【正文】 Un 上的模糊關(guān)系 R 定義為如下的模糊集合： }UUU)u,u,(u))u,u,u(),u,u,u{( (R n21n21n21Rn21 ????????????? ? （ 218） 其中， ]1,0[UUU: n21R ??????? 。定義集合的補集為 U 上的模糊集合，記為 194。 定義 兩個模糊集合 A 和 B 的等價（ equality）、包含（ containment）、補集（ plement）、并集（ union）和交集（ intersection）定義如下： 對任意 Ux? ，當(dāng)且僅當(dāng) μA(x)=μB(x)時，稱 A 和 B 是等價的。由于客觀事物之間存在著各種各樣復(fù)雜的聯(lián)系，這些聯(lián)系用模糊集合來表示就表現(xiàn)為模糊集合之間的運算。 圖 23 幾種標(biāo)準(zhǔn)模糊集 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 說 明書 11 定義 設(shè)論域 U 中給定模糊集 A，則以 A 的全體子集為元素構(gòu)成的集合，稱為模糊集 A 的冪集，記作 F(A)。 令 A 是 Rn上一個模糊集，其隸屬度函數(shù)為 μA = μA(x1,……,x n)， H 為 Rn中的一個超平面（ hyperplane），定義 H 為 H ={ x∈ Rn x1 = 0 }（為簡化起見，這里只考慮了這個特殊的超平面，由它可直接推廣到一般的超平面）。 一個模糊集 A 的 α集是一個清晰集 Aα，它包含了 U 中所有隸屬于 A 的隸屬度值大于等于 α 的元素，即 ? ???? ??? )x(UxA A （ 27） 當(dāng)論域 U 為 n 維歐氏空間 Rn 時，凸集的概念可以推廣到 模糊集合。如果一個模糊集的高度等于 1，則稱之為標(biāo)準(zhǔn)模糊集。 如果模糊集的隸屬度函數(shù)達(dá)到其最大值的所有點的均值是有限值，則將該均值定義為模糊集的中心；如果該均值為正（或負(fù)）無窮大，則將該模糊集的中心定義為所有達(dá)到最大隸屬值的點中的最?。ɑ蜃畲螅c的值，如圖 22 所示： 模糊控制在液位控制中的仿真應(yīng)用設(shè)計 10 圖 22 一些典型模糊集的中心 一個模糊集的交叉點就是 U 中隸屬于 A 的隸屬度值 等于 的點。簡要說明如下： 定義 支撐集（ support）、模糊單值（ fuzzy singleton）、中心（ center）、交叉點（ crossover point）、高度（ height）、標(biāo)準(zhǔn)模糊集（ normal fuzzy set）、 α截集（ αcut）、凸模糊集（ convex fuzzy set）及投影（ projections）定義如下： 論域 U 上模糊集 A 的支撐集是一個清晰集合，它包含了 U 中所有在 A 上具有非零隸屬度的元素，即 ? ?0)x(Uxs u p p ( A ) A ??? ? （ 26） 式中， supp(A)—模糊集 A 的支撐集。 由于模糊集合是經(jīng)典集合的推廣，因此，模糊集合中的許多概念和術(shù)語是由經(jīng)典集合推廣而來的，我們在此不作過多的說明。 論域 U 上的模糊集 合 A 可以表示為一組元素與其隸屬度值的有序?qū)Φ募?，? ? ?Ux))x(,x(A A ?? ? （ 23） 當(dāng) U連續(xù)時（如 U=R）， A 一般可以表示為 x/)x(AU A?? ? （ 24） 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 說 明書 9 這里的積分符號并不表示積分，而是表示 U 上隸屬度函數(shù)為 μA(x)的所有點的集合。模糊集合清楚地表明了客觀事物屬于某一集合的“程度”，如果隸屬度函數(shù)為“ 0”，則表示該事物完全不屬于該集合；如果隸屬度函數(shù)為“ 1”，則表示該事物完全屬于該集合；如果隸屬度函數(shù)取值介于“ 0”和“ 1”之間，則表示該事物部分屬于該集合，其值越大，則表明該事物隸屬于該集合的“程度”越高，反之則隸屬程度越低。也就是說，經(jīng)典集合的隸屬度函數(shù)只允許取兩個值 0 或 1，即元素要么屬于該集合（隸屬度為“ 1”）； 要么不屬于該集合（隸屬度為“ 0”）；而模糊集合的隸屬 度函數(shù)則是區(qū)間 [0,1]上的一個連續(xù)函數(shù)。在不混淆的情況下，模糊子集也稱為模糊集合。 定義 設(shè)給定論域 U，則 U 到 [0,1]閉區(qū)間的任一映射 μA都確定 U的一個模糊子 ? ?)x( x 1,0U: AA ?? ?? （ 22） 集 A， μA 稱為模糊子集的隸屬函數(shù)， μA(x)稱為 x 對于 A 的隸屬度。模糊集合與經(jīng)典集合在區(qū)間 [0， 1]上的映射圖明確地反映了二者的關(guān)系，如圖 21 所示 ： 圖 21 經(jīng)典集合與模糊集合映射圖 模糊控制在液位控制中的仿真應(yīng)用設(shè)計 8 模糊集合的基本概念 為了對模糊理論進(jìn)行深入的認(rèn)識，我們首先應(yīng)了解模糊集合的定義 [9]。