【正文】 且AB=AD．連接BD，過(guò)A點(diǎn)作BD的垂線，交BC于E．（1）求證：四邊形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面積．解答：解：（1）證明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=AD∴四邊形ABCD是菱形．（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE。．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．2已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E．求證：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周長(zhǎng)為6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面積．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延長(zhǎng)DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四邊形ABGD為平行四邊形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90176。FC=3，∴DF=3，DC=6，由題得，四邊形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=32+6+3﹣3=9+3，答：梯形ABCD的周長(zhǎng)是9+3．其實(shí)也還有一種方法的啦?！唷螪CF=60176?！唷螮CB=15176。FC=3，求梯形ABCD的周長(zhǎng)．（2）求證：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75176。AB=BC，點(diǎn)E是AB上的點(diǎn)，∠ECD=45176。E、F分別為CG、AB的中點(diǎn)．（1）求證：△AGD為正三角形；（2）求EF的長(zhǎng)度．（1）證明：連接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可證△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60176?！摺螪BC=30176。BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60176?！唷螦BC=60176。．2如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，將BC延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）如果BC=8，求△DBF的面積？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90176。∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60176。AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長(zhǎng)線上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）證明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度數(shù)．解答：（1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60176。．∴△AFE是等邊三角形，∠AFE=60176?！唷鰽GD是等邊三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60176。∠ADG=∠ACB=60176?！螧AE+∠EAN=90176。．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的長(zhǎng)．（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于點(diǎn)M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=6=3；∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90176?！唷螧CF=30176。而∠B=∠BCD=80176。由（1）得∠FEC=∠DEC=70176。求∠ACF的度數(shù)．證明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF＇=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80176?！郉C==．（5分）1已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且．（1）求證：BF=EF﹣ED；（2）連接AC，若∠B=80176?！螪AE=45176。BC=4，∴AC=BC?sin45176。﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90176。AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．1如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45176。由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．說(shuō)明：依據(jù)此評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，其它方法如：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB用來(lái)證明和計(jì)算均可得分．1如圖，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，BD平分∠ABC．（1）求證：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的長(zhǎng)．（1）證明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中點(diǎn)，∴AE⊥BD．（2）解：延長(zhǎng)AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已證），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中點(diǎn)（已知），所以由三角形中位線定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=（14﹣4）=5．答：EF的長(zhǎng)為5．1如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90176?！郆F⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．1（2011?潼南縣）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求證：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的長(zhǎng)．解答：（1）證明：連接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90176?！摺螦ED+∠ADE=90176?！唷螧AD=∠ABC=90176。點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，AE=BC，DE⊥E