20xx高中數(shù)學(xué)人教a必修1第二章222-對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(參考版)
2024-10-10 14:33本頁(yè)面
【正文】 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1．對(duì)數(shù)函數(shù)的概念(1)定義：一般地，我們把函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的特征：特征判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)，只需看此函數(shù)是否具備了對(duì)數(shù)函數(shù)的特征．比如函數(shù)y＝log7x是對(duì)數(shù)函數(shù)，而函數(shù)y＝－3log4x和y＝logx2均不是對(duì)數(shù)函數(shù)，其原因是不符合對(duì)數(shù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)．【例1－1】函數(shù)f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝__________．解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0,1．又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1．答案：1【例1－2】下列函數(shù)中是對(duì)數(shù)函數(shù)的為_(kāi)_________．(1)y＝loga(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x．解析：序號(hào)是否理由(1)真數(shù)是，不是自變量x(2)對(duì)數(shù)式后加2(3)真數(shù)為x＋1，不是x，且系數(shù)為8，不是1(4)底數(shù)是自變量x，不是常數(shù)(5)√底數(shù)是6，真數(shù)是x答案：(5)2．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象與性質(zhì)(1)圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性[來(lái)源:]質(zhì)[來(lái)源:][來(lái)源:](1)定義域{x|x＞0}[來(lái)源:](2)值域{y|yR}(3)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過(guò)定點(diǎn)(1,0)(4)當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0(4)當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0(5)在(0，＋∞)上是增函數(shù)(5)在(0，＋∞)上是減函數(shù)談重點(diǎn) 對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象恒在y軸右側(cè)，其單調(diào)性取決于底數(shù)．a(chǎn)＞1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；0＜a＜1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．理解和掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的關(guān)鍵是會(huì)畫(huà)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，在掌握?qǐng)D象的基礎(chǔ)上性質(zhì)就容易理解了．我們要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．(2)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較解析式y(tǒng)＝ax(a＞0，且a≠1)y＝logax(a＞0，且a≠1)性質(zhì)定義域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R過(guò)定點(diǎn)(0,1)(1,0)單調(diào)性單調(diào)性一致，同為增函數(shù)或減函數(shù)奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(3)底數(shù)a對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的影響①底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的“升降”：當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“下降”．②底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：不論是a＞1還是0＜a＜1，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大．點(diǎn)技巧 對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的記憶口訣 兩支喇叭花手中拿，(1,0)點(diǎn)處把花扎，若是底數(shù)小于1，左上穿點(diǎn)漸右下，若是底數(shù)大于1，左下穿點(diǎn)漸右上，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)底變化，順時(shí)方向底變大，可用直線y＝1來(lái)切，自左到右a變大．【例2】如圖所示的曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象．已知a從，中取值，則相應(yīng)曲線C1，C2，C3，C4的a值依次為( )A．，B．，C．，D．，解析：由底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的影響這一性質(zhì)可知，C4的底數(shù)＜C3的底數(shù)＜C2的底數(shù)＜C1的底數(shù)．故相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的底數(shù)依次是，．答案：A點(diǎn)技巧 根據(jù)圖象判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大小的方法 (1)方法一：利用底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象影響的規(guī)律：在x軸上方“底大圖右”，在x軸下方“底大圖左”；(2)方法二：作直線y＝1，它與各曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是各對(duì)數(shù)的底數(shù)，由此判斷各底數(shù)的大?。?．反函數(shù)(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)．(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系①原函數(shù)的定義域、值域是其反函數(shù)的值域、定義域；②互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)．(3)求已知函數(shù)的反函數(shù)，一般步驟如下：①由y＝f(x)解出x，即用y表示出x；②把x替換為y，y替換為x；③根據(jù)y＝f(x)的值域，寫(xiě)出其反函數(shù)的定義域．【例3－1】若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)＝( )A．log2x B．
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