【正文】 】 若直線 y＝ kx 與曲線 y＝ x3－ 3x2＋ 2x 相切，試求 k 的值． 解 設(shè) y＝ kx 與 y＝ x3－ 3x2＋ 2x 相切于 P(x0， y0)則 y0＝ kx0， ① y0＝ x30－ 3x20＋ 2x0， ② 又 y′ ＝ 3x2－ 6x＋ 2， ∴ k＝ y′ |x＝ x0＝ 3x20－ 6x0＋ 2， ③ 由 ①②③ 得 ： (3x20－ 6x0＋ 2)x0＝ x30－ 3x20＋ 2x0， 即 (2x0－ 3)x20＝ 0. ∴ x0＝ 0 或 x0＝ 32， ∴ k＝ 2 或 k＝－ 14. 考向二 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 【例 2】 ?已知函數(shù) f(x)＝ x3－ ax2－ 3x. (1)若 f(x)在 [1，＋ ∞ )上是增函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍； (2)若 x＝ 3 是 f(x)的極值點，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間． [審題視點 ] 函數(shù)單調(diào)的充要條件是 f′ (x)≥ 0 或 f′ (x)≤ 0 且不恒等于 0. 解 (1)對 f(x)求導(dǎo)，得 f′ (x)＝ 3x2－ 2ax－ 3. 由 f′ (x)≥ 0，得 a≤ 32??? ???x－ 1x . 記 t(x)＝ 32??? ???x－ 1x ，當 x≥ 1 時， t(x)是增函數(shù)， ∴ t(x)min＝ 32(1－ 1)＝ 0. ∴ a≤ 0. (2)由題意，得 f′ (3)＝ 0，即 27－ 6a－ 3＝ 0， ∴ a＝ 4.∴ f(x)＝ x3－ 4x2－ 3x， f′ (x)＝ 3x2－ 8x－ 3. 令 f′ (x)＝ 0，得 x1＝ － 13， x2＝ 3. 當 x 變化時， f′ (x)、 f(x)的變化情況如下表： x ??? ???－ ∞ ，－ 13 － 13 ??? ???－ 13， 3 3 (3，＋ ∞ ) f′ (x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 ∴ 當 x∈ ??? ???－ ∞ ，－ 13 ， [3，＋ ∞ )時， f(x)單調(diào)遞增，當 x∈ ??? ???－ 13， 3 時， f(x)單調(diào)遞減． 函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)遞增 (減 )，函數(shù)在這個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)大于或等于0(小于或等于 0)，只要不在一段連續(xù)區(qū)間上恒等于 0 即可，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解f′ (x)＞ 0(或 f′ (x)＜ 0)即可． 【訓(xùn)練 2】 已知函數(shù) f(x)＝ ex－ ax－ 1. (1)求 f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)是否存在 a，使 f(x)在 (－ 2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出 a 的取值范圍，若不存在，說明理由． 解 f′ (x)＝ ex－ a， (1)若 a≤ 0，則 f′ (x)＝ ex－ a≥ 0， 即 f(x)在 R上遞增， 若 a0， ex－ a≥ 0， ∴ ex≥ a， x≥ ln a. 因此 f(x)的遞增區(qū)間是 [ln a，＋ ∞ )． (2)由 f′ (x)＝ ex－ a≤ 0 在 (－ 2,3)上恒成立． ∴ a≥ ex在 x∈ (－ 2,3)上恒成立． 又 ∵ － 2x3， ∴ e－ 2exe3， 只需 a≥ e3. 當 a＝ e3時 f′ (x)＝ ex－ e3在 x∈ (－ 2,3)上， f′ (x)0， 即 f(x)在 (－ 2,3)上 為減函數(shù)， ∴ a≥ e3. 故存在實數(shù) a≥ e3，使 f(x)在 (－ 2,3)上單調(diào)遞減． 考向三 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題 【例 3】 ?設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù) f(x)＝ ex－ 2x＋ 2a， x∈ R. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值； (2)求證：當 a＞ ln 2－ 1 且 x＞ 0 時， ex＞ x2－ 2ax＋ 1. [審題視點 ] 第 (2)問構(gòu)造函數(shù) h(x)＝ ex－ x2＋ 2ax－ 1，利用函數(shù)的單調(diào)性解決． (1)解 由 f(x)＝ ex－ 2x＋ 2a， x∈ R知 f′ (x)＝ ex－ 2， x∈ R. 