【正文】 意義上說(shuō)是受了輾轉(zhuǎn)相除法的啟示。即 練習(xí)本單價(jià) ?第二、一組人數(shù)之差 =58, 練習(xí)本單價(jià) ?第四、二組人數(shù)之差 =29， 所以 ,練習(xí)本單價(jià)是 58與 29的公約數(shù) ,這樣 ,練習(xí)本的單價(jià)是 29分 ,即 。 3. 學(xué)習(xí)委員收買練習(xí)本的錢 ,她只記下四組各交的錢 ,第一組 元 ,第二組 元 ,第三組 ,第四組 元 ,又知道每本練習(xí)本價(jià)格都超過(guò) 1角 ,全班共有 _____人。 答案： 14。 解析：因?yàn)槌?3余數(shù)是 1的數(shù)是 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,? 除以 4 余數(shù)是 3的數(shù)是 3,7,11,15,19,23,27,31? 所以，同時(shí)符合除以 3 余數(shù)是 1，除以 4 余數(shù)是 3 的數(shù)有 7， 19， 31，?這些數(shù)除以 12 余數(shù) 均為 7。 六 中國(guó)剩余定理 （一）填空題 1. 有一個(gè)數(shù)，除以 3 余數(shù)是 1，除以 4余數(shù)是 3，這個(gè)數(shù)除以 12余數(shù)是 _____。 每一組除以 13 的商都是 59829,7777 除以 13的商是 598,余數(shù)是 3。又 19911991 除以 13余 8,所以 a 除以 13 的余數(shù)也是 8。 9．已知： a=199119911991?? 1991,問(wèn)： a 除以 13,余數(shù)是幾？ 1991個(gè) 1991 答案：用試除的方法可知 :199119911991 可以被 13除盡。 （二）解 答題 8．幼兒園某班學(xué)生做游戲，如果每個(gè)學(xué)生分得的彈子一樣多，彈子就多 12顆，如果再增加 12顆彈子，那么每個(gè)學(xué)生正好分得 12顆，問(wèn)這班有多少個(gè)學(xué)生？原有多少顆彈子？ 答案：依題意知，原來(lái)每個(gè)學(xué)生分相等的若干顆，余 12顆，則學(xué)生人數(shù)大于 增加 12 顆后每個(gè)學(xué)生正好分得 12 顆 ,即 12+12=24(顆 ),24 能被班級(jí)人數(shù)整除 ,又 24 能分解為 24=1?24=2?12=3?8=4?6 由班級(jí)人數(shù)大于 12,可知符合題意的是 24人。 解析：因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)一圈為一個(gè)鐘頭 ,所以分針旋轉(zhuǎn) 24 圈 ,時(shí)針旋轉(zhuǎn) 2圈 .若以現(xiàn)時(shí) 18點(diǎn)整為起點(diǎn)與終點(diǎn) ,這樣時(shí)針又回到 18點(diǎn)整的位置上。 7. 如果時(shí)針現(xiàn)在表示的時(shí)間是 18 點(diǎn)整 ,那么分針旋轉(zhuǎn) 1990 圈之后是 _____點(diǎn)鐘。所以乘積與 (4?3=)12 被 7整除的余數(shù)相同。 解析：因?yàn)?111111能被 7 整除 ,所以 888888和 666666均能被 7 整除。 6. 888?? 8 乘以 666?? 6的積，除以 7 余數(shù)是 _____。 答案： 1。本題 的答案是 4 個(gè) :11,35,55,77。 解析： 393 減 8,那么差一定能被兩位數(shù)整除。 4. 393 除以一個(gè)兩位數(shù) ,余數(shù)為 8,這樣的兩位數(shù)有 _____個(gè) ,它們是 _____。商只能是 22(如果商更大的話 ,與題目條件“三位數(shù)”不符合 )。 根據(jù)“被 36除余 3”。 3. 一個(gè)三位數(shù)被 37 除余 17,被 36除余 3,那么這個(gè)三位數(shù)是 _____。 答案： 2927。 解析：依題意得：被除數(shù) =78?54+8=4220，而 4220=87?48+44,所以正確的商是 48,余數(shù)是 44。 五 帶余數(shù)除法 （一）填空題 1．小東在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù) 87 寫成 78，結(jié)果得到的商是 54，余數(shù)是 _____,余數(shù)是 _____。 10．狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次跳 214 米，黃鼠狼每次跳 432 米，它們每秒鐘都只跳一次 .比賽途中 ,從起點(diǎn)開始每隔 8312 米設(shè)有一個(gè)陷井 ,當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷井時(shí) ,另一個(gè)跳了多少米 ? 答案：黃鼠狼 掉進(jìn)陷井時(shí)已跳的行程應(yīng)該是 432 與 8312 的“最小公倍數(shù)” 499 ，即跳了499 411? =9次掉進(jìn)陷井，狐貍掉進(jìn)陷井時(shí)已跳的行程應(yīng)該是 214 和 8312 的“最小公倍數(shù)” 299 ，即跳了 299 ? 29 =11 次掉進(jìn)陷井。將 1111作質(zhì)因數(shù)分解 ,得 1111=11?101 最大公約數(shù)不可能是 1111,其次最大可能數(shù)是 101,則將這四個(gè)數(shù)分別除以 101,所得商的和應(yīng)為 11。 解析：三個(gè)數(shù)都不是質(zhì)數(shù) ,至少是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積 ,兩兩之間的最大公約數(shù)只能分別是2,3 和 5,這種自然數(shù)有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15三組。由此可按如下方法來(lái)剪 :長(zhǎng)邊每排剪 8塊 ,寬邊可剪 7 塊 ,共可剪(48? 6)?(42? 