【正文】 ? 時，求曲線 ()y f x? 在點 (0, (0))f 處的切線方程； （ Ⅱ ）當 0t? 時，求 ()fx的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅲ ）證明：對任意的 (0, ), ( )t f x? ?? 在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)均存在零點． （ 19）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法，滿分 14 分。 （浙江文） （ 21）（本小題滿分 15 分）設(shè)函數(shù) axxxaxf ??? 22 ln)( ， 0?a （ Ⅰ ）求 )(xf 的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅱ ）求所有實數(shù) a ，使 2)(1 exfe ??? 對 ],1[ ex? 恒成立． 注： e 為自然對數(shù)的底數(shù)． （ 21）本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時考查抽象概括、推理論證能力。即有： ba 為區(qū)間長度。 ????? nmxxxf 又遞減區(qū)間長度是正整數(shù)，所以 ? ? 02239。 ???????? nxmxxxfxg? 在 2??x 處取極值， 則 ? ? ? ? ? ? 302222239。( ) 0fx? ，故 ()fx分別在 12(0, ),( , )xx?? 上單調(diào)遞增，在 12( , )xx 上單調(diào)遞減． （ II）由（ I）知， 2a? ． 因為 121 2 1 2 1 212( ) ( ) ( ) ( l n l n )xxf x f x x x a x xxx?? ? ? ? ? ?，所以 1 2 1 21 2 1 2 1 2( ) ( ) l n l n11f x f x x xkax x x x x x??? ? ? ? 又由 (I)知， 121xx? ．于是 1212ln ln2 xxka xx??? ? 若存在 a ，使得 ?? 則 1212ln ln 1xxxx? ?? ．即 1 2 1 2ln lnx x x x? ? ?．亦即2 2 221 2 ln 0 ( 1 ) ( * )x x xx? ? ? ? 第 13 頁 共 27 頁 再由（ I）知，函數(shù) 1( ) 2 lnh t t tt? ? ?在 (0, )?? 上單調(diào)遞增，而 2 1x? ，所以222112 l n 1 2 l n 1 0 .1xxx? ? ? ? ? ?這與 (*) 式矛盾．故不存在 a ，使得 ?? （江西文） 20.(本小題滿分 13 分） 設(shè) ? ? nxmxxxf ??? 2331. （ 1）如果 ? ? ? ? 32 ???? xxfxg 在 2??x 處取得最小值 5? ，求 ??xf 的解析式； （ 2）如果 ? ????? Nnmnm ,10 ， ??xf 的單調(diào)遞減 區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求 m 和 n 的值． (注：區(qū)間 ? ?ba, 的長度為 ab? ） .解：（ 1）已知 ? ? nxmxxxf ??? 2331， ? ? nmxxxf ???? 2239。( ) 0fx? ；當 12x x x?? 時， 39。( ) 0 ,a f x? ? ?時 故 ( ) (0, )fx ??在 上單調(diào)遞增． (2) 當 2a ?? 時 , 0 ,g (x )= 0的兩根都小于 0，在 (0, )?? 上， 39。)0( kf ?? 當 21,110 ????? kk 即 時，由（ Ⅰ ）知 ( ) [0, 1]f x k ?在 上單調(diào)遞減，在 ( 1,1]k? 上單調(diào) 遞增，所以 ()fx在區(qū)間 [0， 1]上的最小值為 1( 1) kf k e ?? ? ? ；當 1 , 2k t k? ? ?即 時，函數(shù) ()fx在 [0， 1]上單調(diào)遞減，所以 ()fx在區(qū)間 [0， 1]上的最小值為 (1) (1 ) .f k e?? 第 11 頁 共 27 頁 設(shè) 0a? ，討論函數(shù) 2( ) l n (1 ) 2( 1 )f x x a a x a x? ? ? ? ?