【正文】 【習題 】 解： （ 1） 將 E 表示為復數(shù)形式 : 0( , ) si n ( ) xik xyE x z e E z ed? ?? 則由時諧形式的麥克斯韋 方程可得： 000011( , ) ( )[ c os( ) si n( ) ] ( / )xyyxzik xx z xEEH x z E e ei i z xE zze i e k e A md d d?? ??? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? 而磁場的瞬時表達式為 0000( , , ) c o s( ) si n ( )si n ( ) c o s( ) ( / )xxxzxE zH x z t e t k xddkE ze t k x A md? ? ???? ??????? （ 2） z=0 處導體表面的電流密度為 000s in ( ) ( / )s z z y xEJ e H e t k x A md? ????? ? ? ? z=d 處導體表面的電流密度為 00( ) s in ( ) ( / )s z z d y xEJ e H e t k x A md? ????? ? ? ? ? 【習題 】 已知正弦電磁場的電場瞬時值為 ).(),(),( 21 tztztz EEE ?? 式中 8182( , ) 0 .0 3 sin ( 1 0 )( , ) 0 .0 4 c o s( 1 0 )3xxz t t k zz t t k zEeEe?????? ? ?u u uru uur uurur 試求：（ 1）電場的復矢量； （ 2）磁場的復矢量和瞬時值。 得到 200d EJ c Btee182。及位移電流密度 0d EJ te 182。所以由麥克斯韋第四方程 20JEcB te 182。很容易證明他們也滿足兩個散度方程。所以電場 0 sinxE e E t?? 不滿足麥 克斯韋方程組 。 【習題 】 解： 根據(jù) 題的結(jié)論可求出 H? . cl? 的電偶極矩 19 10 10 10 10eP c m? ? ?? ? ? ? ? ? ? 因為最大能量為 c o seeP E P E ?? ? ? ? ? 取 cos 1??? 則 eeP E P E? ? ? ? 則 E 取得最大值時， 可求出最大能量 又 題所求出結(jié)果，得 5m ax 3. 7 10 vE m?? 所以最大能量 2 9 5 2 4m a x 2 .1 1 0 3 .7 1 0 7 .8 1 0eP E J??? ? ? ? ? ? 【習題 】 證明：由麥克斯韋方程dDH J J Jt?? ? ? ? ? ?? 兩邊取散度得 ( ) ( ) 0dH J J? ? ? ? ? ? ?（旋度的散度恒等于 0） 將上式對任意體積 V 積分，并利用散度定理，即得 ( ) ( ) 0ddssJ J d V J J d S? ? ? ? ??? 得證。（如圖） 本題 100 10Rm??? 10100 10Rm??? 滿足 0RR?? ． 將①式整理：32022[ ( ) ]4 eeE P R R PRR????令 ()em k P R R P?? （ 23k R? ） 則 304mE R??? …………………………② 欲求 E 的最大值，求出 m 最大值即可． 2 2 2 2 2 2[ ( ) ] ( ) 2 ( ) ( )e e e e e em k P R R P k P R R P k P R P R? ? ? ? ? 2 2 2 2( 2 ) ( )eek R k P R P? ? ? 2 2 24296( ) ( )eeR P R PRR? ? ? 2223 ()eeP R PR?? 其中 00 c oseP R qR R qR R ???， （ ? 是 0R 和 R 之間的夾角） 易見，當 cos 1?? ，即 0?? 時， 2m 可取最大值 2 2 2 2 2m a x 23 4e e em R P P PR? ? ? 則 m =2eP 代入②式得 m a x33m a x 0042ePmE RR?? ???? 將習題 中的結(jié)論 eP= 2910 cm??? 代入得 29 11 2 1 0 3m a x 2 .0 8 1 02 3 .1 4 8 .9 1 0 ( 1 0 0 1 0 )E V m? ??????? ? ? ? ? 10 Vm?? ? ? 距離自由電子處的電場 19 1 7 12 1 2 1 0 20 1 . 6 1 0 1 . 4 1 04 4 3 . 1 4 8 . 9 1 0 ( 1 0 0 1 0 )eE V m V mR??? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 故 距離電偶極子處的電場最大值為 10 Vm??? 距離自由電子處的電場為 10 Vm??? 【習題 】解 2 解：設矢量0Re的方向從電荷 CL? 指向電荷 H? Rn是從由 CL? H? 構成的電偶極子指向電場中的任一點的矢量，起點在正負電荷連 線的中點，且 0R 〈〈 R. （ e , n 為單位矢量， ? 是 e , n 的夾角） （ 1） 00330 3 c o s1 []4 q R q RE n eRR????? ( 41P ) 由向量減法的三角形法則及余弦定理得： = ? ? 20302 3 c o s 14 qRR ??? ?? ????? 220 0 0 03 3 3 303 c o s 3 3 c o s 31 2 c o s4 q R q R q R q RE R R R R?? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?由上題得 290( 2 .1 1 0 )ep q R cm?? ? ? 