【正文】 通過 機械動力學(xué) 、機器 人設(shè)計 學(xué) 中 經(jīng)常使用 的 齊次 坐標(biāo)的 基本 轉(zhuǎn)換原理 [38]，針對各個坐標(biāo)系展開如下坐標(biāo)變換： 21 0 0 00 1 00 0 1 00 0 0 1dcST?????????? () 22221 0 0 00 sin c o s 00 c o s sin 00 0 0 1odqqTqq????? ??? () 2021 0 00 1 00 0 1 00 0 0 1BnoXET??????????? () 2222c o s 0 sin 00 1 0 0sin 0 c o s 00 0 0 1MMqnMMT???????????? () 2222c o s sin 0 0sin c o s 0 00 0 1 00 0 0 。 如果在盤刀的 坐標(biāo)系 cS 中，刀 尖頂面 可 通過 點 M 的位置法矢 和徑矢 cr 表示 ： 2 0 20 2 2 0 2 2220 2 2 0 2 2c o s( sin ) sin( , )( sin ) c o s1csrsrsrs????????????? ??? () 沈陽工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 24 020 2 20 2 2sinc o s sinc o s c o s0??????????? ????? () 式 （ ） 中 的 2s 的值是 沿母線方向點 M 到刀尖的距離。 下面將把齒面方程利用其次坐標(biāo)變換理論轉(zhuǎn)變矩陣形式，如此的轉(zhuǎn)換才能夠便于實際計算研究。 第一曲面 （盤銑刀 切削面 ）的矢量 方程 1r? 由兩段 矢量合成 ， 第一 段 矢量 是從大輪加工坐標(biāo)系 的坐標(biāo) 原點 O 到刀尖點 的矢量 02r? ， 第二 段 則 是從刀尖點到 盤銑刀 切削面上任意一點的 矢量 ts2? ，記作： ts2021 ??? ??rr () 其中，參數(shù) t? 是 點 M 順著 切削面母 線 方向 上 的單位 矢量 ； 2s 則 是 關(guān)于 2? 與 2q 的函數(shù)，需要 利用 嚙合方程 0nv12 ??? 求解出 2s 的 函數(shù) 表達(dá)式 [3637]。 通過 圖 所示的 盤刀剖視圖 AA 得出： 大輪 盤刀 的名 義半徑為 0r 、 內(nèi)外刀 刃 的刀頂距 離 為 2W 、 刀 具 的 齒 形角為 02? 、那么很容易得到刀尖直徑的表達(dá)式 ： 20xx 21rr W?? () 其中 ，負(fù) 號 代表銑削 齒輪凸面的內(nèi)刀 盤 ，正號 則代表銑削 齒輪凹面的外刀 盤 。 2)徑向刀位 2S ；指的是 刀 具 中心到機 床 中心的距離 。 5)大輪轉(zhuǎn)角 2? ；指 齒輪以計算 點共 軛展成為 起始點 繞 大輪 軸線的轉(zhuǎn)角。 3) 垂直 輪 位 02E ； 指被 銑削 齒輪的中 軸 線 與 搖臺中 軸 線的相 對垂 直偏置量 。 由 圖 所示，根據(jù) 刀 具 與工件的相 對 位置，工件位置 的相 關(guān)參數(shù) 包括 ： 1) 床位 2BX ； 指工件箱 (或搖臺 )相 對標(biāo) 準(zhǔn)位置沿 著 搖臺中 心線 方向前 或 向后 的距離 。 , ,S O x y z和 ? ?g g g g g= 。 , ,S O x y z為固 連 于刀 具坐標(biāo)系， 設(shè) cO 為刀 盤 中心； ? ?n n n n n= 。 , ,S O x y z與 ? ?q q q q q= 。本章利用 帶刀傾搖臺 結(jié)構(gòu) 的螺旋錐齒輪 加工中心計算出了右旋大輪的齒面方程。 加工坐標(biāo)系建立及其參數(shù) 根據(jù) 螺旋錐齒輪 切齒 加工 及 嚙合原理 , 可以 把構(gòu)想出來的產(chǎn)形輪與被加工大輪看 成是 一 個 嚙合的齒輪副 。 建立數(shù)學(xué)模型 時， 首先要 算出 在 大輪齒面計算點 處 的曲率 ； 然后 在通過 大 、 小輪在嚙合點 處 的誘導(dǎo)曲率 計算小輪凹凸齒面 預(yù)設(shè) 點 處 的曲率， 確定 出小輪齒面， 并要求切削 出的小輪 必須 滿足嚙合公式 。 