的單調(diào)性． 19．解：函數(shù) ()fx的定義域為 (0, )?? 21 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) a a x a xf x a a x axx ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 令 2( ) 2 (1 ) 2( 1 ) 1g x a a x a x? ? ? ? ? 224 ( 1 ) 8 ( 1 ) 1 2 1 6 4 4 ( 3 1 ) ( 1 )a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 當 103a??時， 0?? ，令 ( ) 0fx? ? ，解得 1 ( 3 1 ) ( 1 )2 (1 )a a ax aa? ? ? ?? ? 則當 1 ( 3 1 ) ( 1 )02 (1 )a a ax aa? ? ? ??? ?或 1 ( 3 1 ) ( 1 )2 (1 )a a ax aa? ? ? ?? ?時， ( ) 0fx? ? 當 1 ( 3 1 ) ( 1 ) 1 ( 3 1 ) ( 1 )2 ( 1 ) 2 ( 1 )a a a a a axa a a a? ? ? ? ? ? ? ?????時， ( ) 0fx? ? 則 ()fx在 1 ( 3 1 ) ( 1 )( 0 , )2 (1 )a a aaa? ? ? ??， 1 ( 3 1 ) ( 1 )( , )2 (1 )a a aaa? ? ? ? ???上單調(diào)遞增， 在 1 ( 3 1 ) ( 1 ) 1 ( 3 1 ) ( 1 )( , )2 ( 1 ) 2 ( 1 )a a a a a aa a a a? ? ? ? ? ? ? ???上單調(diào)遞減 ② 當 1 13 a??時， 0?? ， ( ) 0fx? ? ，則 ()fx在 (0, )?? 上單調(diào)遞增 ③ 當 1a? 時， 0?? ，令 ( ) 0fx? ? ，解得 1 ( 3 1 ) ( 1 )2 (1 )a a ax aa? ? ? ?? ? ∵ 0x? ， ∴ 1 ( 3 1 ) ( 1 )2 (1 )a a ax aa? ? ? ?? ? 則當 1 ( 3 1 ) ( 1 )02 (1 )a a ax aa? ? ? ??? ?時， ( ) 0fx? ? 當 1 ( 3 1 ) ( 1 )2 (1 )a a ax aa? ? ? ?? ?時， ( ) 0fx? ? 則 ()fx在 1 ( 3 1 ) ( 1 )( 0 , )2 (1 )a a aaa? ? ? ??上單調(diào)遞增，在 1 ( 3 1 ) ( 1 )( , )2 (1 )a a aaa? ? ? ? ???上單調(diào)遞減 第 12 頁 共 27 頁 （湖南文） 22．（本小題 13 分） 設(shè)函數(shù) 1( ) ln ( ) .f x x a x a Rx? ? ? ? (I)討論 ()fx的單調(diào)性； （ II）若 ()fx有兩個極值點 12xx和 ，記過點 1 1 2 2( , ( ) ) , ( , ( ) )A x f x B x f x的直線的斜率為 k ，問：是否存在 a ，使得 2?ka?? 若存在，求出 a 的值，若不存在，請說明理由． 解析：（ I） ()fx的定義域為 (0, ).?? 2221139。 （ Ⅰ ）求 ()fx的單調(diào)區(qū)間； x )21,(?? 21 )23,21( 23 ),23( ? )(xf? + 0 － 0 + )(xf ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 第 10 頁 共 27 頁 （ Ⅱ ）求 ()fx在區(qū)間 [0,1] 上的最小值。 （北京文） 13．已知函數(shù)32 ,2()( 1) , 2xfx xxx? ??? ?????若關(guān)于 x 的方程 f（ x） =k 有兩個不同的實根，則實數(shù) k 的取值范圍是 _______ 【答案】（ 0， 1） 【解析】 2( ) ( 2)f x xx??單 調(diào)遞減且值域為 (0,1]， 3( ) ( 1) ( 2)f x x x? ? ?單調(diào)遞增且值域為 ( ,1)?? ， ()f x k? 