【正文】 ＝45176。．∴∠BDE=90176?！唷螧=90176。AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．(1)已知CD=4 cm，求AC的長；(2)求證：AB=AC+CD．分析：本例需要運(yùn)用前面所學(xué)的多個定理，而且將計算和證明融合在一起，目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握這些知識和方法，并能綜合運(yùn)用它們解決問題．第(1)問中，求AC的長，需求出BC的長，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，DE=CD=4cm，再根據(jù)勾股定理便可求出DB的長．第(2)問中，求證AB=AC+CD．這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉(zhuǎn)化的思想AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE．(1)解：∵AD是△ABC的角平分線，∠C=90176。實況如下：[生]有一處．在三條公路的交點(diǎn)A、B、C組成的△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處．因為三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三邊的距離相等．而現(xiàn)在要建的貨物中轉(zhuǎn)站要求它到三條公路的距離相等．這一點(diǎn)剛好符合．[生]我找到四處．(同學(xué)們很吃驚)除了剛才同學(xué)找到的三角形ABC內(nèi)部的一點(diǎn)外，我認(rèn)為在三角形外部還有三點(diǎn)．作∠ACB、∠ABC外角的平分線交于點(diǎn)P1(如下圖所示)，我們利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，可知點(diǎn)P1在∠CAB的角平分線上，且到lll3的距離相等．同理還有∠BAC、∠BCA的外角的角平分線的交點(diǎn)P3；因此滿足條件共4個，分別是P、PPP3教師講評。第一環(huán)節(jié)：設(shè)置情境問題，搭建探究平臺問題l 習(xí)題1．8的第1題作三角形的三個內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么?能證明自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一定正確嗎？于是，首先證明“三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)” ．當(dāng)然學(xué)生可能會提到折紙證明、軟件演示等方式證明，但最終，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯上的證明。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1．知識目標(biāo)：（1）證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論．（2）角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運(yùn)用．2．能力目標(biāo)：（1）進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力．（2）培養(yǎng)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言、圖形語言的能力．（3）提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題的能力．3．情感與價值觀要求①能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲．②在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心．4．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)①三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì)．②綜合運(yùn)用角平分線的判定和性質(zhì)定理，解決幾何中的問題．難點(diǎn)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用．三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計了五個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：設(shè)置情境問題，搭建探究平臺；第二環(huán)節(jié)：展示思維過程，構(gòu)建探究平臺；第三環(huán)節(jié)：例題講解；第四環(huán)節(jié)：課時小結(jié)。 5：課堂小結(jié)這節(jié)課證明了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，在有角的平分線（或證明是角的平分線）時，過角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)則使問題迅速得到解決。在學(xué)生獨(dú)立完成推理過程的基礎(chǔ)上，教師要給出書寫示范例題：在 △ABC 中，∠ BAC = 60176。綜合利用角平分線的性質(zhì)和判定、直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解決問題。．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形對應(yīng)角相等)．逆命題利用公理和我們已證過的定理證明了，那么我們就可以把這個逆命題叫做原定理的逆定理．我們就把它叫做角平分線的判定定理?！唷鱌DO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．(教師在教學(xué)過程中對有困難的學(xué)生要給以指導(dǎo))我們用公理和已學(xué)過的定理證明了我們折紙過程中得出的結(jié)論．我們把它叫做角平分線的性質(zhì)定理。教學(xué)難點(diǎn)：正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明。 第1章 三角形的證明４．角平分線（一） 一、學(xué)生知識狀況分析本節(jié)在學(xué)習(xí)了直角三角形全等的判定定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，因此比較容易用類比的方法構(gòu)造角平分線性質(zhì)定理的逆命題。（2）拓展：如果點(diǎn) P 是直線 l 外一點(diǎn)，那么怎樣用尺規(guī)作 l 的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn) P 呢？說說你的作法，并與同伴交流. :：、2題。 由學(xué)生思考可得：(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，能作出三角形，并且能作出無數(shù)多個，如下圖：已知：三角形的一條邊a和這邊上的高h(yuǎn)求作：△ABC，使BC=a，BC邊上的高為h 從上圖我們會發(fā)現(xiàn)，先作已知線段BC=a；然后再作BC邊上的高h(yuǎn)，但垂足不確定,我們可將垂足取在線段BC上或其所在直線上的任意一點(diǎn)D，過此點(diǎn)作BC邊的垂線，最后以D為端點(diǎn)在垂線上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，連接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都滿足條件，所以這樣的三角形有無數(shù)多個．觀察還可以發(fā)現(xiàn)這些三角形不都全等．（見幾何畫板課件）(2)如果已知等腰三角形的底邊，用尺規(guī)作出等腰三角形，這樣的等腰三角形也有無數(shù)多個．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可知，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等，因為只要作已知等腰三角形底邊的垂直平分線，取它上面的任意一點(diǎn)，和底邊的兩個端點(diǎn)相連接，都可以得到一個等腰三角形．另外有學(xué)生補(bǔ)充：“不是底邊垂直平分線上的任意一點(diǎn)都滿足條件，如底邊的中點(diǎn)在底邊上，不能構(gòu)成三角形，應(yīng)將這一點(diǎn)從底邊的垂直平分線上挖去．”（3）如果底邊和底邊上的高都一定，這樣的等腰三角形應(yīng)該只有兩個，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側(cè)．（5）例題學(xué)習(xí)已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形．已知：線段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1．作BC=a；2．作線段Bc的垂直平分線MN交BC于D點(diǎn)；3．以D為圓心，h長為半徑作弧交MN于A點(diǎn)；4．連接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如圖所示)．