高一數(shù)學(xué)數(shù)列的綜合應(yīng)用-文庫吧資料
2024-11-19 09:01本頁面
【正文】 ， a2＝ 8 ， a3＝ 4 ， a4＝ 2 ， a5＝ 1 ， a6＝12， a7＝14， a8＝18， S1＝ 4 ， S2＝ 7 ， S3＝ 9 ， S4＝ 10 ， S5＝ 10 ， S6＝ 9 ， S7＝ 7 ， S8＝ 4 ， ∴ 當(dāng) n ＝ 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 時 ， an Sn； 當(dāng) n ＝ 1 , 2 或 n ≥ 9 時 ， an Sn. 在解決等差數(shù)列和等比數(shù)列綜合題時，恰當(dāng)?shù)剡\用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可以減少運算量，提高解題速度和準(zhǔn)確度，如本例中就合理地應(yīng)用了等差中項 ． 數(shù)列與其他知識的綜合應(yīng)用 【例 2 】 ( 20 10 年高考安徽卷 ) 設(shè) C1， C2， ? ， Cn， ? 是坐標(biāo)平面上的一列圓 ， 它們 的圓心都在 x 軸的正半軸上 ， 且都與直線 y ＝33x 相切 ． 對每一個正整數(shù) n ， 圓 Cn都與圓 Cn ＋1相互外切 ， 以 rn表示圓 Cn的半徑 ， 已知 { rn} 為遞增數(shù)列 ． ( 1 ) 證明 ： { rn} 為等比數(shù)列 ； ( 2 ) 設(shè) r1＝ 1 ， 求數(shù)列 {nrn} 的前 n 項和 ． 思路點撥： ( 1 ) 由一列圓的切線 y ＝33x 的斜率，求出切線的傾斜角的正弦值，由正弦定義及圓與圓的位置關(guān)系求證； ( 2 ) 由錯位相減法求和 ． ( 1 ) 證明： 將直線 y ＝33x 的傾斜角記為 θ ， 則有 t an θ ＝33， si n θ ＝12. 設(shè) C n 的圓心為 ( λ n , 0 ) ， 則由題意知r nλ n＝12， 得 λ n ＝ 2 r n . 同理 λ n ＋ 1 ＝ 2 r n ＋ 1 ， 從而 λ n ＋ 1 ＝ λ n ＋ r n ＋ r n ＋ 1 ＝ 2 r n ＋ 1 ， 將 λ n ＝ 2 r n 代入 ， 解得 r n ＋ 1 ＝ 3 r n ， 故 { r n } 為公比 q ＝ 3 的等比數(shù)列 ． ( 2 ) 解： 由于 r1＝ 1 ， q ＝ 3 ， 故 rn＝ 3n － 1， 從而nrn＝ n 第 5節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用 考綱展示 考綱解讀 列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題 . ，在高考中通常有以下三種呈現(xiàn)形式： (1)等差、等比數(shù)列的內(nèi)部綜合； (2)數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何的交匯； (3)數(shù)列知識的實際應(yīng)用． 2．考題具有綜合性，難度中等或中等以上． 1． 數(shù)列知識的綜合問題 (1)數(shù)列本身的綜合 數(shù)列知識內(nèi)部綜合主要是指以等差數(shù)列和等比數(shù)列為中心的綜合問題 ， 通常涉及到等差 、 等比數(shù)列的證明 ， 基本計算 、 求和等 ． (2)數(shù)列與其他章節(jié)知識的綜合 與數(shù)列常聯(lián)系在一起命題的知識主要有函數(shù) 、 不等式和解析幾何 ， 以及三角 、復(fù)數(shù)等 ． 有時帶有探索性 ， 涉及到的方法有轉(zhuǎn)化與化歸 、 放縮 、 數(shù)學(xué)歸納法 、反證法 、 函數(shù)思想等 2． 數(shù)列的實際應(yīng)用 (1)數(shù)列應(yīng)用常見范例： 生活中涉及到銀行利率 、 企業(yè)股金 、 產(chǎn)品利潤 、 人口增長 、 工作效率 、 圖形面積 、 曲線長度等實際問題 ， 常常考慮用數(shù)列知識求解 ． (2)數(shù)列應(yīng)用題常見模型 ① 等差數(shù)列模型：如果增加 (或減少 )的量是一個固定量時 ， 該模型是等差數(shù)列模型 ， 增加 (或減少 )的量就是公差 ． ② 等比數(shù)列模型： 如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)值 ， 則該模型是等比數(shù)列模型 ， 這個固定的數(shù)就是公比 ． 解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟 ． ① 審題：仔細(xì)閱讀材料 ， 認(rèn)真理解題意 ． ② 建模：將已知條件翻譯成數(shù)學(xué) (數(shù)列 )語言 ， 將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題 ． 分清該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列 ， 是求通項還是求前 n項和 ． ③ 求解：求出該問題的數(shù)學(xué)解 ． ④ 還原：將所求結(jié)果還原到原實際問題中 ． 返回目錄 備考指南 考點演練 典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理 具體解題步驟如下框圖： 質(zhì)疑探究： 銀行儲蓄單利和復(fù)利計算各是什么模型 ？ 提示： 設(shè)本金為 a元 ， 每期利率為 r， 存期為 n， 則按單利計算 ， 本利和 an＝ a(1＋ rn)， 屬于等差模型 ． 按復(fù)利計算 ， 本利和 an＝ a(1＋ r)n， 屬于等比模型 ． 1 ． 數(shù)列 { a n } 是公差不為 0 的等差數(shù)列且 a 7 、
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