【正文】 22 112 ??????? ? ???????? ?? ???????? nnnnnnnnnnnnnn babba aabbba aab ， ? ?nnnnnnnnn bbbbbbbbb ??????? ???? 11112 22 是等差數(shù)列 (2)又 23133 12112 ??????? baaaa ， 又 2 232221 ??? babb 22)1(21)1(422limlim)1(21222222)1(2,22211???????????????????????????nnnnnabbbnnbbannbdnnnnnnnn?公差 數(shù)列的概念與性質(zhì) 練習(xí) 一、選擇題 1．設(shè) ? ? 則?? ,13121111 2nnnnnns ????????（ D ） 8 A． ? ? ? ?312122 ??? snnns 時(shí)，項(xiàng)，當(dāng)共有 B． ? ? ? ?413121221 ????? snnns 時(shí)，項(xiàng)，當(dāng)共有 C． ? ? ? ?3121222 ???? snnnns 時(shí)，項(xiàng)，當(dāng)共有 D． ? ? ? ?4131212212 ?????? snnnns 時(shí)，項(xiàng)，當(dāng)共有 2．等比數(shù)列 ??an 中， 568 10987654321 ?????????? aaaaaaaaaa ，那么 1514131211 aaaaa ???? 的值為（ C ） A． 756 B． 256 C． 392 D． 448 3． 11． 等比數(shù)列 {an } 中， a3 =7，前三項(xiàng)之和 S3 =21，則公比 q的值是 ( C ) （Ａ） 1 （Ｂ） 21 （Ｃ） 1或 21 （Ｄ） 1或21 4．首項(xiàng)為 1，公差不為零的等差數(shù)列中的 a a a3 4 6， ， 是一個(gè)等比數(shù)列的前 3 項(xiàng)，則這一等 比數(shù)列的第四項(xiàng)為（ B ） A． 8 B．－ 8 C．－ 6 D．不確定 5．已知數(shù)列 ??an 的前 n 項(xiàng)和 s n nn ? ?2 32 ，那么這個(gè)數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)依照原來(lái)的順序構(gòu) 成的數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ B ） A． ? ?Nnnbn ??? 98 B． ? ?Nnnbn ??? 18 C． ? ?Nnnbn ??? 54 D． ? ?Nnnbn ??? 34 6．?dāng)?shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn=3n2n2 (n∈ N)，當(dāng) n2 時(shí)，就有（ D ） A． Snna1nan B． Sn nanna1 C． na1Snnan D． nanSnna1 7． 有下列命題： ① x= )0( ?xab 是 a, x, b 成等比數(shù)列的充分但不必要條件 ②某數(shù)列 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列一定是常數(shù)列 ③已知 Sn表示數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和，且 S n n nS a n N? ? ??1 ( )，那么 {an}一定是等比數(shù)列 ④設(shè) 2 5 2 15 2 45a b c? ? ?， ，則這三個(gè)數(shù) a, b, c 成等差數(shù)列 其中正確的命題序號(hào)是：（ D ） A．②④ B．①②③ C．①③ D．①②④ 9 8．若兩個(gè)等差數(shù)列 ?? ??nn ba 、 的前 n 項(xiàng)和274 17 ??? nnBABA nnnn 滿(mǎn)足和(n?N)，則1111ba 的值等于（ C ） A．47 B．23 C．34 D．7178 9．在等差數(shù)列 ??an 中， 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24，則此數(shù)列前 13 項(xiàng)之和為（ A ） A． 26 B． 13 C． 52 D． 156 10．等差數(shù) 列 ??na ， 1a =－ 5，它的前 11 項(xiàng)的算術(shù)平均值為 5。 7 解： (1)由已知條件得12 2???? nn bnbS 當(dāng) n=1 時(shí)，11211 23)1(21 ?? ?????????? nnnn b bnbSSanbSa 時(shí)，；當(dāng) 故???????????? )2(23)1()1(112nb bnbnbann (2)由 )4(0)31)(1(1 ???????? nnnbbaa nn ，化簡(jiǎn)得 為所求或故或解得，3103321321321311?????????????????bbbnnnnbb? 【例 11】 兩個(gè)數(shù)列 ??an 、 ??bn 中， 1200 ??? nnnnn ababa ，且， 成等差數(shù)列，且 b a bn n n2 1 12, ,? ? 成等比數(shù)列。 解： (1)當(dāng)1114111 4 )3(4,1 bd dabdabbSn ????? 時(shí)， ∴原命題成立 假設(shè)當(dāng)dabSkn kkk 4 3??? 