【正文】 考點(diǎn)】 6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性； RG：數(shù)學(xué)歸納法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論 a 的取值范圍，即可得到 f（ x）的單調(diào)性； （Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（ x）的定義域?yàn)椋ī?1， +∞）， f′（ x） =，①當(dāng) 1＜ a＜ 2 時(shí)，若 x∈（﹣ 1， a2﹣ 2a），則 f′（ x）＞ 0，此時(shí)函數(shù) f（ x）在（﹣ 1， a2﹣2a）上是增函數(shù)，若 x∈（ a2﹣ 2a， 0），則 f′（ x）＜ 0，此時(shí)函數(shù) f（ x）在（ a2﹣ 2a， 0）上是減函數(shù)，若 x∈（ 0， +∞），則 f′（ x）＞0，此時(shí)函 數(shù) f（ x）在（ 0， +∞）上是增函數(shù)．②當(dāng) a=2 時(shí)， f′（ x）≥ 0，此時(shí)函數(shù) f（ x）在（﹣ 1， +∞）上是增函數(shù)，③當(dāng) a＞ 2 時(shí)，若x∈（﹣ 1， 0），則 f′（ x）＞ 0，此時(shí)函數(shù) f（ x）在（﹣ 1， 0）上是增函數(shù)，若 x∈（ 0， a2﹣ 2a），則 f′（ x）＜ 0，此時(shí)函數(shù) f（ x）在（ 0，a2﹣ 2a）上是減函數(shù)，若 x∈（ a2﹣ 2a， +∞），則 f′（ x）＞ 0，此時(shí)函數(shù) f（ x）在（ a2﹣ 2a， +∞）上是增函數(shù)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng) a=2時(shí)，此時(shí)函數(shù) f（ x）在（﹣ 1， +∞）上是增函數(shù)，當(dāng) x∈（ 0， +∞）時(shí)， f（ x）＞ f（ 0） =0， 即 ln（ x+1）＞，（ x＞ 0），又由（Ⅰ）知，當(dāng)a=3時(shí)， f（ x）在（ 0， 3）上是減函數(shù)，當(dāng) x∈（ 0， 3）時(shí)， f（ x）＜f（ 0） =0， ln（ x+1）＜，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明＜ an≤成立，①當(dāng) n=1 時(shí)，由已知，故結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng) n=k+1 時(shí)， an+1=ln（ an+1）＞ ln（）， ak+1=ln（ ak+1）＜ ln（），即當(dāng) n=k+1 時(shí)，成立，綜上由①②可知，對(duì)任何 n∈ N?結(jié)論都成立．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，綜合性較強(qiáng)，難度較大 ． 第二篇：高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）（含解析版） ,14級(jí) 2021 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分） 1．（ 5 分）設(shè) z=，則 z 的共軛復(fù)數(shù)為（）A．﹣ 1+3iB．﹣ 1﹣ 3iC． 1+3iD． 1﹣ 3i2．（ 5 分）設(shè)集合 M={x|x2﹣ 3x﹣ 4＜ 0}， N={x|0≤ x≤ 5}，則 M∩ N=（） A．（ 0， 4]B． [0， 4） C． [﹣ 1，0） D．（﹣ 1， 0]3．（ 5 分）設(shè) a=sin33176。在 Rt△ BEA 中，設(shè) AE=a，則 AB=2a， BE=a，在 Rt△ AEF中，則 EF=a， AF=a，在 Rt△ BEF 中，則 BF=2a，∴異面直線(xiàn) AB 與 CD所成的角即是∠ BAF，∴ cos∠ BAF===．故選： B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二面角和異面直線(xiàn)所成的角，關(guān)鍵是構(gòu)造二面角的平面角和異面直線(xiàn)所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力和作圖能力，屬于難題． 12．（ 5 分）函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù) y=g（ x）的圖象關(guān)于直線(xiàn) x+y=0對(duì)稱(chēng)，則 y=f（ x）的反函數(shù)是（） A． y=g（ x） B． y=g（﹣ x）C． y=﹣ g（ x） D． y=﹣ g（﹣ x）【考點(diǎn)】 4R：反函數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】設(shè) P（ x， y）為 y=f（ x）的反函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則 P 關(guān)于 y=x 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P′（ y， x）一點(diǎn)在y=f（ x）的圖象上， P′（ y， x）關(guān)于直線(xiàn) x+y=0 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P″（﹣ x，﹣ y）在 y=g（ x）圖象上，代入解析式變形可得．【解答】解：設(shè) P（ x，y）為 y=f（ x）的反函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則 P 關(guān)于 y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P′（ y， x）一點(diǎn)在 y=f（ x）的圖象上，又∵函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù)y=g（ x）的圖象關(guān)于直線(xiàn) x+y=0 對(duì)稱(chēng)，∴ P′（ y， x）關(guān)于直線(xiàn) x+y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P″（﹣ x，﹣ y）在 y=g（ x）圖象上，∴必有﹣ y=g（﹣ x），即 y=﹣ g（﹣ x）∴ y=f（ x）的反函數(shù)為： y=﹣ g（﹣ x）故選： D．