【正文】 認真觀察 并 分析 PID Control Demo 和 LQR Control Demo，在經過一系列的設計實驗后， 設計 PID 和 LQR 復合控制器 ， 仿真模型圖如圖 25 所示。然后系統(tǒng)受控， 系統(tǒng)運行程中，如果偏差較小， LQR 自然能達到較好控制效果 。于是本文提出一種 LQR 結合 PID 的復合控制 設計 。 因此 當 初始角度偏離 設定點較大時，這種控制方法的效果明顯變差 ， 特別在擾動較大時，可能失去控制作用； PID 控制器作為反饋傳遞函數(shù)，結構簡單、魯棒性好、可靠性高的線性控制， 雖 控制效果稍差一些 ， 但 可 在一定程度上彌補 LQR 的不足 [22]。 （ 5） LQR 控制的抗干擾性能及魯棒性不強 。 （ 3） LQR 控制 對 小車位置 的控制效果較好。 34 第五章 直線一級倒立擺系統(tǒng) PID 與 LQR 復合控制 設計 兩種控制 算 法的對比分析 通過 直線 一級倒立擺的實時控制實驗得到以下結論 ： （ 1） PID 控制效果較 為 平滑 ， 可以 實現(xiàn)直線 一級倒立擺 的 穩(wěn)定。 LQR 最優(yōu)控制是一種較成熟的現(xiàn)代控制理論方法，其控制效果較好，可以用在實時性要求較高的場合 。在巧妙的選擇 Q 及 R 陣的基礎上得到的 LQR 控制器參數(shù)具有優(yōu)良的控制性能。 由此說明通過合理地選擇輸入量 ， 建立了一種基于加 速度控制的倒立擺數(shù)學模型。將參數(shù)加大時，擺子起擺后到達平衡所需時間更短，但左右位移更大一點，穩(wěn)定后的擺角震蕩更小一點 。 但 LQR 控制 器 的魯棒性及抗干擾性能不強，而且 LQR 控制 器 是通過對系統(tǒng)進行局部線性化后 再 運用的一種 控制 方法，因此對于初始角度偏離設定點較大時，這種控制方法的效果明顯變差 ， 特別在 外界 擾動較大時，可能失去控制作用 。 圖 24 直線一級倒立擺 LQR 控制實時控制結果 系統(tǒng)保持平衡，幾乎不產生振動。 圖 22 直線一級倒立擺 LQR 控制實時控制仿真模型 配置參數(shù)如圖 23 所示。 K = lqr(A,B,Q,R) 令 11Q =5000， 33Q =100，求得矩陣 K 的值 ， 得矩陣 K =[ ]。0 0 0 0]。0 0 0 0。 33Q =100。0。0 0 0 1。 A=[0 1 0 0。*CCQ (46) 其中， 11Q 代表小車位置的權重，而 33Q 代表擺桿角度的權重，輸入的 加權陣 R 為 1。當然，也可以通過改變 Q 矩陣中的非零元素來調節(jié)控制器以得到期望的響應。 加權陣R 取不同的值將有不同的跟蹤的輸出， 通常 情況 下 是假設 R=1， 39。 我們可 在Matlab 中 ，通過仿真計算 得到最優(yōu)控制器對應的 K 向量。 改變矩陣 Q 的值 ， 可以得到不同的 K 值 ，進而可以得到不同的控制效果。 對于狀態(tài)方程已經知道的系統(tǒng) ， 利用 Matlab 的 LQR 函數(shù)可以很方便的求解反饋矩陣K， 具體方法為 如下。 如 上 所述 ， 線性二次最優(yōu)控制規(guī)律是最優(yōu)控制規(guī)律 。 x Ax Bu? ?? DuCxy ?? K R + y x 30 矩陣 Q 和 R 確定了誤差和能量損耗的相對重要性 ， 并且假設控制向量 ()ut 是無約束的 。式中 Q—為 正定或正半定 矩 陣； R—為正定 矩 陣。 系統(tǒng) 狀態(tài) 方程 為： X AX Bu? ?? (41) 確定下列最優(yōu)控制向量的矩陣 K： ()u Kx t?? (42) 使性能指標 ： 01 ()2 TTJ x Q x u R u d t???? (43) 達到最小值 。 29 圖 21 LQR 控制系統(tǒng)結構圖 其中， [ , ]Tyx??為小車的位移和擺桿的角度在倒立擺系統(tǒng)的輸出， R 是作用在小車上的階躍輸入 。 求解 Riccati 方程得到控制器最佳參數(shù)可以實現(xiàn)線性二次型性能指標，并且隨著現(xiàn)代計算機科學技術的進步，求解過 程也大大的簡化了 [20]。 線性 二次型 問題的最優(yōu)解 一般 寫成統(tǒng)一的解析表達式， 不僅 能夠 實現(xiàn) 多項性能指標 而 且也 可 以 采用狀態(tài)線性反饋 控制律 以 構成閉環(huán) 最優(yōu)控制系統(tǒng) 。它的解很容易獲得 ， 并且可以 達到 很 好的控制效果 ， 因此在工程上有 著 廣泛的應用。 LQR最優(yōu)控制利用廉價成本可以使原系統(tǒng)達到較好的性能指標 (事實也可以對不穩(wěn)定的系統(tǒng)進行整定 )， 而且方法簡單便于實現(xiàn) ， 同時利用 Matlab 強大的功能體系容易對系統(tǒng)實現(xiàn)仿真。