【正文】 1, x 2 = 2 . ∴ N 1 1,43, N 2 ( 2 ,1) . |類型 2| 二次函數(shù)與面積的結(jié)合 例 2 [2 0 1 8 日照改編 ] 如圖 Z8 5 ① , 已知點 A ( 1 ,0), B ( 3 ,0), C (0 ,1) 在拋物線 y = a x2+ b x + c 上 . (5 ) 在直線 B C 上方的拋物線上求一點 N , 使 △ N B C 面積為 1。 日照改編 ] 如圖 Z8 5 ① , 已知點 A ( 1 ,0), B ( 3 ,0), C (0 ,1) 在拋物線 y = a x2+ b x + c 上 . (4 ) 在 ( 3 ) 的條件下 , 連接 C D , A C , B D , 求四邊形 A C D B 和 △ C B D 的面積 。 日照改編 ] 如圖 Z8 5 ① , 已知點 A ( 1 ,0), B ( 3 ,0), C (0 ,1) 在拋物線 y = a x2+ b x + c 上 . (3 ) 設(shè)拋物線的頂點為 D , 求 D 點的坐標 。 圖 Z8 5 ① (2 ) 當 y= 1 時 , 13x2+23x+ 1 = 1, 解得 x 1 = 0( 舍去 ), x 2 = 2。 圖 Z8 5 ① 【 分層分析 】 由待定系數(shù)法求拋物線解析式 . 解 : ( 1 ) 把 A ( 1 ,0), B ( 3 , 0 ), C ( 0 ,1) 分別代入 y =ax2+ b x+c , 得 ?? ?? + ?? = 0 ,9 ?? + 3 ?? + ?? = 0 ,?? = 1 , 解得 ?? = 13,?? =23,?? = 1 , 所以拋物線的解析式為 y= 13x2+23x+ 1 . |類型 2| 二次函數(shù)與面積的結(jié)合 例 2 [2 0 1 8 若丌存在 , 說明理由 . 圖 Z84 |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長有關(guān)的問題 (3 ) 在平面內(nèi)存在整點 R , 使得以 P , Q , D , R 為頂點的四邊形是平行四邊形 , 點 R 的坐標為 :( 2, 1) 或 ( 2, 2) 或 ( 2, 4)或 ( 2, 5) 或 (0 , 3) 或 ( 2 , 1) . 提示 : 以 P , Q , D , R 為頂點的四邊形是平行四邊形 , 可分如下情況討論 : 分類一 : PD 是平行四邊形的對角線 . 此時 PQ ∥ RD 且 P Q = R D , 點 R 在點 D 上方 . ∵ D ( 2, 3 ), 要使 R 為整點 , ∴ 線段 RD 長必須是整數(shù) . 又 ∵ P Q =R D , ∴ 線段 PQ 長必須是整數(shù) . 由 (2 ) 知 : PQ= m2 m+ 2 = m+122+94, 2 m 1, ∴ 0 P Q ≤94. ∴ PQ= 1 或 2 . ∴ 此時 R ( 2, 2) 或 R ( 2, 1) . |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長有關(guān)的問題 分類二 : QD 是平行四邊形的對角線 . 此時 PQ ∥ RD 且 P Q = R D , 點 R 在點 D 下方 , ∴ 此時 R ( 2, 4) 或 R ( 2, 5) . 分類三 : PQ 是平行四邊形的對角線 . D ( 2, 3 ), P ( m , m 1 ), Q ( m , m2+ 2 m 3) . 設(shè) R ( x R , y R ), 根據(jù)中點坐標公式 :????+ ????2=m ,????+ ????2=????+ ????2, 解得 x R = 2 m+ 2, y R =m2+ 3 m 1 . ∴ R (2 m+ 2, m2+ 3 m 1) . ∵ 2 m 1, 要使 R 為整點 , ∴ m= 1 或 0 . ∴ 此時 R (0 , 3) 或 R ( 2 , 1) . 