【正文】 第3章 對(duì)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)魯。這些結(jié)論對(duì)控制系統(tǒng)參數(shù)的選擇有一定的指導(dǎo)作用。由于整定方程存在部分非線(xiàn)性計(jì)算環(huán)節(jié)，因此在整定計(jì)算過(guò)程中常常遇到根據(jù)方程找不到解得情況。從圖中可以看到，分?jǐn)?shù)階PI及[PI]的動(dòng)態(tài)性能相似，但均優(yōu)于整數(shù)階PID控制器。由此也可以證明此方法能有效的增強(qiáng)系統(tǒng)對(duì)開(kāi)環(huán)增益變化的魯棒性。 FO[PI]控制系統(tǒng)Bode圖根據(jù)控制器的參數(shù)，可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。通過(guò)計(jì)算的結(jié)果可以畫(huà)出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的Bode圖。 FOPI控制系統(tǒng)階躍響應(yīng) FO[PI]控制器階躍響應(yīng)為與FOPI控制進(jìn)行公平的比較，F(xiàn)O[PI]控制器也利用相同的被控對(duì)象，其系統(tǒng)參數(shù)已經(jīng)在上一部分進(jìn)行了討論。 FOPI開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)Bode圖，是控制器的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)，同時(shí)還疊加了在開(kāi)環(huán)增益變化的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線(xiàn)。為驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性，可以從Bode圖穿越頻率處相位曲線(xiàn)是否“平直”來(lái)驗(yàn)證。首先以一個(gè)電機(jī)的模型作為被控對(duì)象的設(shè)定參數(shù)：。從調(diào)整時(shí)間來(lái)看，IOPID的調(diào)整時(shí)間也是最長(zhǎng)的。根據(jù)此我們可以認(rèn)為：（1） 對(duì)整數(shù)階控制器在參數(shù)允許的范圍內(nèi)，同樣可以獲得具有魯棒性的控制器參數(shù)；（2） 很明顯地，分?jǐn)?shù)階控制器與整數(shù)階控制器在同樣的整定方法下，分?jǐn)?shù)階控制器的魯棒性更優(yōu)；（3） 經(jīng)過(guò)分析認(rèn)為用此類(lèi)算法整定控制器，F(xiàn)OPD、FO[PD]控制器解存在的范圍大于整數(shù)階PID控制器。根據(jù)調(diào)整后的參數(shù)，我們用前面介紹的方法可以計(jì)算得到整數(shù)階PID的三個(gè)參數(shù)：圖 2. 14 IOPID控制系統(tǒng)階躍響應(yīng) %。 IOPID控制器階躍響應(yīng) 如我們前面所闡述的，對(duì)于某些系統(tǒng)參數(shù)，我們無(wú)法得到滿(mǎn)足魯棒性要求的IOPID參數(shù)。結(jié)果可以從圖中看出，%。 FOPD控制系統(tǒng)階躍響應(yīng) FO[PD]控制器階躍響應(yīng) 因?yàn)榻o定的參數(shù)在FO[PD]控制器參數(shù)存在的范圍，我們可以通過(guò)前面介紹的方法計(jì)算出控制器的參數(shù)：。我們可以觀(guān)察到在增益改變后系統(tǒng)的超調(diào)基本沒(méi)有改變。%。在此情況下，系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定為。前面已經(jīng)對(duì)四種控制器整定方法作了詳細(xì)說(shuō)明。 FO[PI]控制器整定方法根據(jù)FO[PI]控制器的傳遞函數(shù)，可以得到它的頻率響應(yīng) ()控制器的相位和增益為 () ()控制系統(tǒng)的相位可以表示為 ()系統(tǒng)滿(mǎn)足開(kāi)環(huán)增益魯棒性的條件為 ()系統(tǒng)穿越頻率需要滿(mǎn)足 ()根據(jù)以上幾個(gè)式子，可以聯(lián)立出方程組 () () ()通過(guò)簡(jiǎn)化方程，可以得到 () () ()其中E、F分別是通過(guò)解出以上三式，可以得到控制器的三個(gè)參數(shù) 系統(tǒng)仿真為驗(yàn)證提出的整定方法，在這一章節(jié)，我們將利用Matlab/Simulink對(duì)三個(gè)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。 FOPI控制器參數(shù)整定方法 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 ()其中分?jǐn)?shù)階PI控制器的結(jié)構(gòu)如式（）所示，被控對(duì)象的傳遞函數(shù)如式（）所示。這里介紹的兩種分?jǐn)?shù)階PI控制器的傳遞函數(shù)為 () () 其中。電機(jī)轉(zhuǎn)速系統(tǒng)的頻域數(shù)學(xué)模型通?？梢员幻枋龀梢浑A加延時(shí)的形式，如 ()其中T為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，L為系統(tǒng)的死區(qū)時(shí)間或延遲時(shí)間，K為系統(tǒng)直流增益。