【正文】 ,OP平分 ∠ AOB, ∴ 點 P的坐標為 ? . 綜上 ,點 P的坐標為 ? 或 ? .? (12分 ) 121232 OAOB?326233,22???????3 3 3 3, ?評析 本題是閱讀理解型新定義問題 ,考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和 性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、反比例函數(shù)的性質(zhì)、曲線上點的坐標與方程的關系等知識 ,以及 分類討論思想的應用 . 。OB=? aOAsin α=? OP2? α.? (5分 ) 過 A作 AG⊥ OB于 G, ? ∴ S△ AOB=? OBOB=OP2,∴ ? =? . 12∵ P為 ∠ MON的平分線上一點 ,∠ MON=α, ∴∠ AOP=∠ BOP=? α. ∴ △ AOP∽ △ POB,∴∠ OAP=∠ OPB, ∴∠ APB=∠ OPB+∠ OPA=∠ OAP+∠ OPA=180176。, ∴∠ OAP=∠ OPB,∴ △ AOP∽ △ POB,? (2分 ) ∴ ? =? ,∴ OP2=OA. ∵∠ APB=135176。. ∵∠ AOP+∠ OAP+∠ APO=180176。),OP=2,若 ∠ APB是 ∠ MON的智慧角 ,連接 AB,用含 α的式子 分別表示 ∠ APB的度數(shù)和△ AOB的面積 . (3)如圖 3,C是函數(shù) y=? (x0)圖象上的一個動點 ,過 C的直線 CD分別交 x軸和 y軸于 A,B兩點 ,且滿 足 BC=2CA,請求出 ∠ AOB的智慧角 ∠ APB的頂點 P的坐標 . 3x解析 (1)證明 :∵∠ MON=90176。.求證 :∠ APB是 ∠ MON的智慧角 . (2)如圖 1,已知 ∠ MON=α(0176。OB=OP2,我們就把 ∠ APB叫 做 ∠ MON的智慧角 . ? (1)如圖 2,已知 ∠ MON=90176。請你猜想任意一個四位“和諧數(shù)”能否被 11整除 ,并說 明理由 。EF=2EM2, ∴ PE2+PF2=2(PM2+EM2). (ii)若點 H在線段 EF的延長線 (或反向延長線 )上 ,如圖② . ? 圖② 同理可得 PE2+PF2=2(PM2+EM2). 綜上所述 :當點 H在直線 EF上時 ,都有 PE2+PF2=2(PM2+EM2). ② 連接 CD、 PM,如圖③ . ∵∠ ECF=90176。,即 ∠ ECF=90176。, ∴ 2∠ OCE+2∠ OCF=180176。 ② 已知 PE=PF=3,以 EF為一條對角線作平行四邊 形 CEDF,若 1PD2,試求 CP的取值范圍 . 1414解析 (1)當 x=0時 ,y=kBC=? . 222312 22? 思路分析 由 m+n=mn變形為 ? =m1,可知 P(m,m1),所以“完美點”在直線 y=x1上 ,點 A(0,5) 在直線 y=x+b上 ,求得直線 AM:y=x+5,進而求得 B(3,2),根據(jù)直線平行的性質(zhì)證得直線 AM與直 線 y=x1垂直 ,然后根據(jù)勾股定理求得 BC的長 ,從而求得三角形的面積 . mn點評 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì) ,直角三角形的判定 ,勾股定理的應用以及三角形面積的計 算等 ,判斷直線垂直 ,借助正比例函數(shù)是本題的關鍵 . 15.(2022泉州 ,26,13分 )閱讀理解 拋物線 y=? x2上任意一點到點 (0,1)的距離與到直線 y=1的距離相等 ,你可以利用這一性質(zhì)解決 問題 . 問題解決 如圖 ,在平面直角坐標系中 ,直線 y=kx+1與 y軸交于 C點 ,與函數(shù) y=? x2的圖象交于 A,B兩點 ,分別 過 A,B兩點作直線 y=1的垂線 ,交于 E,F兩點 . (1)寫出點 C的坐標 ,并說明 ∠ ECF=90176。24176。AO, 即 ∠ OAB=∠ OAE39。AD39。的垂直平分線 , ∴∠ CAO=∠ D39。, ∴ 點 O在線段 CD39。C=∠ OCD39。C=∠ ACD39。=∠ BAC, ∴ 點 A在線段 CD39。=∠ ACB,∠ E39。=AC,∠ AD39。D39。D39。=∠ B=108176。. ∵ AE39。.? (5分 ) 證法二 :連接 AC,AD39。, ∴ △ ABO≌ △ AE39。O. ∵ AB=AE39。OD39。, ∴ BCOC=E39。C=∠ OCD39。C=∠ ACD39。=∠ ACB, 由 AD39。=AC,∠ AD39。D39。D39。=∠ B=108176。. ? ∵ AE39。