令 f′ (x)＝ 0，得 x＝ ln 2，于是當 x 變化時， f′ (x)， f(x)的變化情況如下表 . x (－ ∞ ， ln 2) ln 2 (ln 2，＋ ∞ ) f′ (x) － 0 ＋ f(x) 單調(diào)遞減 2(1－ ln 2＋ a) 單調(diào)遞增 故 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (－ ∞ ， ln 2]，單調(diào)遞增區(qū)間是 [ln 2，＋ ∞ )， f(x)在 x＝ ln 2 處取得極小值，極小值為 f(ln 2)＝ eln 2－ 2ln 2＋ 2a＝ 2(1－ ln 2＋ a)． (2)證明 設(shè) g(x)＝ ex－ x2＋ 2ax－ 1， x∈ R， 于是 g′ (x)＝ ex－ 2x＋ 2a， x∈ R. 由 (1)知當 a＞ ln 2－ 1 時， g′ (x)的最小值為 g′ (ln 2)＝ 2(1－ ln 2＋ a)＞ 0. 于是對任意 x∈ R，都有 g′ (x)＞ 0，所以 g(x)在 R內(nèi)單調(diào)遞增． 于是當 a＞ ln 2－ 1 時，對任意 x∈ (0，＋ ∞ )，都有 g(x)＞ g(0)． 而 g(0)＝ 0，從而對任意 x∈ (0，＋ ∞ )， g(x)＞ 0. 即 ex－ x2＋ 2ax－ 1＞ 0，故 ex＞ x2－ 2ax＋ 1. 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式要考慮構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決不等式的證明問題．比如要證明對 ? x∈ [a， b]都有 f(x)≥ g(x)，可設(shè) h(x)＝ f(x)－ g(x)只要利用導(dǎo)數(shù)說明 h(x)在 [a， b]上的最小值為 0 即可． 【訓(xùn)練 3】 已知 m∈ R，函數(shù) f(x)＝ (x2＋ mx＋ m)ex (1)若函數(shù)沒有零點，求實數(shù) m 的取值范圍； (2)當 m＝ 0 時，求證 f(x)≥ x2＋ x3. (1)解 由已知條件 f(x)＝ 0 無解， 即 x2＋ mx＋ m＝ 0 無實根， 則 Δ＝ m2－ 4m0，解得 0m4，實數(shù) m 的取值范圍是 (0,4) (2)證明 當 m＝ 0 時， f(x)＝ x2ex 設(shè) g(x)＝ ex－ x－ 1， ∴ g′ (x)＝ ex－ 1， g(x)， g′ (x)隨 x 變 化情況如下： x (－ ∞ ， 0) 0 (0，＋ ∞ ) g′ (x) － 0 ＋ g(x) 0 由此可知對于 x∈ R， g(x)≥ g(0) 即 ex－ x－ 1≥ 0，因此 x2(ex－ x－ 1)≥ 0，整理得 x2ex≥ x3 ＋ x2 ，即 f(x)≥ x3 ＋ x2. 閱卷報告 2—— 書寫不規(guī)范失分 【問題診斷】 利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是高考的熱點內(nèi)容，這類問題求解并不難，即只需由 f′ ?x?＞ 0 或 f′ ?x?＜ 0，求其解即得 .但在求解時會因書寫不規(guī)范而導(dǎo)致失分 . 【 防范措施】 對于含有兩個或兩個以上的單調(diào)增區(qū)間 ?或單調(diào)減區(qū)間 ?，中間用“ ， ” 或 “ 和 ” 連接，而不能用符號 “ ∪ ” 連接 . 【 示例 】 ?設(shè)函數(shù) f(x)＝ x(ex－ 1)－ 12x2，求函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間． 錯因 結(jié)論書寫不正確，也就是說不能用符號 “ ∪ ” 連接，應(yīng)為 (－ ∞ ，－ 1)和 (0，＋ ∞ )實錄 f′ (x)＝ ex－ 1＋ xex－ x＝ (ex－ 1)山東 )曲線 y＝ x3＋ 11在點 P(1,12)處的切線與 y軸交點的縱坐標是 ( )． A．－ 9 B．－ 3 C． 9 D． 15 解析 由已知 y′ ＝ 3x2，則 y′ |x＝ 1＝ 3 切線方程為 y－ 12＝ 3(x－ 1)， 即 y＝ 3x＋ 9. 答案 C 2． (20202 x＝ x1＋ x2. 規(guī)范解答 6—— 如何求曲線上某一點的切線方程 【問題研究】 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在某一點的坐標或某一點處的切線方程是高考常常涉及的問題 .這類問題最容易出現(xiàn)的錯誤就是分不清楚所求切線所過的點是不是切點而導(dǎo)致錯誤 ., 【解決方案】 解這類問題的關(guān)鍵就是抓住切點 .看準題目所求的是 “ 在曲線上某點處的切線方程 ” 還是 “ 過某點的切線方程 ” ，然后求某點處的斜率，用點斜式寫出切線方程 . 【 示例 】 ?(本題滿分 12 分 )(20202 x＝ xx2＋ 1， (2)y′ ＝ (2sin 2x)(cos 2x) 2＝ 2sin 4x (3)y′ ＝ (－ e－ x)sin 2x＋ e－ x(cos 2x) 2 ＝ e－ x(2cos 2x－ sin 2x)． (4)y′ ＝ 11＋ x2(2x＋ 5)′ ＝ 22x＋ 5. 