山西省呂梁市20xx屆高三上學期第一次摸底數(shù)學試卷理科word版含解析(參考版)
2024-12-04 19:25本頁面
【正文】 1，最大值為 8． [選修 45 不等式選講 ] 24．已知函數(shù) f（ x） =log2（ |x+1|+|x﹣ 2|﹣ m）． （ 1）當 m=7 時，求函數(shù) f（ x）的定義域； （ 2）若關于 x的不等式 f（ x） ≥ 2 的解集是 R，求 m 的取值范圍． 【考點】 其他不等式的解法；函數(shù)的定義域及其求法． 【分析】 （ 1）由題設知： |x+1|+|x﹣ 2|＞ 7，解此絕對值不等式求得函數(shù) f（ x）的定義域． （ 2）由題意可得，不等式即 |x+1|+|x﹣ 2|≥ m+4，由于 x∈ R 時，恒有 |x+1|+|x﹣ 2|≥ 3，故 m+4≤ 3，由此求得 m 的取值范圍． 【解答】 解：（ 1）由題設知： |x+1|+|x﹣ 2|＞ 7， 不等式的解集是以下不等式組解集的并集： ，或 ，或， 解得函數(shù) f（ x）的定義域為（﹣ ∞，﹣ 3） ∪ （ 4， +∞）． （ 2）不等式 f（ x） ≥ 2 即 |x+1|+|x﹣ 2|≥ m+4， ∵ x∈ R 時，恒有 |x+1|+|x﹣ 2|≥ |（ x+1）﹣（ x﹣ 2） |=3， 不等式 |x+1|+|x﹣ 2|≥ m+4 解集是 R， ∴ m+4≤ 3， m 的取值范圍是（﹣ ∞，﹣ 1]． 2017 年 1 月 11 日 。． 故選： D． 11．已知直線 l1： 4x﹣ 3y+6=0和直線 l2： x=﹣ 1，拋物線 y2=4x上一動點 P 到直線 l1和直線l2的距離之和的最小值是（ ） A． B． 2 C． D． 3 【考點】 點到直線的距離公式． 【分析】 設出拋物線上一點 P 的坐標，然后利用點到直線的距離公式 分別求出 P 到直線 l1和直線 l2的距離 d1和 d2，求出 d1+d2，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出距離之和的最小值． 【解答】 解：設拋物線上的一點 P 的坐標為（ a2， 2a），則 P 到直線 l2： x=﹣ 1 的距離 d2=a2+1； P 到直線 l1： 4x﹣ 3y+6=0 的距離 d1= 則 d1+d2=a2+1 = 當 a= 時， P 到直線 l1和直線 l2的距離之和的最小值為 2 故選 B 12．已知函數(shù) f（ x） = ，若關于 x的不等式 f（ x2﹣ 2x+2） ＜ f（ 1﹣ a2x2）的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A． [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ] B．（ ， ] C． [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ] D． [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ] 【考點】 根的存在性及根的個數(shù)判斷． 【分析】 函數(shù) f（ x）的圖象關于直線 x=1 對稱，且當 x＞ 1 時，函數(shù)遞增，所以不等式 f（ x2﹣ 2x+2） ＜ f（ 1﹣ a2x2）可化為：（ a2﹣ 1） x2+2x﹣ 1＞ 0，分 a＜ 0 和 a＞ 0 兩種情況，可得滿足條件的實數(shù) a 的取值范圍． 【解答】 解：由解析式得：函數(shù) f（ x）的圖象關于直線 x=1 對稱，且當 x＞ 1 時，函數(shù)遞增， 所以不等式 f（ x2﹣ 2x+2） ＜ f（ 1﹣ a2x2）可化為： |x2﹣ 2x+2﹣ 1|＜ |1﹣ a2x2﹣ 1|， 即 x2﹣ 2x+1＜ a2x2，即（ a2﹣ 1） x2+2x﹣ 1＞ 0， 若原不等式的解集中有且僅有三個整數(shù)， 則 a＜ 0 時，（ ， ）有且僅有三個整數(shù)，解得： a∈ [﹣ ，﹣ ）， a＞ 0 時，（ ， ）有且僅有三個整數(shù)，解得： a∈ （ ， ]， 綜上可得： x∈ [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ]， 故選： A 二、填空題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13．