20 第三章 螺旋錐齒輪齒面 計算 本章 用 格里森公司 制造 的螺旋錐齒輪數(shù)控 加工中心舉 例， 分析 了螺旋錐齒輪齒面運算理論 ， 建立了 被加工齒輪的 空間 數(shù)學(xué)模型。 根據(jù) 局部共軛原理 加工螺旋錐齒輪目前已被廣泛使用，此 加工方法 成為 現(xiàn)代輪齒加工 業(yè) 中一種先進制造方法 [35]。 局部第一章 緒論 19 共軛的齒輪副 處于 正確位置 裝配 時 ，接觸區(qū) 位置在 輪齒中部，如果安裝 齒輪存在 誤差，接觸區(qū) 也只 在中點 周圍 移動而不會 造成 輪齒邊緣 應(yīng)力 集中 的現(xiàn)象 。 符合 局部共軛 嚙合原理 的齒 輪 副 避免了 完全共軛 的 齒輪副可調(diào)性差的 缺陷 。 圖 局部接觸區(qū) Local contact area 很顯然利用 這種實際 加工出來的 齒面與大輪 再次 嚙合 時 ，其接觸區(qū)不再 分布 整個齒面 。雖然這種 完全共軛的 齒面 在 理論上 是 存在的 ，但 是 在現(xiàn)有的 生產(chǎn)條件下 是無法 切削成 的。通常 情況下 小輪 模數(shù)較小、 齒數(shù)較少， 這樣修正比較簡單， 所以 大部分情況只 對小輪進行修正。 圖 齒輪嚙合時刀盤的相對位置 Relative position of the cutters when meshing 小輪刀盤軸線 大輪刀盤軸線 小輪 大輪 沈陽工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 18 這樣 可以 清楚的看到， 兩盤刀 的中 軸線根本 不 平行，這說明 ： 不能用直接展成法加工小齒輪 ，因為 盤刀 的 切削面 無法 和大輪齒面 做的 一樣 ；但是 也不能 使 用間接展成法加工， 因為無法 使大輪盤刀切削面和小輪盤刀切削面相互吻 合。 齒面修正 加工螺旋錐齒輪時，在展成齒面的同時 也需要 加工出齒根曲面， 這就 要求 盤銑刀的刀尖平面必須相切 于 工件的根錐 表面 ，即刀盤 的中 軸線于根錐 表面相互 垂直。 刀傾法加工小輪 則 是 采用 錐形產(chǎn)形輪，產(chǎn)形輪和工件 通常有著恒定 的傳動比。 變性法 采用的是 平面產(chǎn)形輪，產(chǎn)形輪的自由度若想要增加，可以變化產(chǎn)形輪和工件之間的傳動比，以便更能適應(yīng)小輪齒面的修正。 假想平頂齒輪 被切齒輪 銑刀盤 第一章 緒論 17 a）平面產(chǎn)形輪 b）錐形產(chǎn)形輪 a） Plane generating gear b） Cone generating gear 圖 兩種產(chǎn)形輪 Two kinds of generating gear 小輪的加工采用平面產(chǎn)形輪和錐面產(chǎn)形輪都可以。為了 更進一步把加工效率 提高，大輪 的加工刀具 一般都采 取 雙面法，即 刀具 安裝有內(nèi) 、 外切刀片 ，稱此種刀具為 雙面刀盤 。 大 時，大輪 輪 齒 表 面與刀盤盤錐面形狀 及其 相似 并 且大輪根錐 表面 與根錐中點 的 切平面 也非常接近 ，這時讓刀盤直接切入輪坯 ，不需要用展成法來切削，這種直接 切入 輪坯 的方式稱為成形法 。當(dāng)大輪節(jié)錐角 比 70176。；錐形產(chǎn)形輪的盤刀 中 軸線不平行與 銑齒機 搖臺軸線， 使得 產(chǎn)形輪的面錐角不 再 等于90176。 圖 螺旋錐齒輪加工示意圖 Processing schematic of spiral bevel and hypoid gear 產(chǎn)形輪一般 分為兩大類： 平面產(chǎn)形輪 、 錐面產(chǎn)形輪 （ 如圖 、 所示 ） 。齒面 的銑削過程就是在模擬 一對準(zhǔn)雙曲面齒輪 副 的嚙合 過程 ， 這樣被加工出來的齒面與 刀盤的切削面是 兩個 完全共軛的 曲面。 通過 對銑齒 機搖臺 里凸輪 機構(gòu) 的控制 模擬 出 一個假想齒輪， 裝配 在搖臺 上的盤銑刀 銑削完成的曲 面 就是 假想齒輪的一個輪齒 表面 。 上文介紹 的螺旋錐齒輪嚙合 理論 不僅是 齒輪切削原理 的基礎(chǔ)理論 ，而且也是 建立螺旋錐齒輪齒面 數(shù)學(xué) 模型的基礎(chǔ)理論。 求解和 (1)S 這種 曲面 完全共軛的曲面 (2)S 必須分 區(qū)域來求解 。設(shè)在 坐標(biāo)系 )t(1? 中空間 曲線 ? 的方程 是 )(sr ， 求得 軌跡曲面 (2)S 的方程 2r? 