高中數(shù)學(xué)25等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教案2新人教a版必修5(參考版)
2024-12-12 13:12本頁面
【正文】 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 教學(xué)過程 推進(jìn)新課 ［合作探究］ 師 在對(duì)一般形式推導(dǎo)之前，我們先思考一個(gè)特殊的簡(jiǎn)單情形： 1+q+q2+?+q n=？ 師 這個(gè)式子更突出表現(xiàn)了等比數(shù)列的特征，請(qǐng)同學(xué)們注意觀察 生 觀察、獨(dú)立思考、合作交流、自主探究 師 若將上式左邊的每一項(xiàng)乘以公比 q，就出現(xiàn)了什么樣的結(jié)果呢？ 生 q+q2+?+q n+q n+1 生 每一項(xiàng)就成了它后面相鄰的一項(xiàng) 師 對(duì)上面的問題的解決有什么幫助嗎？ 師 生共同探索： 如果記 Sn=1+q+q2+?+q n 那么 qSn=q+q2+?+q n+q n+1 要想得到 Sn，只要將兩式相減，就立即有 (1q)Sn=1qn 師 提問學(xué)生如何處理，適時(shí)提醒學(xué)生注意 q的取值 生 如果 q≠1 ，則有qqS n???11 師 當(dāng)然，我們還要考慮一下如果 q＝ 1問題是什么樣的結(jié)果 生 如果 q＝ 1，那么 Sn=n 師 上面我們先思考了一個(gè)特殊的簡(jiǎn)單情形，那么，對(duì)于等比數(shù)列的一般情形我們?cè)鯓铀伎迹? 課件展示： a1+a2+a3+?+ an=？ ［教師精講］ 師 在上面的特殊簡(jiǎn)單情形解決過程中，蘊(yùn)含著一個(gè)特殊而且重要的處理問題的方法，那就是 “ 錯(cuò)位相 減，消除差別 ” 的方法 .我們將這種方法簡(jiǎn)稱為 “ 錯(cuò)位相減法 師 在解決等比數(shù)列的一般情形時(shí)，我們還可以使用 “ 錯(cuò)位相減法 如果記 Sn=a1+a2+a3+?+ an 那么 qSn=a1q+a2q+a3q+?+ an 要想得到 Sn，只要將兩式相減，就立即有 (1q)Sn=a1an 師 再次提醒學(xué)生注意 q的取值 如果 q≠1 ，則有qqaaS nn ??? 11 師 上述過程如果我們略加變化一下，還可以得到如下的過程： 如果記 Sn=a1+a1q+a1q2+?+ a1q n1 那么 qSn=a1q+a1q2+?+ a1qn1+a1qn 要想得到 Sn，只要將兩式相減，就立即有 (1q)Sn=a1a1qn 如果 q≠1 ，則有qqaS nn ??? 1 )1(1 師 上述推導(dǎo)過程，只是形式上的不同，其本質(zhì)沒有什么差別，都是用的 “ 錯(cuò)位相減法 ”. 形式上，前一個(gè)出現(xiàn)的是等比數(shù)列的五個(gè)基本量： a1,q,an,Sn,n 中 a1,q,an,Sn四個(gè)；后者出現(xiàn)的是 a1,q,Sn,n四個(gè)，這將為我們今后運(yùn)用公式求等比數(shù)列的前 n項(xiàng)的和提供了選擇的余地 . 值得重視的是：上述結(jié)論都是在 “ 如果 q≠1” 的前提下得到的 .言下之意，就是只有當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比 q≠1 時(shí)，我們才 能用上述公式 師 現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們想一想，對(duì)于等比數(shù)列的一般情形，如果 q＝ 1問題是什么樣的結(jié)果呢？ 生 獨(dú)立思考、合作交流 生 如果 q＝ 1， Sn=na1 師 完全正確 如果 q＝ 1，那么 Sn=nan正確嗎？怎么解釋？ 生 正確 .q＝ 1時(shí)，等比數(shù)列的各項(xiàng)相等，它的前 n項(xiàng)的和等于它的任一項(xiàng)的 n倍 師 對(duì)了，這就是認(rèn)清了問題的本質(zhì) 師 等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)還有其他的方法，下面我們一起再來探討一下： ［合作探究］ 思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們有： qaaaaaaaa n n ????? ?1342312 ... 再由合比定理，則得 qaaaa aaaa n n ????? ???? ?1321 432 ......, 即 qaS aS nnn ??? 1 從而就有 (1q)Sn=a1an (以下從略 思路二：由 Sn=a1+a2+a3+?+ an得 Sn=a1+a1q+a2q+?+ a n1q=a1+q(a1+a2+?+ a n1)=a1+q(Snan 從而得 (1q)Sn=a1an (以下從略 師 探究中我們們應(yīng)該發(fā)現(xiàn)， SnS n =an是一個(gè)非常有用的關(guān)系，應(yīng)該
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