【正文】 1， 3）在圓的外部，且點(diǎn) A與圓心 O 之間的距離為 OA==，圓的半徑為 r=，∴ sinθ ==，∴ cosθ =， tanθ ==，∴ tan2θ ===，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，直角三角形中的變角關(guān)系，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正切公式的應(yīng)用，屬于中檔題． 16．（ 5 分）若函數(shù) f（ x）=cos2x+asinx 在區(qū)間（，）是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是 （﹣∞，2] ．【考點(diǎn)】 HM：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用； 57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】利用二倍角的余弦公式化為正弦，然后令 t=sinx 換元，根據(jù)給出的 x 的范圍求出 t 的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的圖象的開口方向及對(duì)稱軸的位置列式求解 a的范圍．【解答】解： 由 f（ x） =cos2x+asinx=﹣ 2sin2x+asinx+1，令 t=sinx，則原函數(shù)化為 y=﹣ 2t2+at+1．∵ x∈（，）時(shí) f（ x）為減函數(shù)，則 y=﹣ 2t2+at+1在 t∈（， 1）上為減函數(shù)，∵ y=﹣ 2t2+at+1 的圖象開口向下，且對(duì)稱軸方程為 t=．∴，解得： a≤ 2．∴ a 的取值范圍是（﹣∞， 2]．故答案為：（﹣∞， 2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元法，關(guān)鍵是由換元后函數(shù)為減函數(shù)求得二次函數(shù)的對(duì)稱軸的位置，是中檔題． 三、解答題 17．（ 10 分）△ ABC的內(nèi)角 A、 B、 C的對(duì)邊分別為 a、 b、 c，已知 3acosC=2ccosA， tanA=，求 B．【考點(diǎn)】 GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用； HP：正弦定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 58：解三角形．【分析】由 3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式可得 tanC，利用 tanB=tan[π﹣（ A+C） ]=﹣ tan（ A+C）即可得出．【解答】解：∵ 3acosC=2ccosA，由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，∴ 3tanA=2tanC，∵ tanA=，∴ 2tanC=3=1，解得 tanC=．∴ tanB=tan[π﹣（ A+C） ]=﹣ tan（ A+C） =﹣ =﹣ =﹣ 1，∵ B∈（ 0，π），∴ B=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正切公式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題． 18．（ 12 分）等差數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a1=13， a2 為整數(shù)，且 Sn≤ S4．（ 1）求 {an}的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè) bn=，求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和 Tn．【考點(diǎn)】 8E：數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 55：點(diǎn)列 、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（ 1）通過 Sn≤ S4 得 a4≥ 0， a5≤ 0，利用 a1=1 a2 為整數(shù)可得d=﹣ 4，進(jìn)而可得結(jié)論； （ 2）通過 an=13﹣ 3n，分離分母可得 bn=（﹣），并項(xiàng)相加即可．【解答】解：（ 1）在等差數(shù)列 {an}中，由 Sn≤ S4得： a4≥ 0， a5≤ 0，又∵ a1=13，∴，解得﹣≤ d≤﹣，∵ a2 為整數(shù)，∴ d=﹣ 4，∴ {an}的通項(xiàng)為： an=17﹣ 4n； （ 2）∵ an=17﹣ 4n，∴ bn===﹣（﹣），于是 Tn=b1+b2+?? +bn=﹣ [（﹣） +（﹣） +?? +（ ﹣） ]=﹣（﹣） =．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，考查并項(xiàng)相加法，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 19．（ 12 分）如圖，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中，點(diǎn) A1 在平面 ABC內(nèi)的射影 D 在 AC 上，∠ ACB=90176。∴∠ FAC=45176。則異面直線AB 與 CD 所成角的余弦值為（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】 LM：異面直線及其所成的角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5G：空間角．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再構(gòu)造出異面直線 AB 與 CD 所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出問題的答案．