勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)、經(jīng)典例題-文庫(kù)吧資料
2025-06-28 04:06本頁(yè)面
【正文】 中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長(zhǎng)是20，求此直角三角形的面積?！ ∵B接DF（如圖） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2?！ 敬鸢浮看穑篋E⊥EF。（勾股定理逆定理） 【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC是否為直角三角形. 分析:本題是利用勾股定理的的逆定理， 只要證明:a2+b2=c2即可 證明： 所以△ABC是直角三角形. 【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=AB。 【答案】：連結(jié)AC ∵∠B=90176。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，∠B=90176。 由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。 ∴ a=3，b=4，c=5。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a26a+9+b28b+16+c210c+25=0, ∴ (a3)2+(b4)2+(c5)2=0。 如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。類型五：逆命題與勾股定理逆定理 寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 1．原命題：貓有四只腳．（正確） 2．原命題：對(duì)頂角相等（正確） 3．原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等．（正確） 4．原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等．（正確） 思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。 解析：可以把看作是直角三角形的斜邊， 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)， 而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。一般習(xí)慣用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的單位，如1cm、1m等，我們作圖時(shí)只要取定一個(gè)長(zhǎng)為單位即可。斜邊為； ?。?）順次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、的長(zhǎng)度就是 、。 思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長(zhǎng)就是，類似地可作。本題涉及平行線的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)?！ ?即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30176?！ ?∵∠DAB=60176?！ ?∴∠CBA=90176?！ ?∵30176。 思路點(diǎn)撥：把實(shí)際問題中的角度轉(zhuǎn)化為圖形中的角度，利用勾股定理求解?！ 。?）求A、C兩點(diǎn)之間的距離。方向走了到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30176。BECD ∵DE2= CE2CD2=4222=12，∴DE==?！唷螮=30176?！ 摺螦=∠60176?！ 》治觯喝绾螛?gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長(zhǎng)AB、DC交于F，或延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡(jiǎn)單。AB=4，CD=2。且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的長(zhǎng)是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用 如圖，已知：在中，. 求：BC的長(zhǎng). 思路點(diǎn)撥：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于D，則有，再由勾股定理計(jì)算出AD、DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng). 解析：作于D，則因， ∴（的兩個(gè)銳角互余） ∴（在中，如果一個(gè)銳角等于， 那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）. 根據(jù)勾股定理，在中， . 根據(jù)勾股定理，在中， . ∴ . 總結(jié)升華：利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)，是勾股定理的一個(gè)重要應(yīng)用. 當(dāng)題目中沒有垂直條件時(shí)，也經(jīng)常作垂線構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理. 舉一反三【變式1】如圖，已知：，于P. 求證：. 思路點(diǎn)撥: 圖中已有兩個(gè)直角三角形，但是還沒有以BP為邊的直角三角形. 因此，我們考慮構(gòu)造一個(gè)以BP為一邊的直角三角形. 所以連結(jié)BM. 這樣，實(shí)際上就得到了4個(gè)直角三角形. 那么根據(jù)勾股定理，可證明這幾條線段的平方之間的關(guān)系.
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