為： )()(2 srtmr ??? ?? () 式中的 s 和 t 為 軌跡曲面 (2)S 的 兩個 曲面參數(shù)。如果 存在空間 曲面 (2)S在運動坐標(biāo)系 )t(2? 中與 空間 曲線 ? 共軛 ，其接觸線 必須 是 空間 曲線 ? 本身。 通過 微分方程 中的 單參數(shù)曲面族的包絡(luò)理論可知 ：通過方程組 ()求得 曲面(2)S 的表達(dá)式 2r? 是運動曲面 (1)S 的包絡(luò)，所以上面使用的求解 方法 事實 上就是傳統(tǒng) 的包絡(luò)法 [33]。 終上所述 ， 空間 曲面 (2)S 的方程 2r? 應(yīng)滿足下面 方程組： ??? ??? 0nv rmr1212 ?? ??? () 第一章 緒論 15 在 正常 情況下超越方程組 ()式，不能 計算出解析解 。 第二共軛曲面應(yīng)滿足的方程式 如果知道兩個 線接觸共軛曲面 之一的 共軛曲面 (1)S 和兩 個空間 曲面之間的相對運動 關(guān)系 ，如何 求出另一個空間 曲面 (2)S 。 如果 在任意時刻 兩 個 運動 的空間 曲面都沿著嚙合方程 （ ） 所 能 確定的曲線接觸，則稱 兩個空間曲面 為線接觸共 軛 曲面 ，也可稱兩個空間曲面是一對 完全 共軛的 曲面 ；如果在任意時刻兩個空間運動曲面只是 在接觸線上的某一點 接觸，則 稱 兩個空間曲面 為點接觸共 軛 曲面 ，也可稱其為 不完全共 軛 曲面。 空間 曲面 (1)S 相對于 運動坐標(biāo)系 )t(1? 的相對微分用 1d 來 表示 ；同理，空間 曲面(2)S 相對于 運動坐標(biāo)系 )t(2? 的相對微分用 2d 來 表示 ；空間 曲面 (1)S （ 運動坐標(biāo) )t(1? ）的角速度用 1?? 來 表示 ；同理，空間 曲面 (2)S （ 運動坐標(biāo) )t(2? ） 的角速度用 2?? 來 表示，將 上述 ()方程組 ， 用相對微分法 來 微分， 求 得： M r2 m O2(t) O1(t) r1 沈陽工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 14 dtvrdrd 121122 ??? ?? () 其中： mmrmrrv 2112221112 ??????????? ???????????? ???? () 求得的速度 為兩 接觸 曲面的相對速度。當(dāng) 兩個 曲面 (1)S 和 (2)S 在空間某 一 點 M 相切 時， 如圖 所 示。設(shè)運動曲面 )(tS 的法矢 為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x y zn u v t n u v t n u v t n u vi j k t? ? ?、 、 、 、 、 () 則 ： dtnndnd ???? ??? ?1 () 矢 向量 函數(shù)的這種微分 求解 方法 我們 稱 之 為相對微分法， 它不僅考慮了空間曲面的運動方式，而且能在運動中利用此方法研究曲面的一系列幾何問題，是 研究齒輪 副嚙合 情況 的 常用有效 工具 [31]。從式（ ）中也可能得到絕對微分 dr 與相對微分 1dr之間的相對關(guān)系，另稱（ ）式為相對微分公式。設(shè)曲面 )(tS 上的任意點在坐標(biāo)系 (t)? 中 為 ? ? ? ? ? ?? ?x u v y u v z u v， 、 ， 、 ，那么 空間 運動曲面 )(tS 的方程 可寫 為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r u v t x u v t y u v t z uij vtk? ? ?、 、 、 、 、 () 沈陽工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 12 其中， zyx 、 是 關(guān)于參數(shù) vu、 的函數(shù)，而 kji 、 則 是 關(guān)于 時間 t 的函數(shù)。 用矢函數(shù) r 來表示 曲面時 ，它不僅是 參數(shù) vu、 的函數(shù)， 也是關(guān)于 時間 t 的函數(shù)。齒輪嚙合 理論的相關(guān) 內(nèi)容 非常廣泛 ，限于 本章 篇幅，本節(jié)只 討論 求解錐齒輪齒面方程時 所 需要