數(shù)列----利用函數(shù)證明數(shù)列不等式(參考版)
2024-10-28 03:31本頁面
【正文】 證明構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3即.所以.二、型例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項為前項之和，中間的的數(shù)列的前項之和，可當(dāng)作是某數(shù)列的前列的通項不等式，因為，作的圖象，由圖4知，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長，以左右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即，而，故不等式成立，4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為的圖象在點(diǎn).（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若；在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）證明:.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、（Ⅲ）不等式列的前項之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項為左邊是通項為的數(shù)列的前項之和，則當(dāng)?shù)臄?shù)時，此式適合，故只要證當(dāng)時，即，也就是要證.由此構(gòu)造函數(shù)，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積，即.圖5而故原不等式成立.，所以。N*).n(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)記c*n=b2nb2n1(n206。q nnanan二、典例精講：例等比數(shù)列{a1n}，a1=1,q=2，{an}的前n項和Sn，求證：Sn2變式正項等比數(shù)列{an}，{a1n}的前n項和Sn，a1=1,Sn2恒成立，求證：0q163。+1163。1)、正項等比數(shù)列{an}，公比為q，0q1，{an}的前n項和Sn，以下說法正確的是（）A．S1nnn=179。1(1q)1(1qn)a238。)237。一、基礎(chǔ)演練：等比數(shù)列{an}，公比為q，則{an}的前n項和Sn為（）236。f(a+b)(a+b)ln2.\f(a)+(a+b)ln2179。f(k)kln2, 即f(x)+f(kx)179?！嗪瘮?shù)g(x)在[,k）上單調(diào)遞增，在(0,kk2]∴g(x)的最小值為g()，即總有g(shù)(x)179。(x)0,則有xkx1222。f(a+b)f(b).解析:設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+f(kx),Qf(x)=xlnx,(k0)\g(x)=xlnx+(kx)ln(kx),\0x162。2(n+2)1ln4所以ln2+ln3+ln4+L+又ln411n+1,所以1ln22+1ln32+1ln42+L+2221(n+1)ln(n+1)n2(n+1)(n+2)(n206。2(n+1)232。12ln(n+1)ln4=231。1246。(n+1)(n+2)232。1=ln4231。1246。所以ln2+ln3+ln4+L+1(n+1)ln(n+1)n2(n+1)(n+2)(n206。232。=n+12n+22(n+1)(n+2)232。231。231。11246。1246。247。246。13180。(n+1)n232。++L+231。111247。246。23
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