【正文】 ( , , , )mnn ? ? ? ? 維 向 量 可 由 維 向 量理 組定1212( , , , )( , , , , )mm? ? ?? ? ? ?線 性 表 示 的 充 分 必 要 條 件 是 , 矩 陣 的 秩等 于 矩 陣 的 秩 , 即1 2 1 2( , , , ) ( , , , , ) .mmRR? ? ? ? ? ? ??12( 1 2 1 3 ) , ( 2, 4, 2, 6 ) ,TT??? ? ? ? 設 ， ， ，例 解 ： 因為 1 2 3 11 2 2 42 4 1 3( , , , )1 2 1 03 6 3 3? ? ? ??????????????3 1 21 2 1 2 3( 2 , 1 , 1 , 3 ) , ( 4 , 3 , 0 , 3 ) , ( 4 , 3 , 1 , 3 ) , , ?T T T? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?試 問 與 能 否 由 線 性 表 出 若 能 , 請 寫 出 其表 達 式 。 顯 然 , 零 向 量 可 由 任 一 向 量 組 線 性 表 示 .向 量()( 0, , 0, 1 , 0, , 0 )i Ti? ?12( , , , )Tnn a a a n? ?任 意 維 向 量 都 可 由 維單 位 坐 標 向 量 組 線 性 表 示 。 定義 2 12,m? ? ? ? 若 向 量 是 向 量 組 的 一 個 線 性組 合 即,2211 mmkkk ???? ????12, , , m? ? ? ?則 稱 可 由 向 量 組 線 性 表 示 。 ? ?( 1 )( 2 ) ( ) ( )( 3 ) 0( 4 ) 0? ? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ?? ? ? ? ???? ? ?? ?? ?( 5 ) 1 , ( 1 ) , 0 O ,( 6 ) ( ) ( )( 7 )( 8 )k l k lk l k lk k k? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ?向量的運算律： 向量的運算律： ( 9 )1( 10 ) ( 0 )( 11 ) 0 0 0kkkkk? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?或 注意：兩個向量只有維數(shù)相同時，才能進行加法和減法運算！ 例 解 向 量 方 程2 3 3xx??? ? ?( 2 , 4 , 1 , 1 ) , ( 1 , 5 , 2 , 0 ) .T T??? ? ? ? ?其 中解 因 為2 3 3xx??? ? ?所 以3x ????3 ( 2 , 4 , 1 , 1 ) ( 1 , 5 , 2 , 0 ) .T T? ? ? ? ?( 7 , 1 7 , 1 , 3 ) T? ? ?167。 記為 顯然，向量的加法與數(shù)乘去處是矩陣的加法與數(shù)乘運算的特例。 注意 １．行向量和列向量總被看作是 兩個不同的 向量 ； ２．行向量和列向量都按照 矩陣的運算法則 進行運算； ３．當沒有明確說明是行向量還是列向量時， 都當作 列向量 . 由若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做 向量組 ． 例如 維列向量個有矩陣 mna ijA nm)( ?????????????????aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj????????????21222221111211a1. , , 的列向量組稱為矩陣向量組 A?a1 a2 an向量、向量組與矩陣 a2 aj an維行向量個又有矩陣類似地 nmijaA nm)(, ???????????????????????aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn????????????21212222111211?T1?T2?Ti?Tm向量組 , , … ， 稱為矩陣 A的行向量組． ?T1 ?T2 ?Tm 反之，由有限個向量所組成的向量組可以構成一個矩陣 . 矩陣構成一個組維列向量所組成的向量個nmnm m?, 21 ??? ?12 , , ,T T Tmmnmn? ? ??個 維 行 向 量 所 組 成的 向 量 組構 成 一 個 矩 陣???????????????TmTTB????21 ),( 21 mA ??? ?? n 維向量的運算 向量相等： 如果 n 維向量 ? ?12, , , Tna a a? ?? ?12, , , Tnb b b? ?的對應分量都相等，即 ? ? 1 , 2 , ,iia b i n??就稱這兩個向量相等，記為 ???向量加法： 向量 ? ?1 1 2 2, , , Tnna b a b a b? ? ? ? ?稱為向量 ? ?12, , , Tna a a? ?? ?12, , , Tnb b b? ?的和，記為 ? ? ??? n 維向量的運算 向量加法 ： 向量 ? ?1 1 2 2, , , Tnna b a b a b? ? ? ? ?稱為向量 ? ?12, , , Tna a a? ?? ?12, , , Tnb b b? ?的和，記為 ? ? ???負向量： 向量 ? ?12, , , Tna a a? ? ? ? ?稱為向量 的負向量 ?向量減法： ()? ? ? ?? ? ? ? 注意：兩個向量只有維數(shù)相同時，才能進行加法和減法運算！ ? ?1 1 2 2, , , Tnna b a b a b? ? ? ?數(shù)乘向量： 設 k 是一個數(shù)，向量 稱為向量 ? ?12, , , Tna a a? ? 與數(shù) k 的數(shù)量乘積。 ? ?0, 0, , 012( , , , ) Tna a a? ? ?向 量定 義 稱 為 向 量12( , , , ) .Tna a a ?? ? ?的 負 向 記 作量 ，1 2 1 2( , , , ) ( , , , )TTnna a a b b b????定 義 設 向 量 ,.iiab ? ? ? ???若 , 則 稱 向 量 與 相 等 , 記 作 由定義可知，兩個向量只有維數(shù)相同時才有相等 或不相等的概念，換句話說維數(shù)不同的兩個向量是不 能進行比較的。 向量間的線性關系 向量組的秩 . n維向量 向量空間 第 3 章 向量與向量空間 167。 n維向量 n維向量的定義 n維向量的運算 定義 1 12 , , , . nin a a an n ni a i個 有 次 序 的 數(shù) 所 組 成 的 數(shù)組 稱 為 維 向 量 ， 這 個 數(shù) 稱 為 該 向 量 的 個 分 量 ，第 個 數(shù) 稱 為 第 個 分 量分量全為復數(shù)的向量稱為 復向量 . 分量全為實數(shù)的向量稱為 實向量 ， 1 n維向量的概念 例如： ),3,2,1( n?))1(,32,21( innii ???? ?n維實向量 n維復向量 第 1個分量 第 n個分量 第 2個分量 ),( 21 nT aaaa ?????????????????naaaa?21 2 n維向量的表示方法 維向量寫成一行，稱為 行向量 ，也就是行 矩陣，通常用 等表示，如： ?? TTTT ba ,n 維向量寫成一列，稱為 列向量 ，也就是列 矩陣，通常用 等表示，如： ?? , ban分量全為零的向量 稱為 零向量。例如，維數(shù)不同的兩個零向量是不相 等的。 k?Tnkakaka ),( 21 ?向量的加法與數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的 線性運算。因此向量的兩種運算滿足以下去處規(guī)律。 向量間的線性關系 線性組合與線性表示