時(shí)，成立 則d dbaaaad dbabbSS kkkkkkkkkkk 4 44 4 13211311 ????????? ???????? dabd dabd dbba kkkkkkk 44 )4(4 4 41111 ????? ????? dabSNnkn nnn 41 3?????? 有意時(shí)命題也成立，故對(duì)任當(dāng) (2)由 dadaaaa 556)7(8383555125 ?????? ，有 05111516 ????? ddaa 0541255612517 ??????? ddddaa ?? 18171421 0 bbbbb ????? 00 1817161617161515 ???? aaabaaab ， 1615151411314 SSSSSSS ?????? ，? ddaaddaa 59135610 518515 ??????? ，又 1416161516151815 0,|||,| SSbbbbaa ???????? 故 nS 中 16S 最大 【例 10】 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，滿(mǎn)足條件 )2lg (lg)1(lg 1 ????? ? nbbnS nn ，其中 b0 且b? 1。 【例 9】 ??na 是等差數(shù)列，數(shù)列 ??nb 滿(mǎn)足 ? ?nnnnnn bSNnaaab 為，)(21 ???? ?? 的前 n 項(xiàng)和。 (1)求數(shù)列 ??nc 的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式； (2)當(dāng) n?5 時(shí)，試判斷 的符號(hào)（大于零或小于零），并給予嚴(yán)格證明。 所以對(duì)于任意自然數(shù) n,nna 211??都成立。 解法 1：由 an+Sn=n, 當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1， ?a1+a1=1，得 a1=12 當(dāng) n=2 時(shí)， a1+a2=S2，由 a2+S2=2，得 a1+2a2=2， ?a2=34 當(dāng) n=3 時(shí)， a1+a2+a3=S3，由 a3+S3=3，得 a1+a2+2a3=3?a3=87 猜想，nna 211??(1)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立。 又知 ? ?? ? ? ?? ?21 121 122111 ????? ??????? nnnn nnnn ∴ ?????? ???? 21114 nnbn ???????????? ?????????? ??????????? ???????? ?????2121421114413143121421nnnbbb n ∴ 221214lim21 ??????? ??????? ?? nbbb nn ?? 【例 6】 已知數(shù)列 1， 1， 2??它的各項(xiàng)由一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)首項(xiàng)為 0 的等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加而得到。?? 【例 5】 已知數(shù)列 ??an ： ?，?，?， 1001001002100133323122211 ?????? ①求證數(shù)列 ??an 為等差數(shù)列，并求它的公差 ②設(shè) ? ?Nnaab nnn ?? ?11，求 ?? ???? nbbb 21 的和。 解：由????? ???? ??? 1 8 52 91010811012daSdaa 得 ?????351a ∴ 23)1(35)1(1 ???????? nndnaa n ∴ 2232 ??? nnnab 【例 3】 設(shè)等差數(shù)列 {an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知 S4=44,S7=35 （ 1）求數(shù)列 {an }的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式； （ 2）求數(shù)列 |}{|na 的前 n 項(xiàng)和 Tn。 五、典型例題 數(shù)列的概念與性質(zhì) 【例 1】 已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列 ??na ，若前 n2 項(xiàng)之和等于它前 n2 項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和的 11倍，第 3 項(xiàng)與第 4 項(xiàng)之和為第 2 項(xiàng)與第 4 項(xiàng)之積的 11 倍，求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 . 解：∵ q=1 時(shí) 12 2naS n ? ， 1naS ?偶數(shù)項(xiàng) 又 01?a 顯然 11 112 nana ? ， q≠ 1 ∴221212 1 )1(1 )1( q qqaSqqaSnnn ? ?????? 偶數(shù)項(xiàng) 依題意221211 )1(111 )1( q qqaqqann??????