【正文】 傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型的方法亦適用于對(duì)微分方程建立狀態(tài)空間模型。則該高階微分方程可轉(zhuǎn)化描述為如下不含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)空間模型 上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 u??? a1 … ? … an 1 an nx? xn x1 ?n u ?n 1 ?1 1?nx? x2 y ?0 1x?例 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型 y”’+5y”+8y’+4y=2u”+14u’+24u 解 本例中 a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24 因此 ,有 ?0=b0=0 ?1=b1a1?0=2 ?2=b2a1?1a2?0 =4 ?3=b3a1?2a2?1a3?0 =12 因此 ,當(dāng)選擇狀態(tài)變量如下時(shí) 即得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 ????????????????????uuyuuuyxuyuuyxyuyx???????????242012301201??????其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示 u??? 5 ? 8 4 3x? x3 x 1 12 u 4 2 2x? x2 y 1x?? 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 ? 下面討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 ? 根據(jù)上述原則 ,選擇狀態(tài)變量如下 ????????????????????????? )1(021)1(012301201nnnnnuuuyxuuuyxuuyxuyx???????????????????其中 ?i(i=0,1,…, n)為待定系數(shù)。 ? 因此 ,狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入 u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)出現(xiàn) ,即不能直接將輸出 y的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取作狀態(tài)變量。 友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類(lèi)重要的矩陣 ,這在后面的章節(jié)中可以看到 。 ? 上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式 ,該矩陣的最后一行與其矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,前 n1行為 1個(gè) n1維的零向量與 (n1)?(n1)的單位矩陣 。該狀態(tài)空間模型可簡(jiǎn)記為 : 其中 ABC???? ??x x uyx]0...01[0...0...1...00............0...1011????????????????????????????CbBaaaAnn? 上述式子清楚說(shuō)明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣 A與微分方程中的系數(shù) a1, a2,… , an之間 ,輸入矩陣 B與方程中系數(shù) b之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 。 ? 取輸出 y和 y的各階導(dǎo)數(shù) (也稱相變量 )為狀態(tài)變量 ,物理意義明確 ,易于接受。 這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的如下?tīng)顟B(tài)空間數(shù)學(xué)模型 狀態(tài)空間模型 ABCD???? ???x x uy x u問(wèn)題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量 ? 由微分方程理論知 ,若初始時(shí)刻 t0的初值 y(t0),y’(t0),…, y(n1)(t0)已知 ,則對(duì)給定的輸入 u(t),微分方程有唯一解 ,也即系統(tǒng)在 t?t0的任何瞬時(shí)的動(dòng)態(tài)都被唯一確定。 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 多輸入多輸出線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng) 高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 ? 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為 ,不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的線性定系數(shù)常微分方程為 y(n)+a1y(n1)+…+ any=bu 其中 y和 u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入 。 ? 這樣的問(wèn)題稱為系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。 解 據(jù)牛頓力學(xué)，故有 顯見(jiàn)為二階系統(tǒng)，若已知質(zhì)量塊的初始位移及初始速度，該微分方程在輸入作用下的解便唯一確定，故選 和 作為狀態(tài)變量。圖中 m、 k、 f分別為質(zhì)量、彈簧剛度、阻尼系數(shù)。 雙輸入 三輸出機(jī)械位移系統(tǒng) 例 設(shè)機(jī)械位移系統(tǒng)如圖所示。 ? 圖 26表示的是狀態(tài)空間模型如下所示的雙輸入 雙輸出線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 ( ) ( )( ) ( )A t B tC t D t? ???????x x uy x u的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。 ? 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件 : ?積分器 , ?加法器 和 ?比例器 , 其表示符如圖 24所示。 4. 線性定常系統(tǒng) ? 為簡(jiǎn)便 ,常將線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型簡(jiǎn)記為 ?(A(t),B(t),C(t),D(t)). ? 類(lèi)似地 ,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡(jiǎn)記為 ?(A,B,C,D). ? 幾種簡(jiǎn)記符的意義 : ABCD? ???????x x uy x u( , , ) : ABA B C C? ???? ? ??x x uyx( , ) :A B A B?? ? ?x x u( , ) : AAC C? ??? ? ??xxyx 三、線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖 ? 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達(dá)出來(lái) ,以形象說(shuō)明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。 ? 這些非線性函數(shù)中不顯含時(shí)間 t,即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不隨時(shí)間變化而變化。 ? 上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可推廣至 ? 非線性系統(tǒng)、 ? 時(shí)變系統(tǒng)。 ? 輸出矩陣 C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系。 ? 系統(tǒng)矩陣 A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況 , ?它主要決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 描述線性系統(tǒng)的主要狀態(tài)空間模型 ,切記 ! ? 對(duì)前面引入的狀態(tài)空間模型的意義 ,有如下討論 : ? 狀態(tài)方程 描述的是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性 , ?其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化。 C為 m?n維的輸出矩陣 。 A為 n?n維的系統(tǒng)矩陣 。 u為 r維的輸入向量 。 ? 對(duì)本例 ,經(jīng)整理可得如下?tīng)顟B(tài)方程 1122 / 1 / 1 /1 / 0 0 ixxR L L L uC?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?寫(xiě)成向量與矩陣形式為： ????????212 ]10[ xxxuC??????????122111dd11ddxCtxuLxLxLRtxi4. 列寫(xiě)描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關(guān)系的輸出方程。 ? 對(duì)本例 x1(t)=iL, x2(t)=uC 3. 將狀態(tài)變量代入各物理量所滿足的方程 ,整理得一規(guī)范形式的一階矩陣微分方程組 狀態(tài)方程。 ? 對(duì)本例 ,針對(duì) RLC網(wǎng)絡(luò)的回路電壓和節(jié)點(diǎn)電流關(guān)系 ,列出各電壓和電流所滿足的方程 ddddLL C iCLiR i L u utuiCt?? ? ????? ??? + R L C + u C i L u i 例 RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 2. 選擇狀態(tài)變量。 ? 試建立以電壓 ui為系統(tǒng)輸入 ,電容器兩端的電壓 uC為輸出的狀態(tài)空間模型。 ? 下面以一個(gè)由電容、電感等儲(chǔ)能元件組成的二階 RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例 ,說(shuō)明狀態(tài)空間模型的建立和形式 ,然后再進(jìn)行一般的討論。 狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)一般應(yīng)為 獨(dú)立 一階儲(chǔ)能元件 (如電