播的距離為 r=vτ，于是各次波的包絡(luò)面 S′ S′就是在時(shí)刻τ的波面。此外，惠更斯原理還可解釋晶體的雙折射現(xiàn)象。由于惠更斯原理的次波假設(shè)不涉及波的時(shí)空周期特性 —— 波長(zhǎng)、振幅和位相，因而不能說明在障礙物邊緣波的傳播方向偏離直線的現(xiàn)象。例如還有明暗相間的條紋出現(xiàn)，表明各點(diǎn)的振幅大小不等。 菲涅耳根據(jù)惠更斯的“次波”假設(shè)，補(bǔ)充了描述次波的基本特征 —— 位相和振幅的定量表示式，并增加了“次波相干疊加”的原理，從而發(fā)展成為惠更斯－ 如圖 52所示的波面 S上每個(gè)面積元 dS都可以看成新的波源，它們均發(fā)出次波。面積元 dS 所發(fā)出的各次波的振幅和位相符 (1) (1) 在波動(dòng)理論中，波面是一個(gè)等dS 面上各點(diǎn)所發(fā)出的所有次波都有相同的初位相 (可令φ 0=0) (2) (2) (2) 次波在 P點(diǎn)處所引起的振動(dòng)的振幅與 r成反比。以下將討論幾種幾何形狀特殊的開孔和障礙物所產(chǎn)生的衍射花樣的光強(qiáng)分布。第一類是障礙物離光源和考察點(diǎn)的距離都是有限的，或其中之一的距離為有限的，這一類稱為菲涅耳衍射，又稱近場(chǎng)衍射；第二類是光源和考察點(diǎn)到障礙物的距離可以認(rèn)為是無限遠(yuǎn)，即實(shí)際上使用的是平行光束，這種特殊的衍射情況，稱為夫瑯和費(fèi)衍射，又稱遠(yuǎn)場(chǎng)衍射。 要直接應(yīng)用 (52)式進(jìn)行菲涅耳衍射的計(jì)算是很困難的，因此，可以采用振幅矢量疊加法作近似的處理。 3 光波衍射在空間的強(qiáng)度分布可以根據(jù)積分式 (53)求得。取任一瞬時(shí)的波面 S，研究該波面在對(duì)稱軸上任一點(diǎn) P上的作用。設(shè) B0點(diǎn)到 P 點(diǎn)的距離為 r0，由圖可知 B1B2B3??等各點(diǎn)到 P點(diǎn)的光程依次變 大 。它們將 S面分成許多環(huán)形帶。下面討論半波帶對(duì) P0 點(diǎn)的作用，若分別以a a a3…an表示各半波帶所發(fā)出的次波在 P點(diǎn)所產(chǎn)生的振幅，由于相鄰兩個(gè)半波帶所發(fā)次波到達(dá) P點(diǎn)時(shí)位相恰恰相反，所以 K個(gè)帶所發(fā)次波到達(dá) P點(diǎn)時(shí)疊加的結(jié)果，其合振幅 A(P)為 kk aaaaaapA 154321 )1()( ????????? ? (54) 下面來比較 a a a3…an各振幅的大小，按惠更斯 菲涅耳原理，得第 k個(gè)帶所發(fā)次波到達(dá) P點(diǎn)時(shí)的振幅為 ? ? kkkk rSfa ?? ? (55) 式中為第 k 個(gè)半波帶的面積，是它到 P 點(diǎn)的距離， f( k)為其傾斜因子。所以，各個(gè)半波帶在 P點(diǎn)處產(chǎn)生振動(dòng)的振幅 ak 隨 k的增大而緩慢減小，其位相逐個(gè)相反。因此 (54) 式 可 以 變 為? ? ?????? ????????????????? ????????? ???? ?? 2)22(22222 1|15433211 nkkk aaaaaaaaaaaPA ? ? 221 naaPA ?? ? ? 221 naaPA ?? ? ? ? ? 212 11 nn aaPA ???? (56) ，應(yīng)用惠更斯 —— 菲涅耳原理來計(jì)算從點(diǎn)光源發(fā)出 的光在傳播到任一觀察點(diǎn) P 時(shí)的振幅，只要把球形波面相對(duì)于 P點(diǎn)分成若干個(gè)半波帶，并將第一帶和最末一個(gè)帶所發(fā)的次波在 P點(diǎn)處產(chǎn)生的振幅相加或相減再除 2 二、矢量圖解法 如是光波波面?zhèn)鞑ミ^程中受到光闌的限制，暴露的波面所包含的半波帶數(shù)不是整數(shù)，或不足一個(gè)，就需要對(duì)每一個(gè)半波帶再進(jìn)一步細(xì)分。振動(dòng)的合成可用圖 (55)中的矢量圖來表示。矢量 1A? , 2A? , 3A? ,?分別代表各小環(huán)帶對(duì) P 點(diǎn)的貢獻(xiàn)，若暫時(shí)不考慮傾斜因子的影響，將它們首尾相接，/m 角度，當(dāng)連接到第m個(gè)小環(huán)帶時(shí)，其位相剛好與中心頂點(diǎn) O的位相相差π。 當(dāng) m→∞時(shí)，折線逐漸變成半園形曲線。 由于傾斜因子的影響，使得它們的半徑 逐漸縮小，當(dāng) n→∞時(shí)，此螺旋線的終點(diǎn) 趨歸于園心 C。即當(dāng) n→∞時(shí)， A(P)=A1/2 下面我們用上節(jié)的知識(shí)來研究 點(diǎn)光源所發(fā)出的光通過圓孔時(shí)的衍射現(xiàn)象。圖為 O為光源?，F(xiàn)在先計(jì)算到達(dá)垂直于圓孔面的對(duì)稱軸上一點(diǎn) P時(shí)的振幅。首先考慮通過圓孔部分波面的面積所含有的完整的菲涅耳帶的數(shù)目。由圖 57 ? ? 202022022 2 hhrrrhrr kkk ???????? (57) hrrrk 0202 2??? 因 h 比 r0小得多，所以上式中 h2一項(xiàng)可略去。又由圖 57 可知 ? ? 2222 kk rhRR ????? (r0+h)2 ? ?0202 rR rrh k ??? 將 0202 rkrrk ??? ? 和 h 的表達(dá)式代入 (57) 式，得? ????????? ????????RrRrrRkrRrk Rk11020020022???????(58) 果用平行光照射圓孔， R→∞，則 0rkk ?? ?? (59) 按 (56)式， P 點(diǎn)合振幅的大小取決于露出的帶數(shù) k，而按 ( 59 )式，當(dāng)波長(zhǎng)及圓孔的位置和大小都給定時(shí)， k