如人的年齡增長就是一個漸進(jìn)的過程，從嬰兒到老年是隨時間的推移逐漸變化的，不可能一夜之間發(fā)生 “跳變” 。 經(jīng)典集合描述的事物具有 “跳變性” ，即事物的屬性只能是從 “ 0” 變?yōu)?“ 1” 或從“ 1” 變?yōu)?“ 0” ，中間沒有過渡。這說明了經(jīng)典集合的這種局限性是本質(zhì)上的。 然而，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們所面臨的問題也越來越復(fù)雜。從這個意義上講，知道 μA(x)就知道 A，反之亦然，二者是一回事。根吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 說 明書 7 據(jù)以上描述，人們研究的對象要么屬于某一集合，要么不屬于該集合，而不可能既屬于這個集合，又不屬于這個集合。 對于集合這一最基本的公理化的概念，不能加以定義，只能給出一種描述。 從經(jīng)典集合到模糊集合的轉(zhuǎn)變 19 世紀(jì)末德國數(shù)學(xué)家 Gee Contor 發(fā)表了一系列有關(guān)集合的文章，對任意元素的集合進(jìn)行了深入的探討，提出了基數(shù)、序數(shù)等理論，創(chuàng)立了集合論，并成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。顯然，這種描述實際上就是一種模糊描述。即：當(dāng)系統(tǒng)的復(fù)雜性增加時，對其精確化的能力將會降低，當(dāng)達(dá)到一定的閥值后，復(fù)雜性和精確性將互相排斥。事物越復(fù)雜，人們對事物的了解就越不可能完善，從而人們對事物的感知就越模糊，也就無法用精確數(shù)學(xué)去描述這些事物、解決相關(guān)問題?？梢?，模糊性是一種客觀存在的特性，因此，用模糊理論去研究客觀事物是合理而可行的。 世界上的 任何事物都具有模糊性。 模糊理論基礎(chǔ) 美國加利福尼亞大學(xué)著名控制論專家扎德（ . Zadeh）在其于 1965 年發(fā)表的論文《 Fuzzy Sets》中首先提出了模糊集合的概念，之后許多學(xué)者對模糊語言變量及其在控制中的應(yīng)用進(jìn)行了探索和研究。在緒論中，我們對模糊理論作了簡單的了解。 （４） 對本文的工作進(jìn)行總結(jié)，得出結(jié)論并對本文涉及的內(nèi)容作出進(jìn)一步的展望。 （２） 結(jié)合 雙容 水箱水位系統(tǒng)進(jìn)行模糊控制器的設(shè)計 。本文主要是探討模糊控制理論的一種典型應(yīng)用，利用了當(dāng)前流行的吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 說 明書 5 仿真軟件 MATLAB/SIMULINK，進(jìn)行仿真建 模生成軟件模型進(jìn)行仿真調(diào)試，以期達(dá)到掌握參數(shù)，控制精度，動態(tài)特性等指標(biāo)的比較結(jié)果的目的。圖 12 則形象的給出了 Simulink 與 MATLAB 之間的層次關(guān)系，由圖 12 可以看出 Simulink 是建立在 MATLAB 的基礎(chǔ)之上的，它是 MATLAB 環(huán)境中的一個模塊， Simulink Blockset 提供豐富的模塊庫，廣泛的用于控制、模糊控制在液位控制中的仿真應(yīng)用設(shè)計 4 DSP、通訊等領(lǐng)域； Stateflow 是一種利用有限狀態(tài)機理論建模和仿真事件驅(qū)動系統(tǒng)的可視化設(shè)計工具，適合于描述復(fù)雜的開關(guān)控制邏輯、狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖以及流程圖等； RealTime Workshop 能夠從 Simulink 模型中生成可定制的代碼及獨立的可執(zhí)行程序； Stateflow Coder 能夠自動生成狀態(tài)圖的代碼，并且能夠自動地結(jié)合到 RTW 生成碼中 [5]。 Simulink 支持線性和非線性系統(tǒng)，能夠在連續(xù)時間域、離散時間域或兩者的混合時間域里進(jìn)行建模仿真，它同樣支持具有多種采樣速率的系統(tǒng)；與傳統(tǒng)的仿真軟件包用微分方程和差分方程建模相比， Simulink 提供了一種圖形化的交互環(huán)境，只需用鼠標(biāo)拖動便可迅速建立系統(tǒng)框圖模型，甚至不需要編寫一行代碼；它和 MATLAB 無縫結(jié)合，使其能夠直接利用 Matlab 豐富的資源和強大的科學(xué)計算功能；另外， Simulink 在系統(tǒng)仿真領(lǐng)域已得到廣泛的承認(rèn)和應(yīng)用，許多專用的仿真系統(tǒng) 都支持 Simulink 模型，這非常有利于代碼的重用和移植。 Simulink 環(huán)境包含功能齊全的子模型庫： Source(信號源庫 )、 Sinks（輸出方式庫）、 Discrete（離散模型庫）、 Linear（線性環(huán)節(jié)庫）、 Nonlinear（非線性環(huán)節(jié)庫）、Connection（連接及接口庫）、 Blocksets and toolboxs（模塊建立和工具箱庫）以及 Demos（實例庫）。 