【解答】解：如圖，過 A點(diǎn)做AE⊥ l，使 BE⊥β，垂足為 E，過點(diǎn) A 做 AF∥ CD， 過點(diǎn) E 做 EF⊥ AE，連接 BF，∵ AE⊥ l∴∠ EAC=90176。 =b，∴ c＞ b＞ a故選： C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)值大小的比較，涉及誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題． 4．（ 5 分）若向量、滿足： ||=1，（ +）⊥，（ 2+）⊥，則||=（） A． 2B． C． 1D．【考點(diǎn)】 9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】由條件利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，可得（ +）? =0，（ 2+）? =0，由此求得 ||．【解答】解：由題意可得，（ +）? =+=1+=0，∴ =﹣ 1； （ 2+）? =2+=﹣ 2+=0，∴ b2=2，則 ||=，故選： B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量垂直，則它們的數(shù)量積等于零，屬于基礎(chǔ)題． 5．（ 5 分）有 6名男醫(yī)生、 5 名女醫(yī)生，從中選出 2 名男醫(yī)生、 1 名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有（） A． 60種 B． 70 種 C． 75 種 D． 150種【考點(diǎn)】 D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5O：排列組合．【分析】根據(jù)題意，分 2步分析，先從 6 名男醫(yī)生中選 2 人，再?gòu)?5 名女醫(yī)生中選出 1 人，由組合數(shù)公式依次求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，先從 6 名男醫(yī) 生中選 2 人，有 C62=15 種選法，再?gòu)?5 名女醫(yī)生中選出 1 人，有 C51=5 種選法，則不同的選法共有 15 5=75種； 故選： C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意區(qū)分排列、組合的不同． 6．（ 5分）已知橢圓 C： +=1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦點(diǎn)為 F F2，離心率為，過 F2 的直線 l交 C于 A、 B 兩點(diǎn)，若△ AF1B 的周長(zhǎng)為 4，則 C 的方程為（） A． +=1B． +y2=1C． +=1D． +=1【考點(diǎn)】 K4：橢圓的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用△ AF1B 的周長(zhǎng)為 4，求 出 a=，根據(jù)離心率為，可得c=1，求出 b，即可得出橢圓的方程．【解答】解：∵△ AF1B的周長(zhǎng)為 4，∵△ AF1B 的周長(zhǎng) =|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴ 4a=4，∴ a=，∵離心率為，∴， c=1，∴ b==，∴橢圓 C 的方程為 +=1．故選： A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義與方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 7．（ 5 分）曲線 y=xex﹣ 1 在點(diǎn)（ 1， 1）處切線的斜率等于（） A． 2eB． eC． 2D． 1【考點(diǎn)】 62：導(dǎo)數(shù)及其幾何意義．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 52：導(dǎo) 數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出對(duì)應(yīng)的切線斜率．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 f′（ x） =ex﹣ 1+xex﹣ 1=（ 1+x） ex﹣ 1，當(dāng) x=1 時(shí)， f′（ 1） =2，即曲線 y=xex﹣ 1在點(diǎn)（ 1， 1）處切線的斜率 k=f′（ 1） =2，故選： C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直接求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)． 8．（ 5 分）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為 4，底面邊長(zhǎng)為 2，則該球的表面積為（） A． B． 16π C． 9π D．【考點(diǎn)】 LG：球的體積和表面積； LR： 球內(nèi)接多面體．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】正四棱錐 P﹣ ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上，記為 O，求出 PO1， OO1，解出球的半徑，求出球的表面積．【解答】解：設(shè)球的半徑為 R，則∵棱錐的高為 4，底面邊長(zhǎng)為 2，∴ R2=（ 4﹣ R） 2+（） 2，∴ R=，∴球的表面積為 4π?（） 2=．故選： A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積，球的內(nèi)接幾何體問題，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題． 9．