20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)422最大值、最小值問(wèn)題第2課時(shí)-文庫(kù)吧資料
2024-11-25 08:43本頁(yè)面
【正文】 3－380x ＋ 8 ) x x x x 西安一中期中 )從邊長(zhǎng)為 10 cm 16 cm的矩形紙板的四角截去四個(gè)相同的小正方形，作成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，則盒子容積的最大值為 ________cm3. [答案 ] 144 [ 解析 ] 設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為 x ，則盒子的容積為 v ＝ x ( 1 0 －2 x ) ( 1 6 － 2 x ) ， 即 v ＝ 4( x3－ 13 x2＋ 40 x ) ， ( 0 x 5 ) ， v ′ ＝ 4 ( 3 x2－ 26 x ＋ 4 0 )＝ 4 ( 3 x － 2 0 ) ( x － 2) ， 令 v ′ ＝ 4 ( 3 x － 2 0 ) ( x － 2) ＝ 0 得， x ＝ 2 ， x ＝203( 不符合題意，舍去 ) ， x ＝ 2 是唯一極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn)， 所以， x ＝ 2 時(shí)，盒子容積的最大值為 1 4 4 c m3. 課堂典例探究 已知圓柱的表面積為定值 S， 當(dāng)圓柱的容積 V最大時(shí) ， 圓柱的高 h的值為_(kāi)_______． 面積 、 容積最大問(wèn)題 [ 答案 ] 6π S3π [分析 ] 將容積 V表示為高 h或底半徑 r的函數(shù) ， 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值 ． 由于表面積 S＝ 2πr2＋ 2πrh， 此式較易解出 h， 故將 V的表達(dá)式中 h消去可得 V是 r的函數(shù) ． [ 解析 ] 設(shè)圓柱的底面半徑為 r ，高為 h ，則 S 圓柱底 ＝ 2π r2， S 圓柱側(cè) ＝ 2π rh ， ∴ 圓柱的表面 積 S ＝ 2π r2＋ 2π rh . ∴ h ＝S － 2π r22π r， 又圓柱的體積 V ＝ π r2h ＝r2( S － 2π r2) ＝rS － 2π r32， V ′ ＝S － 6π r22， 令 V ′ ＝ 0 得 S ＝ 6π r2， ∴ h ＝ 2 r ， 又 r ＝S6π， ∴ h ＝ 2S6π＝6π S3π. 即當(dāng)圓柱的容積 V 最大時(shí)，圓柱的高 h 為6π S3π. [方法規(guī)律總結(jié) ] 般步驟： (1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，找出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式 y＝ f(x)； (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f ′(x)，解方程 f ′(x)＝ 0； (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值大小，最大 (小 )者為最大 (小 )值； (4)把所得數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到數(shù)學(xué)問(wèn)題中，看是否符合實(shí)際情況并下結(jié)論． 其基本流程是 2．面積、體積 (容積 )最大，周長(zhǎng)最短，距離最小等實(shí)際幾何問(wèn)題，求解時(shí)先設(shè)出恰當(dāng)?shù)淖兞?，將待求解最值的?wèn)題表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最后檢驗(yàn)． 設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為 V ，則其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為 ( ) A.3V B ．32 V C.34 V D ． 23V [ 答案 ] C [ 解析 ] 如圖，設(shè)底面邊長(zhǎng)為 x ( x 0 ) ， 則底面
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