【正文】 z f x yzzz f f?? ? ?? 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面?? ?() zfz R z f fz???? ????與 等 相 位 面 曲 率 半 徑 ：軸 線 交 于 點 的 ? 開放諧振腔模式衍射理論 () zfR z ffz?????????基模，高斯光束： 1）球面穩(wěn)定腔與共焦腔的等價 ? 證明：任意一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價 球面腔 c1， c2， c3， c4 ，與波陣面重合 ? 0g1g21, 此諧振腔是穩(wěn)定腔 ? ?? ? ? ?21 1 1122 2 222 1 2 112 221 2 1 1 2 222122 2221 2 2 1()()1 1 1 1//fR R z zzfR R z zzz z z zLLggR R z f z z f zz z fz z f f z z? ??? ? ? ? ?? ??? ? ?????? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???????????????? ? ?? ?? ?? ?221 1 1 122 2 2 22121121212 1 2 1 221 2 1 212()()()22( 1 )( ) ( ) ( )22R R z z f zR R z z f zL z zL R LzL R RL R LzL R RggL R L R L R R LfLg g g gL R R? ? ? ? ? ???? ? ???????????? ?????? ? ???????? ? ? ????? ?????????? ?證明：任一滿足穩(wěn)定性條件的球面腔唯一地等價于某一共焦腔 ? 當(dāng) R10（凸面反射鏡）， R20 （凹面反射鏡）時， Z10， Z20，光腰在左面腔外 ? 當(dāng) R10（凹面反射鏡）， R20 （凸面反射鏡）時， Z10， Z20 ，光腰在左面腔外 ? 平凹腔，光腰在平面鏡面上 21 2 1 212( 1 )2()1 , 1ggfLg g g gf L R LLggR??? ????????? ? ????? ? 任意一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價 任一個共焦腔模有無窮多個等相位面，可 構(gòu)成 無窮多個等價球面腔 ?證明所有這些球面腔都是穩(wěn)定腔 ? 任一滿足穩(wěn)定性條件的球面腔唯一地等價于某一共焦腔 由穩(wěn)定球面腔的腔參數(shù)（ R R L）可以唯一地解出一組數(shù)（ z z f2），從而唯一地確定等價共焦腔 2）諧振頻率 ? 穩(wěn)定腔與共焦腔可等價，具有相同的橫模結(jié)構(gòu)。 L/2） 自再現(xiàn)場分布為其自身的付里葉變換，其解為 厄密多項式和高斯函數(shù)的乘積 222000022( , ) xymnssxyu x y u H H e ?????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??0 /s L? ? ?? ?鏡面上 的光斑半徑 ( ) , ( )mnHH?? ?為第 m和 n階 厄密多項式 ? ? ? ?? ?? ?20 1 22/20( ) 1 , ( ) 2 , ( ) 4 21 ! 2()! 2 !k m kmmkH H HmHk m k? ? ? ? ?????? ? ? ??????? ??? ??? ??? ???? 開放諧振腔模式衍射理論 ? 空間任意位置的場 分布可由鏡面上的場通過菲涅耳－基爾霍夫衍射積分得到 ? ?222( , , )()0,20 0 022( , , )( ) ( )( ) 1 。 積分方程的核(Kernel) ( , ) ( , , , ) ( , )Sv x y K x y x y v x y d s? ? ? ? ? ?? ?? 開放諧振腔模式衍射理論 ( , , , )( , , , ) ( 1 c o s )4 ( , , , )i k x y x yik eK x y x y x y x y????????? ?? ??將復(fù)常數(shù) ?表示為 ，代入 ?的定義，得到 復(fù)常數(shù) ?的意義 ie ??? ??11 () ij j ju u e u e?????? ??? e?量度每經(jīng)單程渡越時自再現(xiàn)模的 振幅衰減 ， ?愈大 ,衰減愈甚， ? ?0時，自再現(xiàn)模在腔內(nèi)能無損耗地傳播 ? ?表示每經(jīng)一次渡越模的 相位滯后 ， ?愈大相位滯后愈多 開放諧振腔模式衍射理論 22 21 22111jjdjuueu???? ??? ? ? ? ?自再現(xiàn)模在腔內(nèi) 經(jīng)單程渡越的總相移 ??定義為 1ar g( ) ar g( )jjuu? ?? ? ?在對稱開腔的情況下， 1a r g???? ? ? ?