【正文】 ?? ??????????????????????????00110101121 ccX 2’ 得分 五、 計算題 （共 8 分） 試求一個正交的相似變換矩陣 , 把矩陣???????????210120001A 化為對角矩陣 解 解特征方程 0?? EA ? ，得特征值 31 321 ??? ??? ， 3’ 解方程 OXA ?? )( 1? ,得相應(yīng)的特征向量????????????????????????11000121 cCX,. 0222 ??cC 1’ 解方程 OXA ?? )( 3? ,得相應(yīng)的特征向量????????????110CX , 0?C . 1’ 令???????????????????????????????2121000121 PP ，???????????????????22103P 1’ ????????????????????2121021210001P，正 交相似變換???????????3 0 00 1 00 0 139。),0 ,1 ,0(),1 , 1 ,1(),0 ,0 ,2( 4321 ??????? ???? 的線性相關(guān)性為： 線性相關(guān) ，它的秩是 3 . 7．已知向量組α 1=(1,0,0),α 2=(2,5,2),α 3=(1,5,k)線性相關(guān) ,則 k =___2__________. 8．若 3 階方陣 A 的三個根分別是 1， 2， 3，則 方陣 A 的行列式 6?A 9． 設(shè)矩陣 A=????????????0 00000 10100 0101 ，則矩陣 A 的秩為 2 ，線性方程組OXA ?的基礎(chǔ)解系的向量個數(shù)為 3 . 10．給定線性方程組 ???????????????232132132111????xxxxxxxxx）（, 則：當(dāng) λ ≠ 1 且 λ ≠ 0 時，方程組有唯一解；當(dāng)λ = 1 時方程組有無窮解； 當(dāng)λ = 0 時 方程組無解 . 11．矩陣????????????1 0 11 2 10 0 2A 的特征值為： 2 、 1，對應(yīng)于特征值 1?? 的特征向量為： 0,110???????????? kk . 12． 設(shè) A 設(shè)方陣 A 滿足 EAA ?? ,則 ?A ____ 1? ________. 13．二次型 2332222121321 2222),( xxxxxxxxxxf ????? 的矩陣的系數(shù)矩陣為： ???????????2 1 01 2 10 1 1A ，該二次型為 正 定二次型 . 二、計算題（共 5分） 得分 設(shè)矩陣 A= ???????? 1 1 1 2, 求矩陣 X, 使 EAAX 2?? 解 由 AX = A+2E 得 )2(1 EAAX ?? ? 2’ ? ? ?????????????????? 5 2 1 0 2 3 0 1~3 1 1 1 1 4 1 2 2 EAA 3’ 即 ????????? 5 2 2 3 X 三、計算題（共 6 分） 已知向量組 .1222,1343,1121,11114321??????????????????????????????????????????????????????????? ＝?。健。健????? 求向量組 4321 ???? ， 的一組極大線性無關(guān)組 ,并把其余向量用此組向量表示出來 . 解 ? ??????????????????????????????0 0 0 01 0 0 00 1 1 0 0 2 0 1~1 1 1 12 3 1 12 4 2 1 2 3 1 14321r???? ， 由此可知 , 421 ,???， 為一組極大線性無關(guān)向量組 , 213 2 ??? ?? 四、計算題（共 6 分） 求非齊次線性方程組??? ???? ????? 2 22 2 43214321 xxxx xxxx 的通解． 解 增廣矩陣 ?????????????????????? 2 1 1 0 0 0 0 0 1 1~2 1 1 222 1 111 rB 2’ 姓名: 學(xué)號: 系別: 年級專業(yè): ( 密 封 線 內(nèi) 不 答 題 ) ……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………線……………………………………線……………………………………… 得分 得分 還原成線性方程組??? ??? 2 4321 xx xx 1’ 可得方程組通解為???????????????????????????????????????????????????????????020011000011214321ccxxxx, 21,cc 為任意常數(shù) . 2’ 五、 限選題 （共 8分） （經(jīng)管類學(xué)生可選做第 2 小題中的一題，理工類學(xué)生 僅 限 做第 2 小題） (1) (理工類學(xué)生 不做此 小題 )已知二次型 31232221 2)( xxxxxxf ???? ， a） 出二次型所對應(yīng)的矩陣 A b） 用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型， C)寫出相應(yīng)的可逆線性變換矩陣。