九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二章二次函數(shù)22二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)224二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與性質(zhì)北師大版(參考版)
2025-06-21 02:59本頁(yè)面
【正文】 通州區(qū)一模 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線(xiàn) y＝x2－ 2mx＋ m2－ m＋ 2的頂點(diǎn)為 AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別為 A(－ 3，m)， B(1， m)． (1)求點(diǎn) D的坐標(biāo) (用含 m的代數(shù)式表示 )； (2)若該拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) B(1， m)，求 m的值； (3)若線(xiàn)段 AB與該拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求 m的取值范圍． [解析 ] (1)由 y＝ x2－ 2mx＋ m2－ m＋ 2＝ (x－ m)2－ m＋ 2，得到結(jié)論； (2)根據(jù)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) B(1， m)得方程，于是得到結(jié)論； (3)根據(jù)題意得到線(xiàn)段 AB： y＝ m(－ 3≤x≤1) ，與 y＝ x2－ 2mx＋ m2－ m＋ 2聯(lián)立得到 x2－ 2mx＋ m2－ 2m＋ 2＝ 0，令 y′ ＝ x2－ 2mx＋ m2－ 2m＋ 2，根據(jù)拋物線(xiàn) y＝ x2－2mx＋ m2－ m＋ 2與線(xiàn)段 AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，于是得到結(jié)論． 解： (1)∵y ＝ x2－ 2mx＋ m2－ m＋ 2＝ (x－ m)2－ m＋ 2， ∴ D(m，－ m＋ 2)． (2)∵ 拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) B(1， m)， ∴ m＝ 1－ 2m＋ m2－ m＋ 2，解得 m＝ 3或 m＝ 1. (3)∵A( － 3， m)， B(1， m)， ∴ 線(xiàn)段 AB： y＝ m(－ 3≤x≤1) ， 與 y＝ x2－ 2mx＋ m2－ m＋ 2聯(lián)立，得 x2－ 2mx＋ m2－ 2m＋ 2＝ 0， 令 y′ ＝ x2－ 2mx＋ m2－ 2m＋ 2，若拋物線(xiàn) y＝ x2－ 2mx＋ m2－ m＋ 2與線(xiàn)段 AB只有一個(gè)公共點(diǎn)， 即拋物線(xiàn) y′ 在－ 3≤x≤1 的范圍內(nèi)與 x軸只有一個(gè)交點(diǎn)． 當(dāng) x＝－ 3時(shí)， y′ ＝ m2＋ 4m＋ 110， 故只需滿(mǎn)足當(dāng) x＝ 1時(shí)， y′ ＝ m2－ 4m＋ 3≤0 ，解得 1≤m≤3. 故 m的取值范圍是 1≤m≤3. 素養(yǎng)提升 新定義若二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為 1，則此二次函數(shù)可表示為 y＝x2＋ px＋ q，我們稱(chēng) [p， q]為此函數(shù)的特征數(shù)，如函數(shù) y＝ x2＋ 2x＋3的特征數(shù)是 [2， 3]． (1)若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為 [－ 2， 1]，求此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)． (2)探究下列問(wèn)題： ①若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為 [4，－ 1]，將此函數(shù)的圖象先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 1個(gè)單位長(zhǎng)度，求得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的特征數(shù)； ②若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為 [2， 3]，則此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的特征數(shù)為 [3， 4]? (2)① 特征數(shù)為 [4 ， － 1] 的函數(shù)為 y ＝ x2＋ 4x － 1 ， 即 y ＝ (x ＋ 2)2－ 5 ， ∵ 函數(shù)圖象先向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度 ， 再向上平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象
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