高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1教案：第3章拓展資料：導(dǎo)數(shù)在證明恒等式中的應(yīng)用(參考版)
2024-11-23 20:35本頁面
【正文】 拓展資料： 導(dǎo)數(shù)在證明恒等式中的應(yīng)用 一、預(yù)備知識 定理 1 若函數(shù) f(x)在區(qū)間 I 上可導(dǎo)，且 x∈ I，有 f′(x)＝ 0，則 x∈ I，有 f(x)＝ c(常數(shù) )． 證明 在區(qū)間 I 上取定一點 x0及 x∈ I．顯然，函數(shù) f(x)在 [x0， x]或 [x， x0]上滿足拉格朗日定理，有 f(x)－ f(x0)＝ f′(ξ)(x－ x0)， ξ 在 x與 x0之間． 已知 f′(ξ)＝ 0，從 f(x)－ f(x0)＝ 0 或 f(x)＝ f(x0) 設(shè) f(x0)＝ c，即 x∈ I，有 f(x)＝ c． 定理 2 若 x∈ I(區(qū)間 )，有 f′(x)＝ g′(x)，則 x∈ I，有 f(x)＝ g(x)＋ c，其中 c是常數(shù)． 二、應(yīng)用例題 證法 f(x)＝ arcsinx＋ arccosx，在 (－ 1， 1)上是常值函數(shù)． 證明 設(shè) f(x)＝ arcsinx＋ arccosx， x∈ (－ 1， 1)，有 f′(x)＝ (arcsinx＋ arccosx)′ 由定理 1 知， f(x)＝ c，即 arcsinx＋ arccosx＝ c 其中 c 是常數(shù)． 證明 設(shè) f(x)＝ arctanx＋ arccotx， c∈ R，有 由定理 1 知， arctanx＋ arccotx＝ c，其中 c 是常數(shù)． 例 3 證明： arccos(－ x)＋ arccosx＝ π， x∈ [－ 1， 1]． 證明 設(shè) f(x)＝ arccos(－ x)＋ arccosx， x∈ [－ 1， 1]， 于是 f′(x)＝ (arccos(－ x)＋ ar
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