由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把 復(fù)合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過程． 【訓(xùn)練 3】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝ x2＋ 1； (2)y＝ sin22x； (3)y＝ e－ xsin 2x。cos??? ???2x＋ π3 ＝ 2sin??? ???4x＋ 2π3 . (4)設(shè) y＝ ln u， u＝ 2x＋ 5，則 yx′ ＝ yu′ cos vuv′ 2 ＝ 10u4＝ 10(2x－ 3)4. (2)設(shè) u＝ 3－ x， 則 y＝ 3－ x. 由 y＝ u12與 u＝ 3－ x 復(fù)合而成 ． y′ ＝ f′ (u)1x＝ ex??? ???1x＋ ln x . (4)∵ y＝ (x＋ 1)2(x－ 1)＝ (x＋ 1)(x2－ 1)＝ x3＋ x2－ x－ 1， ∴ y′ ＝ 3x2＋ 2x－ 1. 考向三 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【例 3】 ?求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝ (2x－ 3)5； (2)y＝ 3－ x； (3)y＝ sin2??? ???2x＋ π3 ； (4)y＝ ln(2x＋ 5)． [審題視點 ] 正確分解函數(shù)的復(fù)合層次，逐層求導(dǎo)． 解 (1)設(shè) u＝ 2x－ 3，則 y＝ (2x－ 3)5， 由 y＝ u5與 u＝ 2x－ 3 復(fù)合而成， ∴ y′ ＝ f′ (u)( x－ x0)， 即 y＝ 3x20x－ 2x30，由 ??? y＝ x3，y＝ 3x20x－ 2x30， 得 (x－ x0)2(x＋ 2x0)＝ 0，解得 x＝ x0， x＝－ 2x0. 若 x0≠ 0，則交點坐標為 (x0， x30)， (－ 2x0，－ 8x30)； 若 x0＝ 0，則交點坐標為 (0,0)． 利用定義求導(dǎo)數(shù)的一般過程是： (1)求函數(shù)的增量 Δy； (2)求平均變化率ΔyΔx； (3)求極限 li mΔx→ 0 ΔyΔx. 【訓(xùn)練 1】 利用導(dǎo)數(shù)的定義證明奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)． 證明 法一 設(shè) y＝ f(x)是奇函數(shù)，即對定義域內(nèi)的任意 x 都有 f(－ x)＝－ f(x) f′ (x)＝ li mΔx→ 0 f?x＋ Δx?－ f?x?Δx 則 f′ (－ x)＝ li mΔx→ 0 f?－ x＋ Δx?－ f?－ x?Δx ＝ li mΔx→ 0 f?x－ Δx?－ f?x?－ Δx ＝ f′ (x) 因此 f′ (x)為偶函數(shù)，同理可證偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)． 法二 設(shè) y＝ f(x)是奇函數(shù)，即對定義域內(nèi)的任意 x 都有 f(－ x)＝－ f(x)，即 f(x)＝－ f(－ x) 因此 f′ (x)＝ [－ f(－ x)]′ ＝－ [f(－ x)]′ ＝ f′ (－ x) 則 f′ (x)為偶函數(shù) 同理可證偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)． 考向二 導(dǎo)數(shù)的運算 【例 2】 ?求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝ x＋ x5＋ sin xx2 ； (2)y＝ (x＋ 1)(x＋ 2)(x＋ 3)； (3)y＝ sinx2??? ???1－ 2cos2x4 ； (4)y＝ 11－ x＋ 11＋ x； [審題視點 ] 先把式子化為最簡式再進行求導(dǎo)． 解 (1)∵ y＝x12＋ x5＋ sin xx2 ＝ x－32＋ x3＋ sin xx2 ， ∴ y′ ＝ ??? ???x－ 32 ′ ＋ (x3)′ ＋ (x－ 2sin x)′ ＝－ 32x－ 52＋ 3x2－ 2x－ 3sin x＋ x－ 2cos x. (2)法一 y＝ (x2＋ 3x＋ 2)(x＋ 3)＝ x3＋ 6x2＋ 11x＋ 6， ∴ y′ ＝ 3x2＋ 12x＋ 11. 法二 y′ ＝ [(x＋ 1)(x＋ 2)]′ (x＋ 3)＋ (x＋ 1)(x＋ 2)(x＋ 3)′ ＝ [(x＋ 1)′ (x＋ 2)＋ (x＋ 1)(x＋ 2)′ ](x＋ 3)＋ (x＋ 1)湖南 )曲線 y＝ sin xsin x＋ cos x－ 12在點 M??? ???π4， 0 處的切線的斜率為 ( )． A．－ 12 C．－ 22 D. 22 解析 本小題考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力． y′ ＝ cos x?sin x＋ cos x?－ sin x?cos x－ sin x??sin x＋ cos x?2 ＝ 11＋ sin 2x，把 x＝ π4代入得導(dǎo)數(shù)值為12. 答案