20xx高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元練習(xí)--空間向量與立體幾何-文庫(kù)吧資料
2024-08-27 20:09本頁(yè)面
【正文】 20 , 0 , 2 , , ,2 2 2P a E a a a??????， 設(shè) AC BD O??，則 11( , ,0)22O a a ，連結(jié) OE， 由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O，∴∠ AEO 為 AE 與平面 PDB 所成的角 . ∵1 1 2 2, , , 0 , 0 ,2 2 2 2E A a a a E O a? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ∴2c o s 2E A E OAEOE A E O?? ? ??， ∴ 45AEO ???，即 AE 與平面 PDB 所成的角的大小為 45? . 20．已知長(zhǎng)方體 ABCD— A1B1C1D1中， AB＝ 2， BC＝ 4， AA1＝ 4，點(diǎn) M 是棱 D1C1 的中點(diǎn)．求直線 AB1 與平面 DA1M 所成角的正弦值． 【答案】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為 D(0,0,0)， A(4,0,0)， B(4,2,0)， C(0,2,0)， A1(4,0,4)， B1(4,2,4)， C1(0,2,4)， D1(0,0,4)． 于是， M(0,1,4).＝ (0,1,4)，＝ (4,0,4)，＝ (0,2,4)． 設(shè)平面 DA1M 的法向量為 n＝ (x， y， z)， 則，即????? y＋ 4z＝ 04x＋ 4z＝ 0 ． 取 z＝－ 1，得 x＝ 1， y＝ 4. 所以平面 DA1M 的一個(gè)法向量為 n＝ (1,4，－ 1)． 設(shè)直線 AB1 與平面 DA1M 所成角為θ， 178。 由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O， ∴∠ AEO 為 AE 與平面 PDB 所的角 . ∴ O， E 分別為 DB、 PB 的中點(diǎn)， OEPD， 12OE PD? . 又∵ PD ABCD? 底 面 ， ∴ OE⊥底面 ABCD， OE⊥ AO. 在 Rt△ AOE 中， 1222OE PD AB AO? ? ?， ∴ 45AEO ???，即 AE 與平面 PDB 所成的角的大小為 45? . 【解法 2】如圖，以 D 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz? ， 設(shè) ,AB a PD h??則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 0 , 0 , , , 0 , 0 , , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,A a B a a C a D P h， (Ⅰ）∵ ? ? ? ? ? ?, , 0 , 0 , 0 , , , , 0A C a a D P h D B a a? ? ? ?， ∴ 0 , 0A C D P A C D B? ? ? ?. ∴ AC⊥ DP， AC⊥ BD， AC⊥平面 PDB. 178。DAnDEn得 ??????????032303zyxyx，所以)0,3,1( ??n . 設(shè)直線 FM 與平面 A′ DE 所成角為 ? ，則 21c o s,3,2 342 34|||| ||s in ???????? ???? MFn MFn. 所以直線 FM 與平面 A′ DE 所成角的余弦值為 12 . 19．如圖，四棱錐 P ABCD? 的底面是正方形， PD ABCD? 底 面 ， 點(diǎn) E 在棱 PB上 . (Ⅰ）求證：平面 AEC PD B? 平 面 ； (Ⅱ）當(dāng) 2PD AB? 且 E 為 PB的中點(diǎn)時(shí)，求 AE 與平面 PDB 所 成的角的大小 . 【答案】（Ⅰ）∵四邊形 A
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