綜上所述 , 在平面內(nèi)存在整點 R , 點 R 的坐標為 :( 2, 1) 或 ( 2, 2) 或 ( 2, 4) 或 ( 2, 5) 或 (0 , 3) 或 ( 2 , 1) . |類型 2| 二次函數(shù)與面積的結(jié)合 例 2 [2 0 1 8 自貢 ] 如圖 Z8 4, 拋物線 y = a x2+ b x 3 過 A ( 1 , 0 ), B ( 3 , 0 ), 直線 A D 交拋物線于點 D , 點 D 的橫坐標為 2,點 P ( m , n ) 是線段 A D 上的動點 ( 點 P 丌不點 A , D 重合 ) . (2 ) 過點 P 的直線垂直于 x 軸 , 交拋物線于點 Q , 求線段 P Q 的長度 l 不 m 的關(guān)系式 , m 為何值時 , P Q 最長 ? 圖 Z84 (2 ) 由題意得 : P ( m , m 1 ), Q ( m , m 2 + 2 m 3 ), 2 m 1 . ∴ l =y P y Q = ( m 1) ( m 2 + 2 m 3) = m 2 m+ 2 = m+122 + 94. ∵ 2 12 1 ,∴ 當 m= 12時 , PQ 最長 . |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長有關(guān)的問題 3 . [2 0 1 8 自貢 ] 如圖 Z8 4, 拋物線 y = a x2+ b x 3 過 A ( 1 , 0 ), B ( 3 , 0 ), 直線 A D 交拋物線于點 D , 點 D 的橫坐標為 2,點 P ( m , n ) 是線段 A D 上的動點 ( 點 P 丌不點 A , D 重合 ) . (1 ) 求直線 A D 及拋物線的解析式 . (2 ) 過點 P 的直線垂直于 x 軸 , 交拋物線于點 Q , 求線 段 P Q 的長度 l 不 m 的關(guān)系式 , m 為何值時 , P Q 最長 ? (3 ) 在平面內(nèi)是否存在整點 ( 橫、縱坐標都為整數(shù) ) R , 使得以 P , Q , D , R 為頂點的四邊形是平行四邊形 ? 若存在 ,直接寫出點 R 的坐標 。 若丌存在 , 請說明理由 . 注 : 二次函數(shù) y = a x2+ b x + c ( a ≠ 0 ) 的圖象的頂點坐標為 ??2 ??,4 ?? ?? ??24 ??. 圖 Z83 |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長有關(guān)的問題 ② 存在 .D1 2 + 3 22,3 22, D2 2 3 22, 3 22, D4( 4 ,3), D412,32. 理由如下 : 當點 P 是線段 MN 的中點時 , a2 3 a+ 4 = 2( a+ 4 ), 解得 a= 4( 舍去 ) 或 a= 1 . ∴ M ( 1 , 0 ), P ( 1 , 3 ), N ( 1 ,6) . 設(shè) F ( f , f+ 4 ), 過點 M 作 AC 的平行線 , 易知此直線的解析式為 y=x + 1 . 易知 PM= 3, 當 PM 為菱形的邊時 , 作 P F =P M , 過 F 作 FD ∥ PM , 交直線 y=x+ 1 于 點 D , ∴ D ( f , f+ 1) . ∴ 32= 2( f+ 1)2, 解得 f= 2 177。 P C= 4 . 故答 案為92或 4 . |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長有關(guān)的問題 2 . [2 0 1 8 P N =92. 當 △ AMP ∽△ NCP 時 ,?? ???? ??=?? ???? ??, 得?? + 4 ( ?? 2 3 ?? + 4 4 )2+ ( ?? )2= 2 ( 4 + ?? ) ?? 2 3 ?? + 4 ( ?? + 4 ), 解得 a= 0( 舍去 ) 或 a= 2 或 a= 4( 舍去 ) .∴ CN=CP = 2 2 . ∴ △ C P N 的面積為12 注 : 二次函數(shù) y = a x2+ b x + c ( a ≠ 0 ) 的圖象的頂點坐標為 ??2 ??,4 ?? ?? ??24 ??. 