因此，當 0?? 或 ??? 時 E 有最大值， 03024 qRE R???? 50302 3 .7 1 04 qR V MR?? ?? （ 2） 72 01( ) 1 .4 1 04qR VE MRR ??? ? ? 【習題 】 證明： 電偶極距 qRep = 其方向為從負電荷指向正電荷。180。 0 = eA = y z e z x e xy e e 0y z e z x e xy e eyzyzyzAeex y zy z zx x yeex y z x y zA e ex y z? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?????? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ???證 明 為 調(diào) 和 場 即 無 源 又 無 旋 場 則 需 滿 足 以 下 條 件而++++xx y z xe ( ) ( )( ) 0AA =y z e z x e xy e e。 【習題 解】 由題意可知： 左 = 2 ( ) ( )v? ??? ? ? ? = ()x y ze e ex x z? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? = [ ( )xe xx????????+ ( ) ( )yzeey y z z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?] = ()? ? ? ?? ? ? ? =? ? ? ?? ? ?? ?+ ? ? ?? ? ?? ? = 22 2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 即證 【習題 解】 （ 1）解： 22x??=－ 2? sin?x sin? y ze?? 22y??＝－ 2? sin?x sin? y ze?? 22z??= 2? sin?x sin? y ze?? 2? ＋ 2? ＝ 2? ； ? 22x??＋ 22y??＋ 22z??＝－（ 2? ＋ 2? － 2? ） sin?x sin? y ze?? ＝ 0； 滿足拉普拉斯方程。 ?? MM xy 所以 4??tg 因此，方向余弦為 1711 1c os 2 ??? ?? tg 174cos ?? 236 ???? xyx? 623 2 ????? yxy? 所以所求的方向?qū)?shù)為 1760174617136c osc os ????????????? Myxl ????? 【習題 解】 ?標量場 r1?? ? 該標量為一個以直角坐標系的 O 點為球心的球面 ?求切平面的方程 ?該平面的法線向量為 1 1 13 3 3x y zn e e e? ? ? 根據(jù)平面的點法式方程，得平面方程為 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 03 3 3 3 3 3x y z? ? ? ? ? ? 整理，得： 3x y z? ? ? 【習題 解】 22c os c os c os( ) c os ( 2 ) c os ( 2 ) c os1 2 1( 1 1 2) ( 2 1 1 1 2) ( 2 2 1 1 )2 2 2130122x y zy y z x y x z z x y? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 【習題 解】 矢量 A 的方向余旋為 2 2 2 2c o s / ) ( ) ( ) 3y z y z x z x y? ? ? ? ?（ 2 2 2 1c o s / ) ( ) ( ) 3x z y z x z x y? ? ? ? ? ?（ 2 2 2 2c o s / ) ( ) ( ) 3x y y z x z x y? ? ? ? ? ?（ 滿足題意方向?qū)?shù)： 2 2 2 3c o s c o s c o s6 c o s ( 3 3 ) c o s ( 2 ) c o s173Mul A x y zx y x y z y z? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 【習題 解】 02 2 22 2 22 2 2c os c os c os9 5 4c os314( 5 1 ) ( 4 1 ) ( 19 2)4 1 3c os314( 5 1 ) ( 4 1 ) ( 19 2)19 2 17c os314( 9 5 ) ( 4 1 ) ( 19 2)4 3 17314 314 31441 2 5314xyzMl x y zlllllly z x z x yll? ? ? ?? ? ??????? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??又3 17 1232 5 1314 314 3141235 , 1 , 2 5 , 1 , 2 9 4 , 19314xyz?? ? ? ? ? ??即 函 數(shù) 在 點 （ ） 處 沿 著 點 （ ） 到 點 （ ， ） 的 方 向 導 數(shù) 為 。 所以 221ab?? ； ⑵ 由⑴，⑵ 解得 34,55ab? ? ? 【習題 解】 由矢量積運算規(guī)則 1 2 3 2 3 3 1 1 2( ) ( ) ( )x y zx y zx x y y z ze e eA C a a a a z a y e a x a z e a y a x ex y zB e B e B eB = ? = + + = + +取一線元： x y zd l e d x e d y e d z? ? ? 則有 0x y zx y z