【正文】 1 1 0 1 1 ,1 3 10 ( ) ( )4 8 2x f x f x f y y? ? ? ? ? ? ? ?， 得 1 2 0 2 1 .x x x y y? ? ? ? 這表 明， 1n? 時命題成立． 第 2 步，假設(shè) ( 1)n k k??時命題成立，有 1 0 1 ,k k k kx x x y y??? ? ? ?由上證 ??fx是 R 上的單調(diào)增函數(shù)，得 1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,k k k kf x f x f x f y f y??? ? ? ? 即 1 2 0 2 1 .k k k kx x x y y? ? ? ?? ? ? ? 這表明 1nk??時不等式成立． 由數(shù)學(xué)歸納法得，對一切 1,2, ,n? 都有 1 0 1 .n n n nx x x y y??? ? ? ? 253 第（ 3）問 —— 分析法、配方法 （ 1）分析法探路、綜合法書寫 可以作這樣的分析： 欲證 11 12nnnnyxyx??? ?? ， 只需 11 ( ) ( )n n n nn n n ny x f y f xy x y x????? 22 11() 22n n n n n ny x y x y x? ? ? ? ? ? ?， 只需 22 ( ) 0n n n n n ny x y x y x? ? ? ? ?， 只需 2( ) ( )n n n n n ny x y x x y? ? ? ?． 而由第（ 2 ）問有 0 10 2nnx x y? ? ? ?，得0 ( ) 1 , 0n n n ny x x y? ? ? ?．式是成立的． 證明 1 由第（ 2）問知010,2nnx x y? ? ? ?得 0 1,0,nnnnyxxy? ? ????? 有 2( ) ( ) 0n n n n n ny x y x x y? ? ? ? ?， 得 22 11() 22n n n n n ny x y x y x? ? ? ? ? ?， 即 11 ( ) ( ) 12n n n nn n n ny x f y f xy x y x??????． （ 2） 配方法改寫 證明 2 由第（ 2）問知0 10,2nnx x y? ? ? ?有 0 1,0,nnnnyxxy? ? ??? ?? 得 2211 1()2nn n n n n n nnnyx y x y x y xyx??? ? ? ? ? ? ?? 2 1( ) ( )211( ) [1 ( ) ] .22n n n nn n n ny x y xy x y x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 證明 3 由第（ 2）問知0 10,2nnx x y? ? ? ?得 0 1,0,nnnnyxxy? ? ??? ?? 有 11nnnnyxyx???? 22 1() 2n n n n n ny x y x y x? ? ? ? ? ? 2221( ) ( )211()241 1 1.2 4 2n n n nnny x y xyx? ? ? ? ???? ? ? ???????? ? ????? 證明 4 由第（ 2）問知0 10,2nnx x y? ? ? ?有 0 1,0,nnnnyxxy? ? ??? ?? 得 2211 1()2nn n n n n n nnnyx y x y x y xyx??? ? ? ? ? ? ?? 2 1( ) ( )211( ) ( ) .22n n n nn n n ny x y xy x y x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 33 第（ 1）、（ 3）問的溝通 從語言形式上看，第（ 1）問與第（ 3）問好像沒有多少共同的地方，但從實(shí)質(zhì)運(yùn)算上看，則都是對 ? ? ? ? ? ? 22 1, 2f y f xF x y y x y x y xyx?? ? ? ? ? ? ?? 作放縮處理，第（ 1）問是證明 ? ?,0F x y ? ，第（ 2）問是證明? ? 1, 2F x y ? ．而由第（ 1）問的證明 證明 6 、證明 10 可知 ( ) ( )1 .6 nnnnf y f xyx?? ? 因而第（ 3）問可以有更一般性的結(jié)論： ( ) ( )nnf y f xyx???? 這一結(jié)果也可由微分中值定理得出，由 ? ?/2( ) ( ) 132 2nnnnf y f x fyx ? ? ?? ? ? ? ?? 2113,36???? ????? 知當(dāng) 10,2? ???????時，有 ? ? ? ? ? ?/ / / / /1 1 1 10 , 0 .6 3 2 2f f m a x f f f? ??? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 。 243 積累 上面的一題多解與一解 多題說的是化歸，這要求我們首先有“課本已經(jīng)解決的問題”．但是，平時“已經(jīng)解決的問題”太多了，我們不可能（也沒有必要）記住平時做過的所有題目．其實(shí)我們說的“課本已經(jīng)解決的問題”，是指 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，把所積累的知識和經(jīng)驗加工為一些有長久保存價值或基本重要性的典型模式與重要類型．當(dāng)我們遇到一個新問題時，首先辨認(rèn)它屬于我們已經(jīng)掌握的哪個基本模式，然后檢索出相應(yīng)的解題方法來解決，這是我們在數(shù)學(xué)解題中的基本思考，當(dāng)然也是解高考題的重要策略．那么，怎樣積累典型模式與重要類型呢？我們有兩個基本的建議： ●總結(jié)課本內(nèi)容， 歸納基本模式． 學(xué)完一章節(jié)（或跨章節(jié)）后，總結(jié)一共有幾個題目類型，每個題型有哪些解決方法？ ●分析解題過程，提煉深層結(jié)構(gòu)． 可以重點(diǎn)分析最近三五年的高考綜合題，揭示“形異而質(zhì)同”的深層結(jié)構(gòu)。 5． 5，三次用定比分點(diǎn)公式可得動點(diǎn) M 的參數(shù)方程．若去掉向量載體，題目可變?yōu)榧兘馕鰩缀晤}： 例 2 如圖 2，在 Rt ABC 中，直線 AC 的方程為 1yx?? ，直線 BC 的方程為1yx?? ? ， 22AC BC??．在斜邊 AB 上取點(diǎn) M ，使?jié)M足 ,AM BCMB CA? 求點(diǎn) M 的軌跡方程 . 圖 2 ⑵課本的例題 背景 ．人教版高中 《數(shù)學(xué)》第一冊（下）第 109 頁例 5 為 xyM AC0 11B11例 3 OA ， OB 不共線， ? ?,AP t AB t R??用 OA ， OB 表示 OP ． 如圖 3，運(yùn)用向量的加減運(yùn)算可得： ? ?OP OA AP OA t ABOA t OB OA? ? ? ?? ? ? ? ?1 t OA tOB? ? ? 圖 3 這表示了聯(lián)結(jié) AB 的直線，也表示了定比分點(diǎn)公式，三次利用上式即可求得動點(diǎn) M ． ⑶平面幾何 背景 ． 例 4 在等腰直角三角 形 ABC 中， F 為斜邊 AC 的中點(diǎn)，又 D 在AB 上， E 在 BC 上， M 在 DE 上，過 B 作/BB∥ AC ，過 M 作 /MH BB? ． 若 ,AD BE DMAB BC DE??則 .MF MH? 圖 4 這表明點(diǎn) M 到定點(diǎn) F 的距離，等于到定直線 /BB 的距離，按定義，點(diǎn) M 的軌跡為拋物線． ⑷伯恩斯坦多項式（算子）背景．對 121 012 1 2(1 ) ,(1 ) ,(1 ) ,m t b tbb t a t ab t a t a? ? ?? ? ?? ? ? 引進(jìn)位移算子 21 , 2 i i i iEa a E a a???? ，可得 O BAP ? ?220 1 22 2 20 0 020( 1 ) 2 ( 1 )( 1 ) 2 ( 1 )( 1 ) .m t a t t a t at a t t E a t E at tE a? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 這正是二階 伯恩斯坦多項式（算子） ，也是例 1 中的OM ．這個數(shù)學(xué)工具在汽車設(shè)計和飛機(jī)制造中有廣泛的應(yīng)用（貝齊爾曲線），因而也可以認(rèn)為，此高考題來源于生產(chǎn)實(shí)踐 （飛機(jī)制造） ． 說明 3 解法．根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)與背景，可分為四大類： ●以向 量運(yùn)算為主；（解法 1，解法 2） ●向量運(yùn)算與解析幾何運(yùn)算結(jié)合；（解法 3） ●以解析幾何運(yùn)算為主；（解法 4） ●綜合幾何方法（解法 5） 來自閱卷現(xiàn)場的信息是：本題 得分率不高，難度系數(shù)為0． 32，得 0 分的占 45%（未必都是不會，部分人是沒時間做）；學(xué)生的解法基本上都是轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)（以解析幾何運(yùn)算為主），不會用向量來直接求解．不管本題的原始設(shè)計如何，對教學(xué)來說，選擇課本背景引導(dǎo)高考解題是明智的． ●第（ 1）問的講解 —— 數(shù)形結(jié)合、差異分析 直觀很明顯：由 DE 夾在 AB， CB 之間知， 11B C D E B Ak k k? ? ? ? ?， 但是，怎樣將明顯的直觀、表達(dá)為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)運(yùn)算呢？據(jù)知，有 20%的考生都看到了直觀，卻沒有幾個能嚴(yán)格表達(dá)的．我們認(rèn)為，這只不過是斜率公式變形為定比分點(diǎn)公式： 11B C B AB C D E B A D EB C B ADEkkk k k kkkk?????? ? ? ?????? .1E B B DE D E B B DEDy y y yy y x x x xxx?????? ? ????? 左右兩邊的差異在于點(diǎn) B 的坐標(biāo) . 當(dāng) EBxx? 時， 1DEk ? ；當(dāng) DBxx? 時， 1DEk ?? ；當(dāng) E B Dx x x??時，有 ( ) ( )( ) ( )E D E B B DDEE D E B B Dy y y y y ykx x x x x x? ? ? ???? ? ? ? 1E B B D B DE B E B B DBDEBy y x x y yx x x x x xxxxx? ? ??? ? ????? 111.11DBBEDBBExxxxxxxx?????? ????? ??? 其中 ? ?,DBBExx oxx??? ? ? ??，得 ? ?1,1DEk ?? ；加上端點(diǎn)，得 ? ?1,1DEk ?? ． ●第（ 2）問的解法 解法 1 設(shè) ( , )Mxy ，由人教版高 中課本 109p? 例 5 有 (1 ) ,O D tO B t O A? ? ? (1 ) ,OE tOC t OB? ? ? (1 )OM tOE t OD? ? ? ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )t t O C t O B t t O B t O A? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 圖 5 22222