有兩個不同的實根，則實數(shù) k 的取值范圍是（ 0,1）。 （湖北文） 15．里氏震級 M 的計算公式為： 0lg lgM A A??，其中 A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅， 0A 是相應(yīng)的標準地震的振幅。 答案：（ 1） ()aa為 正 整 數(shù) ，（ 2） 16 解析：（ 1）由題可知 *()f n N? ，而 1k? 時， 1n? 則 *( ) 1f n n N? ? ? ，故只須 *(1)fN? ， 第 8 頁 共 27 頁 故 (1) ( )f a a? 為 正 整 數(shù)。 （四川文） 16．函數(shù) ()fx的定義域為 A，若 12,x x A? 且 12( ) ( )f x f x? 時總有 12xx? ，則稱 ()fx為單函數(shù)．例如，函數(shù) ()fx =2x+1( x?R )是單函數(shù)．下列命題： ① 函數(shù) 2()f x x? （ x?R）是單函數(shù)； 第 7 頁 共 27 頁 ② 指數(shù)函數(shù) ( ) 2xfx? （ x?R）是單函數(shù)； ③ 若 ()fx為單函數(shù)， 12,x x A? 且 12xx? ，則 12( ) ( )f x f x? ； ④ 在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)． 其中的真命題是 _________．（寫出所有真命題的編號） 答案： ② ③④ 解析：對于 ① ，若 12( ) ( )f x f x? ，則 12xx?? ，不滿足； ② 是單函數(shù)；命題 ③ 實際上是單函數(shù)命題的逆否命題，故為真命題；根據(jù)定義，命題 ④ 滿足條件． （陜西文） 11．設(shè) lg , 0()10 , 0xxxfx x ??? ?? ?，則 ( ( 2))ff??______. 【分析】由 2x?? 算起，先判斷 x 的范 圍，是大于 0，還是不大于 0,；再判斷 ( 2)f ? 作為自變量的值時的范圍，最后即可計算出結(jié)果． 【解】 ∵ 20x?? ? ， ∴ 2 1( 2 ) 1 0 0100f ?? ? ? ?，所以 22(10 ) lg 10 2f ??? ? ?，即( ( 2)) 2ff? ?? ． 【答案】 2? （浙江文） （ 11）設(shè)函數(shù) k 4()1fx x? ? ,若 ( ) 2fa? ,則實數(shù) a =________________________ 【 答案 】 1 【 解析 】 ∵ 21 4)( ??? aaf， ∴ 1?a . （湖南文） 12．已知 ()fx為奇函數(shù)， ( ) ( ) 9 , ( 2) 3 , ( 2)g x f x g f? ? ? ? ?則 ． 答案： 6 解析： ( 2) ( 2) 9 3 , ( 2) 6g f f? ? ? ? ? ? ? ?則， 又 ()fx為奇函數(shù)，所以 (2) ( 2) 6ff? ? ? ?。當 2y? 時 , 對數(shù)函數(shù) log (2 3)ay x a? ? ?的圖象上點的橫坐標 (4,9)x? ,直線 (3 4)y x b b? ? ? ?的圖象上點的橫坐標 (5,6)x? ,故所求的 5n? . （上海文） 3．若函數(shù) ( ) 2 1f x x??的反函數(shù)為 1()fx? ，則 1( 2)f ? ?? 32? 。為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 （ A） 60 件 (B)80 件 （ C） 100 件 （ D） 120 件 （安徽文） （ 5）若點（ a,b）在 lgyx? 圖像上， a?? ,則下列點也在此圖像上的是 D 第 5 頁 共 27 頁 （ A）（a?， b） （ B）（ 10a,1? b） （ C） （a??,b+1） （ D）（ a2,2b） （安徽文） （ 10）函數(shù) 2)1()( xaxxf n ?? 在區(qū)間〔 0,1〕 上的圖像如圖所示，則 n 可能是 A （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 （廣東文） 4．函數(shù) 1( ) lg (1 )1f x xx? ? ??的定義域是 A． ( , 1)??? B． (1, )?? C． ( 1,1) (1, )? ? ??