（ 5 分）已知雙曲線 C 的離心率為 2，焦點(diǎn)為F F2，點(diǎn) A在 C 上，若 |F1A|=2|F2A|， 則 cos∠ AF2F1=（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】 KC：雙曲線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)雙曲線的定義，以及余弦定理建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：∵雙曲線 C 的離心率為 2，∴ e=，即c=2a，點(diǎn) A 在雙曲線上，則 |F1A|﹣ |F2A|=2a，又 |F1A|=2|F2A|，∴解得 |F1A|=4a， |F2A|=2a， ||F1F2|=2c，則由余弦定理得 cos∠AF2F1===．故選： A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的定義和運(yùn)算，利用離心率的定義和余弦定理是解決本題 的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力． 10．（ 5 分）等比數(shù)列 {an}中， a4=2， a5=5，則數(shù)列 {lgan}的前8 項(xiàng)和等于（） A． 6B． 5C． 4D． 3【考點(diǎn)】 89：等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵數(shù)列 {an}是等比數(shù)列， a4=2， a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴ lga1+lga2+? +lga8=lg（ a1a2??? a8）=4lg10=4．故選： C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 11．（ 5 分）已知二面角α﹣ l﹣β為 60176。由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知 b＞ a，而 c=tan35176。﹣ 35176。綜合可得．【解答】解：由誘導(dǎo)公式可得 b=cos55176。易得 b＞ a， c=tan35176。 c=tan35176。BC=1， AC=CC1=2．（Ⅰ）證明： AC1⊥ A1B； （Ⅱ）設(shè)直線 AA1 與平面 BCC1B1 的距離為，求二面角 A1﹣ AB﹣ C的大小． 20．（ 12 分）設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為 、 、 、 ，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立．（Ⅰ）求同一工作日至少 3人需使用設(shè)備的概率； （Ⅱ） X 表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)，求 X 的數(shù)學(xué)期望． 21．（ 12 分）已知拋物線 C： y2=2px（ p＞ 0）的焦點(diǎn)為 F，直線 y=4與 y 軸的交點(diǎn)為 P，與 C的交 點(diǎn)為 Q，且 |QF|=|PQ|．（Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）過 F的直線 l 與 C相交于 A、 B兩點(diǎn)，若 AB 的垂直平分線l′與 C 相交于 M、 N兩點(diǎn)，且 A、 M、 B、 N 四點(diǎn)在同一圓上，求 l的方程． 22．（ 12 分）函數(shù) f（ x） =ln（ x+1）﹣（ a＞ 1）．（Ⅰ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè) a1=1， an+1=ln（ an+1），證明：＜ an≤（ n∈ N*）． 2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分） 1．（ 5分）設(shè) z=，則 z的共軛復(fù)數(shù)為（） A．﹣ 1+3iB．﹣ 1﹣ 3iC． 1+3iD． 1﹣ 3i【考點(diǎn)】 A1：虛數(shù)單位 i、復(fù)數(shù)； A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，則 z 的共軛可求．【解答】解：∵ z==，∴．故選： D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形 式的除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題． 2．（ 5 分）設(shè)集合 M={x|x2﹣ 3x﹣ 4＜ 0}， N={x|0≤ x≤ 5}，則 M∩ N=（） A．（ 0， 4]B． [0， 4） C． [﹣1， 0） D．（﹣ 1， 0]【考點(diǎn)】 1E：交集及其運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5J：集合．【分析】求解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合 M，然后直接利用交集運(yùn)算求解．【解答】解：由 x2﹣ 3x﹣ 4＜ 0，得﹣ 1＜ x＜ 4．∴ M={x|x2﹣ 3x﹣ 4＜ 0}={x|﹣ 1＜ x＜ 4}，又 N={x|0≤ x≤ 5}，∴ M∩ N={x|﹣ 1＜ x＜ 4}∩ {x|0≤ x≤ 5}=[0， 4）．故選： B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題． 3．（ 5 分）設(shè)a=sin33176。 AB?α， AB⊥ l， A 為垂足， CD?β， C∈ l，∠ ACD=135176。 c=tan35176。 1，∴直線 l 的方程為x﹣ y﹣ 1=0，或 x+y﹣ 1=0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題． 22．（ 12 分）函數(shù) f（ x） =ln（ x+1）﹣（ a＞ 1）．（Ⅰ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè) a1=1， an+1=ln（ an+1），證明：＜ an≤（ n∈ N*）．【