自再現(xiàn)模在腔內(nèi)經(jīng)單程渡越時產(chǎn)生的相對功率損耗稱為 模的單程損耗 ，通常以 ?d表示。按照模式再現(xiàn)概念，當(dāng)式中的 j足夠 大時，除了一個表示振幅衰減和相位移動的 常數(shù)因子 以外， uj+1應(yīng)能將 uj再現(xiàn)出來，即 12111jjjjuuuu??????????? ???此即 模式再現(xiàn) 概念的數(shù)學(xué)表達 開放諧振腔模式衍射理論 經(jīng)過 j次渡越后所生成的場 uj+1與產(chǎn)生它的場 uj之間滿足： 11( , ) ( , ) ( 1 c o s ) ( , )4( , ) ( , ) ( 1 c o s )4ikj j jSikjjSik eu x y u x y d s u x yik eu x y u x y d s???? ? ????????? ? ?? ? ?? ? ??? ????? 開放諧振腔模式衍射理論 12111jjjjuuuu??????????? ????? 以 v(x,y)表示開腔中這一不受衍射影響的 穩(wěn)態(tài)場分布函數(shù)（即 uj 、 uj+ …… ）， 有 ( , ) ( , ) ( 1 c os )4ikjjSik eu x y u x y ds??????? ? ?????滿足方程的任意一個分布函數(shù) v(x,y)就描述腔的一個 自再現(xiàn)?；驒M模 。 Q值大，表示光腔的儲能好，損耗小，腔內(nèi)光子壽命長。 ? 鏡面的散射、吸收、由于光的衍射使光束擴散到反射鏡面以外造成的損耗以及由鏡面上透射出去作為激光器的有用輸出。 ? 取決于腔的類型和幾何尺寸 ? 幾何損耗的高低依模式不同而異，高階橫模損耗大于低階橫模損耗 ? 是非穩(wěn)腔的主要損耗 ? 幾何偏折損耗和衍射損耗稱為 選擇損耗 ，不同模式的幾何偏折損耗和衍射損耗各不相同 光學(xué)諧振腔的損耗 插入損耗： ?插入玻片、電光調(diào)制器、聲光調(diào)制器等器件引入的損耗 吸收、散射 損耗： ? 由于工作物質(zhì)成分不均勻、粒子數(shù)密度不均勻或有缺陷（如固體激光器）而使光產(chǎn)生折射、散射，使部分光波偏離原來的傳播方向，以及其它對光能的吸收，造成光能量損耗。 共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 改寫為： 1 2 1 20 1 0g g g g? ? ? ?或????? ????? ?? 開放光學(xué)球面諧振腔的穩(wěn)定性 11 ( ) 12 AD? ? ? ? ?可以證明， (A+D)/2對于一定幾何結(jié)構(gòu)的球面腔是一個不變量，與光線的初始坐標(biāo)、出發(fā)位置 (如在腔面上或在腔內(nèi)任何其他點 )及往返一次的順序無關(guān) 。 ? 對稱共焦腔 （本屬于臨界腔 g1=0， g2=0），其中任意傍軸光線均可在腔內(nèi)往返多次而不橫向逸出，而且經(jīng)兩次往返即自行閉合。 ? 共軸球面腔的往返矩陣以及 n次往返矩陣均與光線的初始坐標(biāo)無關(guān)，可以描述任意傍軸光線在腔內(nèi)往返傳播的行為。 開放光學(xué)球面諧振腔的穩(wěn)定性 22 1 12 1 13 223 2 2 231222343345 45 1114101102 / 1101102/::::1LRLr r rLTr rrTRrrr LMMMMr rMMTR? ? ?? ?????? ?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ????? ? ? ??? ?????? ? ? ? ??? ? ? ???? ???? ? ???傳 輸 到反 射傳 輸 到反 射??????144RrT?? ? ??? ? ? ?? ? ? 開放光學(xué)球面諧振腔的穩(wěn)定性 傍軸光線 在腔內(nèi)完成一次往返，總的 坐標(biāo)變換 為 12121 0 1 01122110 1 0 1 R L R LA B L LT T T T TCDRR? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?5 1 1 15 1 1 1121 0 1 01122110 1 0 1r r r rL L A BTCDRR? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?傍軸光線 在腔內(nèi)完成一次往返總的 變換矩陣 為 開放光學(xué)球面諧振腔的穩(wěn)定性 開放光學(xué)球面諧振腔的穩(wěn)定性 12221 2 11 1 21 0 1 01122110 1 0 1212 ( 1 )2 2 212 2 211A B L LTCDRRLARLBLRLCR R RL L LDR R R? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????????????