事實(shí)上，被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是決定選擇何種PID控制器的一個(gè)關(guān)鍵因素，對(duì)于有積分環(huán)節(jié)的被控對(duì)象，設(shè)計(jì)者們關(guān)心得更多的是系統(tǒng)響應(yīng)的快速性；而對(duì)于沒(méi)有積分環(huán)節(jié)的被控對(duì)象，消除靜差是設(shè)計(jì)者首要考慮的重要問(wèn)題。于是可以斷定在這種條件下，找不到滿(mǎn)足要求的整數(shù)階PID參數(shù)使得系統(tǒng)穩(wěn)定。雖然從波特圖中可以看到在穿越頻率處相位是平直的，但是控制器中積分部分的系數(shù)為負(fù)值，從系統(tǒng)的整定方程中看到： （）如果為負(fù)值，則總能找到一個(gè)實(shí)部為正的根滿(mǎn)足方程要求。從上面的式子中可以計(jì)算出：。，和L的關(guān)系圖 當(dāng)，和L的關(guān)系，和L的關(guān)系圖 2. 9當(dāng)，和L的關(guān)系 當(dāng)，和L的關(guān)系為說(shuō)明分?jǐn)?shù)階控制器的性能特點(diǎn)，傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器也通過(guò)同樣的方法進(jìn)行了整定設(shè)計(jì)。假設(shè)一種情況，如果當(dāng)相位裕度從40度增加到70度，我們可以看到他們和L的變化，、。，被控對(duì)象參數(shù)T及相位裕度分別被設(shè)定為T(mén)=。所以控制器相位在第一象限，對(duì)于，也是一個(gè)減函數(shù)且他的下降的速度會(huì)比快。根據(jù)分析，系統(tǒng)解存在首先需要滿(mǎn)足， （）其中，假設(shè)是一個(gè)由下式給定的參數(shù) （）根據(jù)式()，如果的值在中，若A存在有理數(shù)的解，那么還應(yīng)該滿(mǎn)足 （）由于系統(tǒng)在穿越頻率處的開(kāi)環(huán)增益需要滿(mǎn)足式（），于是可以得到 （）根據(jù)式（），我們有 （）于是聯(lián)立（），（）可以得到 （）由式()知道是一個(gè)對(duì)的增函數(shù)，而是一個(gè)對(duì)的減函數(shù)，那么是這個(gè)函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)。從式(),()()中可以發(fā)現(xiàn)，由于非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的存在，方程組可能具有無(wú)解的情況。假定：那么以及被解得。的相角需要在第一象限或第二象限，所以以及T需要滿(mǎn)足： () 分?jǐn)?shù)階[PD]控制器設(shè)計(jì)FO[PD]的傳遞函數(shù)已經(jīng)在前面介紹了。根據(jù) ()可以知道對(duì)于此類(lèi)單輸入單輸出系統(tǒng)要保持穩(wěn)定，和都必須大于0。從這個(gè)算例的Bode圖上可以證明，根據(jù)三個(gè)整定方程可以得到一個(gè)滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的控制器。圖 FOPD控制系統(tǒng)Bode圖，從圖中可以清楚地觀(guān)察到，系統(tǒng)的穿越頻率是，系統(tǒng)的相位裕度為，滿(mǎn)足設(shè)計(jì)的要求。由式（）以及前面關(guān)于增益魯棒性的分析，可以得到 ()很明顯地，通過(guò)聯(lián)立式()()和()，可以得到三個(gè)參數(shù)：以及的值。這種特性也被稱(chēng)作Isodamping特性，即等阻尼特性。那么，對(duì)應(yīng)到時(shí)域中系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)也不會(huì)隨增益在某個(gè)范圍內(nèi)的改變而發(fā)生變化。本節(jié)研究的FOPD,FO[PD]以及IOPID控制器的傳遞函數(shù)形式如下： （） （） （）其中。位置伺服系統(tǒng)的頻域經(jīng)典模型為： （）其中是一個(gè)直流電機(jī)位置伺服系統(tǒng)的頻域數(shù)學(xué)模型。下面就此方法討論其在電機(jī)速度及位置伺服系統(tǒng)中參數(shù)計(jì)算問(wèn)題。（）條件的開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)Bode圖，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)此原則整定的控制系統(tǒng)在穿越頻率處系統(tǒng)的相頻曲線(xiàn)是平直的。然后，由系統(tǒng)相位裕度的定義，可以求得在穿越頻率處系統(tǒng)相位裕度的表達(dá)式 ()圖 2. 3 具有增益魯棒性控制系統(tǒng)Bode圖由于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益的變化直接影響穿越頻率，而對(duì)系統(tǒng)的幅頻特性曲線(xiàn)沒(méi)有什么影響，因此若要求系統(tǒng)的相位裕度獨(dú)立于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益的變化，那么系統(tǒng)的相位裕度就需要獨(dú)立于系統(tǒng)的穿越頻率，也就是說(shuō)系統(tǒng)相位裕度若不對(duì)系統(tǒng)穿越頻率變化敏感的話(huà)系統(tǒng)也不會(huì)對(duì)開(kāi)環(huán)增益的變化敏感。