【點(diǎn)評(píng)】本 題考查反函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)稱(chēng)性，屬中檔題． 二、填空題 (本大題共 4 小題，每小題 5 分 )13．（ 5 分）的展開(kāi)式中 x2y2 的系數(shù)為 70 ．（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】 DA：二項(xiàng)式定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 5P：二項(xiàng)式定理．【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x、 y的冪指數(shù)都等于 2，求得 r的值，即可求得展開(kāi)式中 x2y2的系數(shù)．【解答】解：的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 Tr+1=?（﹣ 1） r?? =?（﹣ 1） r?，令 8﹣ =﹣ 4=2，求得 r=4，故展開(kāi)式中 x2y2的系數(shù)為 =70，故答案為： 70．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng) 用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題． 14．（ 5分）設(shè) x、 y 滿(mǎn)足約束條件，則 z=x+4y 的最大值為 5 ．【考點(diǎn)】 7C：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 31：數(shù)形結(jié)合．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程的斜截式，由圖得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得 C（ 1， 1）．化目標(biāo)函數(shù) z=x+4y為直線(xiàn)方程的斜截式，得．由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò) C 點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在 y 軸上的截距最大， z 最大．此時(shí) zmax=1+4 1=5．故答案為： 5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題． 15．（ 5 分）直線(xiàn) l1 和 l2 是圓 x2+y2=2 的兩條切線(xiàn)，若 l1 與l2 的交點(diǎn)為（ 1， 3），則 l1 與 l2 的夾角的正切值等于．【考點(diǎn)】 IV：兩直線(xiàn)的夾角與到角問(wèn)題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 5B：直線(xiàn)與圓．【分析】設(shè) l1 與 l2 的夾角為 2θ，由于 l1 與 l2 的交點(diǎn) A（ 1， 3）在圓的外部，由直角三角形中的邊角關(guān)系求得 sinθ =的值，可得 cosθ、 tanθ的值，再根據(jù) tan2θ =，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：設(shè) l1 與 l2 的夾角為 2θ，由于 l1 與 l2 的交點(diǎn) A（ 1， 3）在圓的外部，且點(diǎn) A與圓心 O 之間的距離為 OA==，圓的半徑為 r=，∴ sinθ ==，∴ cosθ =， tanθ ==，∴ tan2θ ===，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線(xiàn)和圓相切的性質(zhì)，直角三角形中的變角關(guān)系，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正切公式的應(yīng)用，屬于中檔題． 16．（ 5 分）若函數(shù) f（ x）=cos2x+asinx 在區(qū)間（，）是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是 （﹣∞，2] ．【考點(diǎn)】 HM：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用； 57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】利用二倍角的余弦公式化為正弦，然后令 t=sinx 換元，根據(jù)給出的 x 的范圍求出 t 的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口方向及對(duì)稱(chēng)軸的位置列式求解 a的范圍．【解答】解：由 f（ x） =cos2x+asinx=﹣ 2sin2x+asinx+1，令 t=sinx，則原函數(shù)化為 y=﹣ 2t2+at+1．∵ x∈（，）時(shí) f（ x）為減函數(shù)，則 y=﹣ 2t2+at+1在 t∈（， 1）上為減函數(shù)，∵ y=﹣ 2t2+at+1 的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸方程為 t=．∴，解得： a≤ 2．∴ a 的取值范圍是（﹣∞， 2]．故 答案為：（﹣∞， 2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元法，關(guān)鍵是由換元后函數(shù)為減函數(shù)求得二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的位置，是中檔題． 三、解答題 17．（ 10 分）△ ABC的內(nèi)角 A、 B、 C的對(duì)邊分別為 a、 b、 c，已知 3acosC=2ccosA， tanA=，求 B．【考點(diǎn)】 GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用； HP：正弦定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 58：解三角形．【分析】由 3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式可得 tanC，利用 tanB=tan[π﹣（ A+C） ]=﹣ tan（ A+C）即可得出．【解答】解：∵ 3acosC=2ccosA，由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，∴ 3tanA=2tanC，∵ tanA=，∴ 2tanC=3=1，解得 tanC=．