特別可貴的 是， 是易于分析、處理和計算，而且通過 LQR 控制 發(fā)的到的倒立擺系統(tǒng)具有較好的魯棒性與動態(tài)特性，同時能夠得到現(xiàn)行反饋結構特點， 易于構成閉環(huán)最優(yōu)控制。 LQR 最優(yōu)設計 是指設計出的 狀態(tài)反饋 控制器 K 要使 二次型 目標函數(shù) J 取最小值 ， 而 K 由 權矩陣 Q 與 R 唯一決定 ，故此 Q、 R 的選擇尤為重要。 28 第四章 直線一級倒立擺系統(tǒng) LQR 控制 線性二次最優(yōu)控制算法 LQR (linear quadratic regulator)即 線性 二次型 調節(jié)器 ， 在現(xiàn)代控制理論中占有相當重要的地位，在控制領域受到一定的重視。 其原因在于傳統(tǒng)的 PID 控制方式 (建立在傳遞函數(shù)上 )只適應于單輸入單輸出系統(tǒng)，而要使實際倒立擺系統(tǒng)得到控制，即既要使擺桿直立，又能使小車達到指定的位置，并且在整個過程中，桿不能倒下 ，則 必須采用其它的控制方法。倒立擺的擺角幅 度在 弧度左右 ， 倒立擺的位置隨著時間 27 的推移而大致呈線性變化 ，這 說明所設計的 PID 控制器對倒立擺的擺角控制性能較佳，但 卻 無法實現(xiàn)對倒立擺位置的控制。 圖 20 PID 控制實驗結果 2（施加干擾） 可以看出， 該 系統(tǒng) 對于來自 外界 的 干擾 有 較好的抵 抗作用。 26 圖 19 PID 控制實驗結果 1 從圖 19 中可以 得 出，倒立擺 系統(tǒng) 可以較好的實現(xiàn)穩(wěn)定性，擺桿的角度 控制 在 （弧度）左右 ，但 對小車位置的控制 卻沒有明顯效果 ，小車會沿 著 滑桿稍微的移動。緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置， 待 進入自動控制程序后松開 擺桿 ，當小車 即將 運動到 兩端 限位的 位置時， 可 用 其他物體 擋一下擺桿，使小車 向另一端 運動。 圖 18 參數(shù)設計調整 (3) 點擊 編譯程序，完成后點擊 使計算機和倒立擺建立連接。 直線一級倒立擺的 PID 控制器仿真 PID 控制器設計完成以后，進行 直線一級倒立擺 的 PID 控制器 Simulink 仿真 。 雙擊 “Scope1”，得到小車的位置輸出曲線如圖 16 所示。因此再增加微分控制參數(shù) Kd，取： Kp=100， Ki=1， Kd=20。 因此 增加微分控制參數(shù) Kd，取 Kp=100， Ki=1， Kd=10，得到仿真結果如圖 14 所示 。 圖 12 PID 控制仿真結果圖（ Kp=1， Ki=1， Kd=1） 從圖 12 中可以看出，此時的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 ， 要想得到穩(wěn)定的系統(tǒng) ， 可以加大比例反饋系數(shù) Kp，取 Kp=100， Ki=1， Kd=1，得到仿真結果如圖 13 所示 。 圖 10 直線一級倒立擺 的 PID 控制仿真模型 其中 PID Controller 為封裝（ Mask）后的 PID 控制器，雙擊 該 模塊打開參數(shù)設置 界面 ，如圖 11 所示。通過選擇不同的 PID 參數(shù)對倒立擺系統(tǒng)進行仿真。 圖 9 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)簡化圖 該系統(tǒng)的輸出為 ： 21 )())(())(()()())(())((1)()()(1)()(sFnumn u m P I Dd e nd e n P I Dd e n P I DnumsFd e nd e n P I Dnumn u m P I Dd e nnumsFsGsKDsGsy?????? 其中： num——被控對象傳遞函數(shù)的分子項 ； den ——被控對象傳遞函數(shù)的分母項 ； numPID ——PID 控制器傳遞函數(shù)的分子項 ； denPID ——PID 控制器傳遞函數(shù)的分母項 ； 通過分析上式就可以得到系統(tǒng)的各項性能。 圖 8 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)圖 圖中 ()DKs是控制器傳遞函數(shù)， ()Gs是被控對象傳遞函數(shù)。 直線一級倒立擺 控制問題和我們以前遇到的標準控制問題有些不同，在這里輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個擾動，觀察擺桿的響應。 （ 3） 微分調節(jié) (D) 可以消除振蕩，提高快速性， 當偏差 ()et 瞬間 的 波動 較 快時 ， 微分調節(jié)器 則 會 立刻 產生響應來抑制偏差 ()et 的變化 ，從而 使系統(tǒng)趨于穩(wěn) 定 ，而且 系統(tǒng)的動態(tài)性能 也得到了 改善 。 IK 越大其靜態(tài)誤差越小，但過大會產生振蕩，導致 系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降 。 pK 越 大 ，系統(tǒng)的快速性越好，但 pK 過大 會 導致系統(tǒng)靜態(tài)偏差增大 。 在控制系統(tǒng)設計和仿真中，也 常 將傳遞函數(shù)寫成 ： sKsKKsE sUsG DIP ???? )( )()( 式中： pK ——比例系數(shù)； IK ——積分系數(shù)； dK ——微分系數(shù)。 K 比例 微分 積分 被控對象 rin(k) + + + yout(k) 19 圖 7 常規(guī) PID 控制系統(tǒng)圖 PID 控制器是 作為 一種線性控制器，它 是 根據給定值 ()rt與實際輸出值 ()yt 構成控制偏差 ()et ： ( ) ( ) ( )e t r t y t?? 將偏差的比例 (P)、積分 (I)和微分 (D)通過線性組合構成控制量， 來 對被控對象進行控制，故稱 為 PID 控制器。常規(guī) PID 控制系統(tǒng)原理框圖如圖 7 所示。 PID 控制系統(tǒng)原理 結構 框圖如圖 6 所示。 PID 控制器問世至今已有近 70 多年的歷史，它以其結構簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調整方便等優(yōu)點而成為現(xiàn)代工業(yè)控制的主要技術之一。 PID 控制的基本思想是：通過測量輸出變量，與期望值相比較，用這 個誤差調節(jié)控制系統(tǒng)。反饋理論的要素包括三個部分：測量、比較和執(zhí)行。 本章小結 本章應用 牛頓一歐拉 法建立 了 直線一級倒立擺系統(tǒng) 的 數(shù) 學模型，推導 出 了該系統(tǒng)的運動方程， 并 求出了直線一級倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型 以 及空間狀態(tài)方程 矩陣 ，并 且 分析 了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性， 最終 得出直線一級倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定系統(tǒng) 但是卻能控能觀 的 。 我們可以看出，一級倒立擺系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩均為 4，所以系統(tǒng)是 17 完全能控、完全能觀的。 若 ()Orank T n? ，則 說明 系統(tǒng) 是 完全能觀測 的 。矩陣 OT 稱為系統(tǒng)的能觀測 性 矩陣，由 MATLAB 控制系統(tǒng)工具箱中的 obsv(A， C)函數(shù) 可以將該 矩陣自動 的生成 出來。若系統(tǒng)中至少有一個狀態(tài)變量是不可測的，則稱此系統(tǒng)為不完全可測的。 系統(tǒng)可觀測性分析 若一個 n 維線性定常系統(tǒng)方 程為： x A x B uy Cx D u?????????? 16 其中 A、 B、 C、 D 分別為 nn? 、 nr? 、 mn? 、 mr? 常數(shù)矩陣。 ctrb()函數(shù) 的 調用格式為： ( , )cQ ctrb A B?，通過該函數(shù) 可 以 求出系統(tǒng)的能控矩陣： ? ?????????????????????00, 32 BABAABBT c cT 矩陣的秩 ()crankT 稱為系統(tǒng)的能控性指數(shù)，它的值是系統(tǒng)中能控狀態(tài)的數(shù)目。 （ 3） 矩陣 1()SI A B?? 的行線性獨立。 （ 2）若系統(tǒng)能控，則 nnr? 能控性 矩陣 21[ , , , , ]c nQ B A B A B A B???滿秩。 下列命題中 的 任何一個成立 ，都可作為 線性定常系統(tǒng)對于 0 (0, )t? ? ? 完全能控的充要條件 。 若系統(tǒng)是能控的，則存在容許控制 ()ut ，使得： 15 111 ()1 0( ) ( 0) ( )tA t A tx t e x e Bu d??? ? ? ? ? ??； 111()0( 0 ) ( )tAt A te x e B u d??? ? ? ?? ； 10(0 ) ( )t Ax e Bu d??? ? ? ??