6)=8?7=56(塊 )正方形布片。 因?yàn)?48=2?2?2?2?3,42=2?3?7,所以 48 與 42 的最大公約數(shù)是 6。 答案： 56。 每個(gè)小朋友可分得梨 : 36? 36=1(只 )， 每個(gè)小朋友可分得桔子 : 108? 36=3(只 )， 所以 ,最多可分得 36 個(gè)小朋友 ,每個(gè)小朋友可分得梨 1只 ,桔子 3 只。 解析：要把梨 36個(gè)、桔子 108 個(gè)分給若干個(gè)小朋友，要求每人所得的梨數(shù)、桔子相等，小朋友的人數(shù)一定是 36 的約數(shù)，又要是 108 的約數(shù)，即一定是 36 和 108 的公約數(shù) .因?yàn)橐笞疃嗫煞纸o多少個(gè)小朋友 ,可知小朋友的人數(shù)是 36 和 108 的最大公約數(shù)。 6. 現(xiàn)有梨 36 個(gè) ,桔 108 個(gè) ,分給若干個(gè)小朋友 ,要求每 人所得的梨數(shù) ,桔數(shù)相等 ,最多可分給 _____個(gè)小朋友 ,每個(gè)小朋友得梨 _____個(gè) ,桔 _____個(gè)。 解析：兩個(gè)自然數(shù)的和是 50,最大公約數(shù)是 5,這兩個(gè)自然數(shù)可能是 5 和 45,15 和 35,它們的差分別為 (455=)40,(3515=)20,所以應(yīng)填 40或 20。 5. 兩個(gè)自然數(shù)的和是 50,它們的最大公約數(shù)是 5,則這兩個(gè)數(shù)的差是 _____。 當(dāng)每人種 1 棵樹時(shí) ,全班人數(shù)應(yīng)是 6671=666,但 666不能被 4 整除 ,不可能。 當(dāng)每人種 29棵樹時(shí) ,全班人數(shù)應(yīng)是 231=22,但 22 不能被 4整除 ,不可能。 答案： 28。故符合題目要求的兩位數(shù)僅 有 64。 解析：因?yàn)?28=2?2?7,所以 28 的約數(shù)有 6個(gè) :1,2,4,7,14,28。 3. 一個(gè)兩位數(shù) ,十位數(shù)字減個(gè)位數(shù)字的差是 28 的約數(shù) ,十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的積是 24.這個(gè)兩位數(shù)是 _____。 解析：因?yàn)?105 的約數(shù)有 1,3,5,7,15,21,35,105 能拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別是 105和 1,35 和 3,21 與 5,15 與 7。 2. 用 105 個(gè)大小相同的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形 ,有 _____種不同的拼法。 答案： 56。 10. 學(xué)生 1430人參加團(tuán)體操 ,分成人數(shù)相等的若干隊(duì) ,每隊(duì)人數(shù)在 100至 200之間 ,問(wèn)哪幾種分法 ? 答案：把 1430 分解質(zhì)因數(shù)得 ： 1430=2?5?11?13 根據(jù)題目的要求 ,應(yīng)在 11及 13中選用若干個(gè)數(shù)，使它們的乘積在 100 到 200之間，于是得三種答案： （ 1） 2?5?11=110； （ 2） 2?5?13=130； （ 3） 11?13=143. 所以 ,有三種分法 :一種是分為 13 隊(duì) ,每隊(duì) 110人；二是分為 11 隊(duì)，每隊(duì) 130 人；三是分為 10 隊(duì)，每隊(duì) 143 人。 [注 ]解答此題的關(guān)鍵是審題 ,抓住題目中的關(guān)鍵性詞語(yǔ)：“使兩組數(shù)的乘積相等”。 14=7?2 20=2?2?5 21=3?7 28=2?2?7 30=2?3?5 7 從上面五個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)來(lái)看 ,連 7 在內(nèi)共有質(zhì)因數(shù)四個(gè) 7,六個(gè) 2,二個(gè) 3,二個(gè) 5,因此每組數(shù)中一定要含三個(gè) 2,一個(gè) 3,一個(gè) 5,二個(gè) 7。 9. 把 1 2 2 30 分成兩組，每三個(gè)數(shù)相乘，使兩組數(shù)的乘積相等。已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是質(zhì)數(shù)個(gè)單位 ,并且周長(zhǎng)是 36 個(gè)單位。 解析：最小的四個(gè)質(zhì)數(shù)是 2,3,5,7,所以有四個(gè)不同質(zhì)因數(shù)的最小自然數(shù)是 2?3?5?7=210。 7. 如果自然數(shù)有四個(gè)不同的質(zhì)因數(shù) , 那么這樣的自然數(shù)中最小的是 _____。 1992=2?2?2?3?83 所以 1992 所有不同的質(zhì)因數(shù)有 :2,3,83。 答案： 88。 解析：將 1716 分解質(zhì)因數(shù)得： 1716=2?2?3?11?13 =11?(2?2?3)?13 由此可以看出這三個(gè)數(shù)是 11,12,13。 5. 三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是 1716,這三個(gè)自然數(shù)是 _____、 _____、 _____。 另外 ,還有 2+19+29=50， 2+11+37=50。 □ +□ +□ =50 答案： 43。 解析：首先注意到 41 是質(zhì)數(shù) ,兩個(gè)自然數(shù)的和與差的積是 41,可見它們的差是 1,這是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù) ,大數(shù)是 21,小數(shù)是 20,所以這兩個(gè)自然數(shù)的積是 20?21=420。 3．兩個(gè)自然數(shù)的和與差的積是 41，那么這兩個(gè)自然數(shù)的積是 _____。