mheaaa113-三個(gè)正數(shù)的算術(shù)--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)-文庫吧資料
2024-08-06 13:41本頁面
【正文】 an都是正數(shù)，且 a1a2… an＝ 1，求證： (2＋ a1)(2＋ a2)…(2 ＋ an)≥3n. (2 ＋ a1)(2 ＋ a2) ? (2 ＋ an) ≥ (33a1)(33a2) ? (33an) ＝ 3nac＋ 33ca3．三個(gè)正數(shù)的算術(shù) —幾何平均不等式 1 ． 定理 3 如果 a ， b ， c ∈ R ＋ ，那么a ＋ b ＋ c3≥3abc ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，用文字語言可敘述為：三個(gè)正數(shù)的 不小于它們的 ． (1) 不等式a ＋ b ＋ c3≥3abc 成立的條件是： ，而等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng) . (2) 定理 3 可變形為： ① abc ≤ (a ＋ b ＋ c3)3； ② a3＋ b3＋ c3≥ 3 ab c . a＝ b＝ c 算術(shù)平均 幾何平均 a， b， c均為正 數(shù) a＝ b＝ c (3) 三個(gè)及三個(gè)以上正數(shù)的算術(shù)－幾何平均值不等式的應(yīng)用條件與前面基本不等式的應(yīng)用條件是一樣的，即“ 一正，二定，三相等 ” ． 2 ． 定理 3 的推廣 對(duì)于 n 個(gè)正數(shù) a1， a2， ? ， an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立． a 1 ＋ a 2 ＋ ? ＋ a nn ≥n a1 a 2 ? a n a1＝ a2＝ … ＝ an [ 例 1] 已知 a ， b ， c ∈ R ＋ ，求證： b ＋ c － aa＋c ＋ a － bb＋a ＋ b － cc≥ 3. [ 思路點(diǎn)撥 ] 欲證不等式的右邊為常數(shù) 3 ，聯(lián)想到不等式 a＋ b ＋ c ≥ 33ab
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