powerpoint數(shù)學(xué)物理方法第二篇第四章分離變量法、本征函-文庫吧資料
2024-07-30 16:41本頁面
【正文】 )(s i n)(s i nc o s)()( ?????????? Company Logo Click to edit title style ?????1s in)(),(nn lxntTtxu ?lxndltanfanllxnlatnanllatnntnnnn????????????s i n)(s i n)(s i n)s i nc o s(1 01? ?????????????? ???? 對于非齊次方程的初邊值混合問題： ???????????0)0,(,0)0,(0),(,0),0(),(2xuxutlututxfuautxxtt 成立著齊次化原理 . Company Logo Click to edit title style 齊次化原理 ：若 )。 二維矩形薄板的齊次方程齊次邊界條件 混合問題的分離變量法 例．邊長為 a, b的矩形薄板，兩板面不透熱，它的一邊 y=b為絕熱， 其余三邊保持零度溫度 .設(shè)板的初始溫度分布是 ),( yx?試求板內(nèi)的溫度變化 解： ?????????????????????),(,0,0,0,0)0,0() ] ,(),([),(0002yxuuuuubyaxtyxutyxuatyxutbyyyaxxyyxxt?)()()(),( tTyYxXtyxu ?)()()()()()(2 yYyYxXxXtTatT ??????? ?????)()(xXxX ?????)()(yYyY0)()()( 2 ???? tTatT ?? Company Logo Click to edit title style 齊次邊界條件分離變量后得 0)0(,0)0(,0)()0( ????? YYaXX于是得到兩個施斗姆 劉維爾本征值問題： ?????????0)(,0)0(0)()(aXXxXxX ???????????0)(,0)0(0)()(bYYyYyY ?,)( 2ann ?? ?,...)3,2,1(,s i n)( ?? na xnxX n ?,)21( 2???????????? ??bmm??,...)2,1,0(,)21(s i n)( ??? mbymyY m?tabmannmnm eCtT2222 21)()(??????????????????????????? ???? Company Logo Click to edit title style )()()(),( tTyYxXtyxu nmmnnm ?bymaxneCtyxun mtabmannm???)21(s i ns i n),(1 021)( 2222?? ? ????????????????????????????????????由初始條件得 bymaxnCyxn mnm???)21(s i ns i n),(1 0?? ? ???????從而得 ????????? ddbmanabCa bnm)21(s i ns i n),(40 0?? ? ? Company Logo Click to edit title style 例 3. （圓的狄里克雷問題）設(shè)有一個半徑為 a的無限長圓柱， 把它的對稱軸取做 z軸，假設(shè)在柱的表面上溫度不隨時 間 t而改變，且與 z坐標無關(guān) .則過了一段時間后，在圓 柱的每一點處，溫度也會穩(wěn)定下來與 t無關(guān)，這時圓柱 體內(nèi)的溫度就滿足二維拉普拉斯方程 0???? yyxx uuu???? ayxyxu 22),(解： 0),(1),(1),( 2 ??? ??? ?? rurrurru rrr)(),( ??? ?au???????????????)20()(),()20,0(,011 2?????????auarururu rrr Company Logo Click to edit title style )()(),( ?? ΘrRru ?0)()()(2 ?????? rRrRrrRr ?0)()( ???? ??? ΘΘ本征值問題的提法 0)()( ???? ??? ΘΘ)()2( ??? ΘΘ ??,2nn ?? ...2,1,0?n本征值 相應(yīng)的本征函數(shù) 00 ?? 00)( ba ?? ??Θ時， 0,2 ?? nnn? ...3,2,1,s i nc o s)( ??? nnbna nnn ???Θn? )(rR將本征值 代入關(guān)于 的方程 rdcrR ln)(000 ??nnnnn rdrcrR ???)(
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