∴ tanB=tan[π﹣（ A+C） ]=﹣ tan（ A+C） =﹣ =﹣ =﹣ 1，∵ B∈（ 0，π），∴ B=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正切公式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題． 18．（ 12 分）等差數(shù)列 {an}的 前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a1=13， a2 為整數(shù)，且 Sn≤ S4．（ 1）求 {an}的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè) bn=，求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和 Tn．【考點(diǎn)】 8E：數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 55：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（ 1）通過(guò) Sn≤ S4 得 a4≥ 0， a5≤ 0，利用 a1=1 a2 為整數(shù)可得d=﹣ 4，進(jìn)而可得結(jié)論； （ 2）通過(guò) an=13﹣ 3n，分離分母可得 bn=（﹣），并項(xiàng)相加即可．【解答】解：（ 1）在等差數(shù)列 {an}中，由 Sn≤ S4得： a4≥ 0， a5≤ 0，又∵ a1=13，∴， 解得﹣≤ d≤﹣，∵ a2 為整數(shù)，∴ d=﹣ 4，∴ {an}的通項(xiàng)為： an=17﹣ 4n； （ 2）∵ an=17﹣ 4n，∴ bn===﹣（﹣），于是 Tn=b1+b2+?? +bn=﹣ [（﹣） +（﹣） +?? +（﹣） ]=﹣（﹣） =．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，考查并項(xiàng)相加法，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 19．（ 12 分）如圖，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中，點(diǎn) A1 在平面 ABC內(nèi)的射影 D 在 AC 上，∠ ACB=90176?！唷?FAC=45176。則異面直線(xiàn)AB 與 CD 所成角的余弦值為（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】 LM：異面直線(xiàn)及其所成的角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 5G： 空間角．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再構(gòu)造出異面直線(xiàn) AB 與 CD 所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出問(wèn)題的答案．【解答】解：如圖，過(guò) A點(diǎn)做AE⊥ l，使 BE⊥β，垂足為 E，過(guò)點(diǎn) A 做 AF∥ CD，過(guò)點(diǎn) E 做 EF⊥ AE，連接 BF，∵ AE⊥ l∴∠ EAC=90176。 =b，∴ c＞ b＞ a故選： C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)值大小的比較，涉及誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題． 4．（ 5 分）若向量、滿(mǎn)足： ||=1，（ +）⊥，（ 2+）⊥，則||=（） A． 2B． C． 1D．【考點(diǎn)】 9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 5A：平面向量及應(yīng)用． 【分析】由條件利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，可得（ +）? =0，（ 2+）? =0，由此求得 ||．【解答】解：由題意可得，（ +）? =+=1+=0，∴ =﹣ 1； （ 2+）? =2+=﹣ 2+=0，∴ b2=2，則 ||=，故選： B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量垂直，則它們的數(shù)量積等于零，屬于基礎(chǔ)題． 5．（ 5 分）有 6名男醫(yī)生、 5 名女醫(yī)生，從中選出 2 名男醫(yī)生、 1 名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有（） A． 60種 B． 70 種 C． 75 種 D． 150種【考點(diǎn)】 D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān) 題】 5O：排列組合．【分析】根據(jù)題意，分 2步分析，先從 6 名男醫(yī)生中選 2 人，再?gòu)?5 名女醫(yī)生中選出 1 人，由組合數(shù)公式依次求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，先從 6 名男醫(yī)生中選 2 人，有 C62=15 種選法，再?gòu)?5 名女醫(yī)生中選出 1 人，有 C51=5 種選法，則不同的選法共有 15 5=75種； 故選： C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意區(qū)分排列、組合的不同． 6．（ 5分）已知橢圓 C： +=1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦點(diǎn)為 F F2，離心率為，過(guò) F2 的直線(xiàn) l交 C于 A、 B 兩點(diǎn)，若 △ AF1B 的周長(zhǎng)為 4，則 C 的方程為（） A． +=1B． +y2=1C． +=1D． +=1【考點(diǎn)】 K4：橢圓的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 5D：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用△ AF1B 的周長(zhǎng)為 4，求出 a=，根據(jù)離心率為，可得c=1，求出 b，即可得出橢圓的方程．【解答】解：∵△ AF1B的周長(zhǎng)為 4，∵△ AF1B 的周長(zhǎng) =|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴ 4a=4，∴ a=，∵離心率為，∴， c=1，∴ b==，∴橢圓 C 的方程為 +=1．故選： A．【點(diǎn)評(píng)】本題