；解之101?q 又 421422143 ),1( qaaaqqaaa ???? ， 依題意 42121 11)1( qaqqa ?? ，將101?q代入得 101?a nnna ?? ??? 21 10)101(10 【例 2】 等差數(shù)列 {an }中， 1233 aa ? =30， 33a =15，求使 an≤ 0 的最小自然數(shù) n。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn)，所以我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)給予重視。 等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)應(yīng)用非常廣泛，且十分靈活，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)題目中隱含的相關(guān)性質(zhì)，往往使運(yùn)算簡(jiǎn)潔優(yōu)美 .如 a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化： a2a4=a32， a4a6=a52，從而有 a32+2aa53+a52=25，即（ a3+a5） 2=25. 觀題，應(yīng)注意尋求簡(jiǎn)捷方法 解答歷年有關(guān)數(shù)列的客觀題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了常規(guī)方法外，還可以用更簡(jiǎn)捷的方法求解 .現(xiàn)介紹如下： ① 借助特殊數(shù)列 . ② 靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，可更加準(zhǔn)確、快速地解題，這種思路在解客觀題時(shí)表現(xiàn)得更為突出，很多數(shù)列客觀題都有靈活、簡(jiǎn)捷的解法 數(shù)列問(wèn)題對(duì)能力要求較高，特別是運(yùn)算能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力更為突出 .一般來(lái)說(shuō)，考題中選擇、填空題解法靈活多變，而解答題更是考查能力的集中體現(xiàn)，尤其近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查 ，應(yīng)引起我們足夠的重視 .因此，在平時(shí)要加強(qiáng)對(duì)能力的培養(yǎng) 。 1 絕密☆啟用前 高三數(shù)學(xué)第二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí) 數(shù)列 一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)： 二、高考要求 1． 理解數(shù)列的有關(guān)概念，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前 n 項(xiàng) . 2． 理解等差（比）數(shù)列的概念，掌握等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和的公式 . 并能運(yùn)用這些知識(shí)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題 . 3． 了解數(shù)學(xué)歸納法原理，掌握數(shù)學(xué)歸納法這一證題方法，掌握“歸納 — 猜想 — 證明”這一思想方法 . 三、熱點(diǎn)分析 ，一般情況下都是一個(gè)客觀性試題加一個(gè)解答題，分值占整個(gè)試 卷的 10%左右 .客觀性試題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式、極限的四則運(yùn)算法則、無(wú)窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和等內(nèi)容，對(duì)基本的計(jì)算技能要求比較高，解答題大多以考查數(shù)列內(nèi)容為主，并涉及到函數(shù)、方程、不等式知識(shí)的綜合性試題，在解題過(guò)程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目 . （ 1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者的綜合求解題是對(duì)基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來(lái)高考命題的新 熱點(diǎn) （ 2）數(shù)列推理題是新出現(xiàn)的命題熱點(diǎn) .以往高考常使用主體幾何題來(lái)考查邏輯推理能力，近兩年在數(shù)列題中也加強(qiáng)了推理能力的考查 。 （ 3）加強(qiáng)了數(shù)列與極限的綜合考查題 、靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 。 6．這幾年的高考通過(guò)選擇題，填空題來(lái)著重對(duì)三基進(jìn)行考查，涉及到的知識(shí)主要有：等差（比）數(shù)等差數(shù)列的 性質(zhì) 通項(xiàng)及 前 n 項(xiàng)和 正 整 數(shù) 集 數(shù) 列 的 概 念 等 差 數(shù) 列 等 比 數(shù) 列 等比數(shù)列的 性質(zhì) 有 關(guān)