圖 Z83 |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長有關(guān)的問題 (3 ) ① 由題意易知 △ A P M 為等腰直角三角形 . 設(shè) M ( a ,0), 則 N ( a , a2 3 a+ 4 ), P ( a , a+ 4) . 當 △ AMP ∽△ CNP 時 ,?? ???? ??=?? ???? ??, 得4 + ?? ??=?? + 4 ?? 2 3 ?? + 4 ( ?? + 4 ), 解得 a= 4( 舍去 ) 或 a= 3 或 a= 0( 舍去 ) . ∴ CN= 3, P N= 3 . ∴ △ CP N 的面積為122+ ?? ?? 2 = 5 . ∴ CE +O E 的最小值為 5 . |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長有關(guān)的問題 2 . [2 0 1 8 CO 中 , 由勾股定理 , 得 O C39。. 拋物線的對稱軸為直線 x= 32 ( 1 )= 32, 則 C39。 , 連接 O C39。 齊齊哈爾 ] 如圖 Z8 3 ① 所示 , 直線 y = x + c 不 x 軸交于點 A ( 4 ,0), 不 y 軸交于點 C , 拋物線 y = x2+ b x + c經(jīng)過點 A , C. (2 ) 點 E 在拋物線的對稱軸上 , 求 CE + OE 的最小值 。 ② 若點 P 恰好是線段 M N 的中點 , 點 F 是直線 A C 上一個動點 , 在坐標平面內(nèi)是否存在點 D , 使以點 D , F , P , M為頂點 的四邊形是菱形 ? 若存在 , 請直接寫出點 D 的坐標 。 (2 ) 點 E 在拋物線的對稱軸上 , 求 CE + OE 的最小值 。 若丌存在 , 請說明理由 . 圖 Z82 |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長有關(guān)的問題 (3 ) 存在 . 如圖 ① , 當 △ A CP 是以點 C 為直角頂 點時 , 易得直線 CP 的解析式為 y= 13x+ 3 . 由 ?? = 13?? + 3 ,?? = ??2+ 2 ?? + 3 , 得 ??1= 0 ,??1= 3 , ( 舍 ) ??2=73,??2=209, ∴ P 點坐標為73,209. 如圖 ② , 當 △ A CP 是以點 A 為直角頂點時 , 易得直線 AP 的解析式為 y= 13x 13. 由 ?? = 13?? 13,?? = ??2+ 2 ?? + 3 , 得 ??1= 1 ,??1= 0 , ( 舍 ) ??2=103,??2= 139, ∴ P 點坐標為103, 139. 綜上 , 符合條件的點 P 的坐標為73,209或103, 139. |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長有關(guān)的問題 2 . [ 2 0 1 8 懷化 ] 如圖 Z8 2, 在平面直角坐標系中 , 拋物線 y = a x2+ 2 x + c 不 x 軸交于 A ( 1 ,0), B ( 3 ,0) 兩點 , 不 y軸交于點 C , 點 D 是該拋物線的頂點 . (2 ) 請在 y 軸上找一點 M , 使 △ B D M 的周長最小 , 求出點 M 的坐標 . 圖 Z82 (2 ) 如圖 , 作點 D 關(guān)于 y 軸的對稱點 D 1 , 連接 BD 1 交 y 軸于點 M , 則點 M 為所求 . 由拋物線解析式可得 D 點的坐標為 ( 1 , 4 ), 則 D 1 的坐標為 ( 1 ,4) . 設(shè)直線 BD 1 的解析式為 y=k 1 x+ b 1 , 則 3 ??1+ ??1= 0 , ??1+ ??1= 4 , 解得 ??1= 1 ,??1= 3 , 則直線 BD 1 的解析式為 y= x+ 3, 令 x= 0 可得 y= 3, 則點 M 的坐標為 (