但是假若能設(shè)計(jì)一種控制器使得系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益發(fā)生變化不影響系統(tǒng)相位裕度，那么系統(tǒng)的等阻尼特性就可以得到保證。，隨著系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益的變化，系統(tǒng)的穿越頻率也相應(yīng)會(huì)發(fā)生改變，與之對(duì)應(yīng)的相位裕度也會(huì)發(fā)生變化。由于控制器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，系統(tǒng)的魯棒性常常依靠PID控制器本身的魯棒性。圖 ，為閉環(huán)系統(tǒng)的控制器，為系統(tǒng)的被控對(duì)象。從系統(tǒng)頻域穩(wěn)定裕度來(lái)看，這種改變不僅會(huì)影響系統(tǒng)的性能，如果系統(tǒng)相位裕度受影響太大，還將可能導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。特別在一些環(huán)境較差但控制精度要求較高的系統(tǒng)中。如果某個(gè)電機(jī)系統(tǒng)中有效負(fù)荷的慣性參數(shù)不穩(wěn)定，或者其在某個(gè)小范圍內(nèi)有一定的變動(dòng)，那么在沒(méi)有充分考慮系統(tǒng)參數(shù)魯棒性的情況下將可能導(dǎo)致系統(tǒng)性能的下降。式（）是一個(gè)典型的電機(jī)系統(tǒng)位置控制模型的傳遞函數(shù) ()其中J為有效負(fù)荷的慣性參數(shù)；T為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)；K為增益。于是在某些特殊的場(chǎng)合，大量的學(xué)者開(kāi)始研究新結(jié)構(gòu)的控制器。 開(kāi)環(huán)增益魯棒性分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)整定方程設(shè)計(jì)原理電機(jī)系統(tǒng)模型是在控制系統(tǒng)中比較常見(jiàn)，也是一種比較重要的系統(tǒng)模型。根據(jù)提出的整定方法可以得到滿(mǎn)足魯棒性要求的控制器。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本章對(duì)解存在的問(wèn)題進(jìn)行了研究，給出了參數(shù)整定方程組解存在的判定方法。文中給出了四種控制器算法推導(dǎo)的全過(guò)程。為保證系統(tǒng)的增益魯棒性，文中研究得到了滿(mǎn)足條件和要求的控制器參數(shù)整定的三個(gè)方程，通過(guò)聯(lián)立三個(gè)整定方程，可以得到控制器參數(shù)值。在一些對(duì)參數(shù)魯棒性研究的文章中，提出了一些此方面比較有效的方法[7578]，但是很多方法會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)控制性能的下降。所謂魯棒性，是指控制系統(tǒng)在一定（結(jié)構(gòu)，大?。┑膮?shù)攝動(dòng)下，維持某些性能的特性。 最后總結(jié)了本文的主要研究成果，并指出了可以進(jìn)一步研究的方向。介紹了一個(gè)基于Labview的實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。通過(guò)仿真研究，證明了此控制系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)很好的同步性能。第五章根據(jù)分?jǐn)?shù)階PID控制器的性能特點(diǎn)，開(kāi)拓了分?jǐn)?shù)階控制器的應(yīng)用空間，研究了分?jǐn)?shù)階PID控制器整定算法在同步追蹤系統(tǒng)中的應(yīng)用。通過(guò)利用前面幾章提出的魯棒性控制器參數(shù)整定方法，提出了一種具有魯棒性的控制器參數(shù)自整定算法。通過(guò)系統(tǒng)仿真和實(shí)驗(yàn)研究的結(jié)果證明了整定方法的正確性。整定方程的數(shù)值計(jì)算方法以及設(shè)計(jì)的整定方程與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系在文章中進(jìn)行了研究，為解決分?jǐn)?shù)階魯棒性控制器參數(shù)整定中解存在性的問(wèn)題給出了答案。通過(guò)系統(tǒng)仿真，驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階控制器優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器的特點(diǎn)，并且證明了系統(tǒng)對(duì)開(kāi)環(huán)增益變化的魯棒性。第二章，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PID控制器的整定方程，此方程主要是針對(duì)系統(tǒng)增益魯棒性來(lái)設(shè)計(jì)的。