, ∴ △ AOP是等邊三角形 .? (2分 ) (2)證法一 :連接 AC,AD39。, ∴ △ EAP≌ △ E39。AO. ∵∠ E=∠ E39。∠ PAE39。AO=∠ PAO∠ PAE39?！?PAE39?！?PAE39。,∠ PAO=60176。, ∴ △ AOP是等邊三角形 .? (2分 ) 選擇圖 2. 證明 :依題意得 ∠ EAE39。,∴ △ DAP≌ △ D39。AO. ∵∠ D=∠ D39。∠ PAD39。AO=∠ PAO∠ PAD39?！?PAD39?！?PAD39。,∠ PAO=60176。 (5)圖 n中 ,“疊弦角”的度數(shù)為 (用含 n的式子表示 ). ? 解析 (1)選擇圖 1. 證明 :依題意得 ∠ DAD39。 【 歸納猜想 】 (3)圖 圖 2中“疊弦角”的度數(shù)分別為 , 。后 ,交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點 P, 連接 PO,我們稱 ∠ OAB為“疊弦角” ,△ AOP為“疊弦三角形” . 【 探究證明 】 (1)請在圖 1和圖 2中選擇其中一個證明 :“疊弦三角形” (即△ AOP)是等邊三角形 。后 ,發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一個交點 O,連接 AO,我們稱 AO為“疊弦” 。 ② 點 C在直線 x=3上 .若點 A,C的“相關矩形”為正方形 ,求直線 AC的表達式 。=10y+x. ∵ t為“吉祥數(shù)” ,∴ t39。 (2)如果一個兩位正整數(shù) t,t=10x+y(1≤ x≤ y≤ 9,x,y為自然數(shù) ),交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù) 得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為 18,那么我們稱這個數(shù) t為“吉祥數(shù)” .求所有 “吉祥數(shù)”中 F(t)的最大值 . pq34解析 (1)證明 :對任意一個完全平方數(shù) m,設 m=n2(n為正整數(shù) ). ∵ |nn|=0,∴ nn是 m的最佳分解 . ∴ 對任意一個完全平方數(shù) m,總有 F(m)=? =1.? (3分 ) (2)設交換 t的個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為 t39。111=y+6. ∵ F(s)+F(t)=18, ∴ x+5+y+6=x+y+11=18, ∴ x+y=7.? (6分 ) ∵ 1≤ x≤ 9,1≤ y≤ 9,且 x,y都是正整數(shù) , ∴ ? 或 ? 或 ? 或 ? 或 ? 或 ? ∵ s是“相異數(shù)” ,∴ x≠ 2,且 x≠ 3。111=x+5。 F(617)=(167+716+671)247。 (2)若 s,t都是“相異數(shù)” ,其中 s=100x+32,t=150+y(1≤ x≤ 9,1≤ y≤ 9,x、 y都是正整數(shù) ),規(guī)定 :k= ? .當 F(s)+F(t)=18時 ,求 k的最大值 . ()FsFt解析 (1)F(243)=(423+342+234)247。? . 所以△ PDE的面積不小于 1時 ,m的取值范圍是 m=0或 m=4或 m≤ 2? 或 m≥ 2+? )? (10分 ) 101013 43 10101010.(2022重慶 A卷 ,25,10分 )對任意一個三位數(shù) n,如果 n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同 ,且都不為 零 ,那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)” .將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三 個不同的新三位數(shù) ,把這三個新三位數(shù)的和與 111的商記為 F(n).例如 n=123,對調(diào)百位與十位上 的數(shù)字得到 213,對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到 321,對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到 132,這三個 新三位數(shù)的和為 213+321+132=666,666247。|y1|=1,解得 y=0或 y=2. 當 y=0時 ,m=0或 m=4。? (2分 ) 當 0x4時 ,y=? (x2)2+? .? (3分 ) 13 4313 43【 探究 】 由題意得 ,當