已知 | |=1， | |= ，且 ⊥ （ ﹣ ），則向量 與向量 的夾角是 ． 【考點】 數(shù)量積表示兩個向量的夾角． 【分 析】 由條件利用兩個向量垂直的性質、兩個向量的數(shù)量積的定義求得 cosθ的值，可得向量 與向量 的夾角 θ的值． 【解答】 解：設向量 與向量 的夾角是 θ，則由題意可得 ?（ ﹣ ） = ﹣ =1﹣ 1 cosθ=0， 求得 cosθ= ，可得 θ= ， 故答案為： ． 14．（ x﹣ ） 6的展開式中常數(shù)項為 ﹣ ． 【考點】 二項式系數(shù)的性質． 【分析】 利用二項展開式的通項公式求出二項展開式的第 r+1 項，令 x的指數(shù)為 0 得常數(shù)項． 【解答】 解：展開式的通項公式為 Tr+1=（﹣ ） rC6rx6﹣ 2r， 令 6﹣ 2r=0 得 r=3， 得常數(shù)項為 C63（﹣ ） 3=﹣ ． 故答案為：﹣ ． 15．若不等式（﹣ 1） na＜ 2+ （﹣ 1） n+1對 ? n∈ N*恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是 [﹣ 2，] ． 【考點】 函數(shù)恒成立問題． 【分析】 若 n 為正奇數(shù)，﹣ a＜ 2+ 恒成立 ?﹣ a＜ （ 2+ ） min，可解得： a≥ ﹣ 2；若 n 為正偶數(shù)， a＜ 2﹣ 恒成立 ?﹣ a＜ （ 2﹣ ） min，利用函數(shù)的單調性可得 a≤ ．從而可得答案． 【解答】 解：若 n 為正奇數(shù)，則﹣ a＜ 2+ 恒成立 ?﹣ a＜ （ 2+ ） min，由于 y=2+ 為減函數(shù)，當 n→+∞時， y→0，故﹣ a≤ 2，解得： a≥ ﹣ 2； 若 n 為正偶數(shù)，則 a＜ 2﹣ 恒成立 ?﹣ a＜ （ 2﹣ ） min，由于 y=2﹣ 為增函數(shù)，當 n=2時， y=2﹣ 取得最小值（ 2﹣ ） = ，故 a≤ ． 因為不等式（﹣ 1） na＜ 2+ （﹣ 1） n+1對 ? n∈ N*恒成立， 所以，﹣ 2≤ a≤ ． 故答案為： [﹣ 2， ]． 16．設實數(shù) x， y 滿足 ，則 Z=max{2x+y﹣ 1， x+2y+2}的取值范圍是 [﹣ 1，5] ． 【考點】 簡單線性規(guī)劃． 【分析】 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用作差法求出 z 的表達式，然后根據(jù)平移，根據(jù)數(shù)形結合即可得到結論． 【 解答】 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖： 2x+y﹣ 1﹣（ x+2y+2） =x﹣ y﹣ 3， 即 z=max{2x+y﹣ 1，x+2y+2}= 其中直線 x﹣ y﹣ 3=0 過 C 點． 在直線 x﹣ y﹣ 3=0 的上方，平移直線 z=2x+y﹣ 1（紅線），當直線 z=2x+y﹣ 1 經(jīng)過點 B（ 2，2）時， 直線 z=2x+y﹣ 1 的截距最大， 此時 z 取得最大值為 z=2 2+2﹣ 1=5． 可行域沒有在直線 x+y﹣ 3=0的下方的，平移直線 z=x+2y+2，當直線 z=2x+y﹣ 1經(jīng)過點 O（ 0，0）時， 直線 z=2x+y﹣ 1 的截距最小， 此時 z 取 得最小值為 z=﹣ 1． 即﹣ 1≤ z≤ 5， 故答案為： [﹣ 1， 5]．
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