Simulink 是一個基于 MATLAB 平臺用來對動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真和分析的面向結(jié)構(gòu)圖方式的仿真環(huán)境，是 MathWorks 公司在 1990 年為 版本推出的新的圖形輸入與仿真工具，起初定名為 SIMULAB，但因其與著名的 SIMULA 軟件名類似，故在 1992 年正式更名為 Simulink，它是動態(tài)系統(tǒng)仿真領(lǐng)域中最為著名的集成仿真環(huán)境之一。 MATLAB 當(dāng)前的功能包括可靠的數(shù)值運算 (不局限于矩陣運算 )、圖形繪制、數(shù)據(jù)處理、圖象處理 、方便的 GUI（ GraphicUser Interface,圖形用戶界面）編程，同時有大量配套的工具箱，如吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 說 明書 3 控制界最流行的 控 制 系 統(tǒng) 工 具 箱 (Control systems toolbox) ， 系 統(tǒng) 辨 識 工 具 箱 (Systemidentification toolbox)，魯棒控制工具箱 (Robust control toolbox)，多變量頻域設(shè)計工具箱 (multivariable frequency design toolbox)， μ 分析與校正 (μanalysis andsynthesis toolbox)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱 (neural work toolbox)，最優(yōu)化工具箱 (optimization toolbox)，信號處理工具箱 (signal processing toolbox)以及集成仿真環(huán)境 SIMULINK。由于該軟件的使用極其容易，且提供了豐富的矩陣處理功能，所以很快就吸引了控制領(lǐng)域研究人員的注意力，并在它的基礎(chǔ)上開發(fā)了專門的控制理論 CAD 應(yīng)用程序集（又稱為工具箱），使之很快地在國際控制界流行起來，目前它已經(jīng)成為國際控制界最流行的語言。開發(fā)該語言的最初目的是為線性代數(shù)等課程提供一種方便可行的實驗手段，該軟件出現(xiàn)以后一直在美國 New Mexico 等大學(xué)作為教學(xué)輔助軟件使用，同時作為面向公眾的免費軟件廣為流傳。 模糊控制理論以其非線性控制、高穩(wěn)定性、較好的 “ 魯棒性 ” 、對過程參數(shù)改變不靈敏 、 參數(shù)自調(diào)整功能等眾多經(jīng)典 PID 控制所不具 備的特點能很好的克服以上所列的困難。 （４） 在一些工作環(huán)境惡劣的條件下，在測量信號中存在大量噪聲。 （２） 由環(huán)境溫度的不斷變化給系統(tǒng)帶來的不確定性。國內(nèi)外現(xiàn)在已有模糊電飯煲、模糊洗衣機、模糊微波爐、模糊空調(diào)機等在市場上出現(xiàn) [4]。 模糊控制在液位控制中的仿真應(yīng)用設(shè)計 2 我國模糊控制理論及其應(yīng)用方面的研究工作是從 1979 年李寶綬，劉志俊等對模糊控制器性能的連續(xù)數(shù)字仿真研究開始的，大多數(shù)是在著名的高等院校和研究所中進(jìn)行理論研究，如對模糊控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、模糊推理算法、模糊語言和模糊文法、自學(xué)習(xí)或自組織模糊控制器，以及模糊控制穩(wěn)定性問題等的研究，而其成果主要集中應(yīng)用于工業(yè)爐窯、機床及造紙機等的控制?？刂葡到y(tǒng)的設(shè)計不要求知道被控對象的精確數(shù)學(xué)模型，只需要提供專家或現(xiàn)場操作人員的經(jīng)驗知識及操作數(shù)據(jù)，因而對于許多無法建立精確數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜系統(tǒng)能獲得較好的控制效果，同時又能簡化系統(tǒng)硬件電路的設(shè)計 。 目前，模糊理論及其應(yīng)用愈來愈受到人們的歡迎， 在學(xué)術(shù)界也受到不同專業(yè)研究工作者的重視，在化工、機械、冶金、工業(yè)爐窯、水處理、食品生產(chǎn)等多個領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用。從此，模糊邏輯成為專家學(xué)者、控制工程師們研究的一個熱門課題。 1974 年，扎德又進(jìn)行模糊邏輯推理的研究。 1966 年， P. N. Marinos發(fā)表了模糊邏輯的研究報告，這 標(biāo)志著模糊邏輯真正地誕生。因此基于知識規(guī)則的模糊控控制理論在其應(yīng)用中就有了理論和現(xiàn)實意義 [2]。 經(jīng)典控制理論和