根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分在各個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展和應(yīng)用介紹了應(yīng)用得比較廣泛的兩類(lèi)分?jǐn)?shù)階微積分的定義：RiemannLiouville導(dǎo)數(shù)和Caputo導(dǎo)數(shù)，還介紹了在分?jǐn)?shù)階微積分中應(yīng)用比較多的幾種特殊函數(shù)及分?jǐn)?shù)階微積分在頻域中的Laplace變換的相關(guān)知識(shí)。其原因主要是此類(lèi)控制器能夠滿(mǎn)足提出的性能指標(biāo)要求，且結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，在實(shí)際應(yīng)用中能夠得到推廣。 本文主要研究?jī)?nèi)容本文針對(duì)具有系統(tǒng)參數(shù)魯棒性的分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題進(jìn)行研究。 本課題來(lái)源及本文的主要研究?jī)?nèi)容 本課題來(lái)源 本課題是受?chē)?guó)家留學(xué)基金委資助在美國(guó)猶他州立大學(xué)CSOIS中心完成的，其中課題中所有的實(shí)驗(yàn)設(shè)備及部分實(shí)驗(yàn)研究設(shè)備費(fèi)用由美國(guó)猶他州立大學(xué)提供。 本文提出的分?jǐn)?shù)階PID控制器，對(duì)改善發(fā)電系統(tǒng)控制性能具有較大的優(yōu)勢(shì)，本文圍繞對(duì)電機(jī)速度的模型進(jìn)行研究，以求通過(guò)在理論計(jì)算和初步試驗(yàn)分析之后推廣應(yīng)用。現(xiàn)今，大量的頻率控制器選用的是傳統(tǒng)的PI控制器，雖然PI控制器的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單并且能夠很好地消除系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，但是純粹的PI控制器在系統(tǒng)控制時(shí)也有不可避免的缺點(diǎn)：(1)PI控制系統(tǒng)的存在一定的超調(diào)，當(dāng)系統(tǒng)的Ki值較大時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量也會(huì)比較大；(2)當(dāng)PI控制器的Ki值減小時(shí)，系統(tǒng)頻率的上調(diào)時(shí)間將增大；(3)面對(duì)外界的擾動(dòng)，依靠PI控制系統(tǒng)的控制性能將受到很大的影響。然而在電力系統(tǒng)中負(fù)載的擾動(dòng)是不可避免存在的，所以設(shè)計(jì)一個(gè)具有魯棒性的控制器，在負(fù)載頻率控制方面是極其必要的。對(duì)于這種調(diào)整，如果完全依靠人工是不可能的，只能通過(guò)系統(tǒng)負(fù)載頻率控制來(lái)實(shí)現(xiàn)。 分?jǐn)?shù)階PID控制器在電力系統(tǒng)負(fù)載頻率控制方面的應(yīng)用價(jià)值在電力系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)跟隨系統(tǒng)頻率變化是一項(xiàng)非常關(guān)鍵的因素，也是供電質(zhì)量的一個(gè)考察指標(biāo)。(3)需要研究一套系統(tǒng)性的分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)整定方法，以實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的魯棒性、控制器在線(xiàn)快速整定、對(duì)未知對(duì)象的自整定。(2)分?jǐn)?shù)階PID在結(jié)構(gòu)上較之傳統(tǒng)整數(shù)階PID復(fù)雜，參數(shù)整定的研究沒(méi)有整數(shù)階PID完整，且至今為止得到的整定方法也比較復(fù)雜。在各種基于分?jǐn)?shù)階的控制器中，分?jǐn)?shù)階PID控制器是受關(guān)注度最高的一類(lèi)分?jǐn)?shù)階控制器結(jié)構(gòu)，但較之傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器還有待研究和解決一些問(wèn)題：(1)傳統(tǒng)PID控制器經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展，擁有大量的理論分析結(jié)果，在工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。 分?jǐn)?shù)階PID控制需要解決的幾個(gè)問(wèn)題現(xiàn)在已經(jīng)有部分文獻(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)階控制器的性能、特點(diǎn)、整定方法等進(jìn)行了研究，可以說(shuō)分?jǐn)?shù)階控制理論已經(jīng)取得了一定的發(fā)展。從CRONE的三代控制器算法中可以看到，分?jǐn)?shù)階PID對(duì)高頻和低頻干擾具有很強(qiáng)的抑制作用，也就是說(shuō)，分?jǐn)?shù)階控制器的魯棒性是傳統(tǒng)整數(shù)階PID所不能達(dá)到的。由于階次的靈活性，分?jǐn)?shù)階控制器的參數(shù)整定成為了分?jǐn)?shù)階控制研究的一個(gè)熱門(mén)話(huà)題，下面列舉了幾