（6）做一做：課本第25頁：教師引導(dǎo)學(xué)生分析作出草圖，注意對學(xué)生作法敘述的準(zhǔn)確性加以更正。已知：在△ABC中，設(shè)AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P，連接AP，BP，CP．求證：P點(diǎn)在AC的垂直平分線上．證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等)．同理PB=PC．∴PA=PC．∴P點(diǎn)在AC的垂直平分線上()．∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P．進(jìn)一步設(shè)問：“從證明三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，你還能得出什么結(jié)論?” （交點(diǎn)P到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等．）（3）多媒體演示我們得出的結(jié)論：定理　　三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等。我們要從理論上證明這個結(jié)論，也就是證明“三線共點(diǎn)”，但這是我們沒有遇到過的．不妨我們再來看一下演示過程，或許你能從中受到啟示．通過演示和啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)同：“兩直線必交于一點(diǎn)，那么要想證明‘“三線共點(diǎn)’，只要證第三條直線過這個交點(diǎn)或者說這個點(diǎn)在第三條直線上即可．” 雖然我們已找到證明“三線共點(diǎn)”的突破口，詢問學(xué)生如何知道這個交點(diǎn)在第三邊的垂直平分線上呢?師生共析，完成證明（2）討論結(jié)束后，學(xué)生書寫證明過程。下面請同學(xué)們剪一個三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論?與同伴交流．教師質(zhì)疑：“這只是用我們的眼睛觀察到的，看到的一定是真的嗎？我們還需運(yùn)用公理和已學(xué)過的定理進(jìn)行推理證明，這樣的發(fā)現(xiàn)才更有意義．”這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)探索和線段垂直平分線有關(guān)的結(jié)論． 上述活動中，教師要注意多畫幾種特殊的三角形讓學(xué)生親自體驗和觀察結(jié)論的正確性。活動目的：讓學(xué)生利用自己的動手體會三類三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的正確性。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計了五個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：例題解析；第三環(huán)節(jié)：引申拓展； 第四環(huán)節(jié)：動手操作；第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)；第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié) ；第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。但是要證明三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)對學(xué)生來說還是較抽象的，因此，教學(xué)時，教師對此不要操之過急，應(yīng)逐步引導(dǎo)學(xué)生理解．二、教學(xué)任務(wù)分析在上一節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)掌握了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理，本節(jié)課的主要任務(wù)是性質(zhì)和判定的應(yīng)用。．證明：∵ AB = AC，∴ 點(diǎn) A 在線段 BC 的垂直平分線上（到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點(diǎn) O 在線段 BC 的垂直平分線上.∴ 直線 AO 是線段 BC 的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.學(xué)生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分線，因此老師要引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路和方法并給出完整的證明過程。（2）到一條線段兩個端點(diǎn)的距離相等個點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．因此只需做出這樣的兩個點(diǎn)即可做出線段的垂直平分線。∴P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上．證法四：過P作線段AB的垂直平分線PC．∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90176。即PC⊥AB∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．證法三：過P點(diǎn)作∠APB的角平分線．∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180176。原命題的條件是“有一個點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”．結(jié)論是“這個點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等”．此時，逆命題就很容易寫出來．“如果有一個點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等，那么這個點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．”寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．引導(dǎo)學(xué)生分析證明過程，有如下四種證法： 證法一：已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB．求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．證明：過點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC=BC，即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．證法二：取AB的中點(diǎn)C，過PC作直線．∵AP=BP，PC==CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180176。已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的點(diǎn)．求證：PA=PB．分析：要想證明PA=PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等．證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90176。第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師用多媒體演示：如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置?其中“到兩個倉庫的距離相等”，要強(qiáng)調(diào)這幾個字在題中有很重要的作用．線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸．我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分線的一個性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等．所以在這個問題中，要求在“A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成．進(jìn)一步提問：“你能用公理或?qū)W過的定理證明這一結(jié)論嗎?”第二環(huán)節(jié)：性質(zhì)探索與證明教師鼓勵學(xué)生思考，想辦法來解決此問題。難點(diǎn)是垂直平分線的性質(zhì)定理在實際問題中的運(yùn)用。本節(jié)課目標(biāo)位：．2．經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明能力．豐富對幾何圖形的認(rèn)識。二、教學(xué)任務(wù)分析在七年級學(xué)生已經(jīng)對線段的垂直平分線有了初步的認(rèn)識，本節(jié)課將進(jìn)一步深入探索線段垂直平分線的性質(zhì)和判定。 (ASA)．6：課時小結(jié)本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等．而當(dāng)一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具體的、開放性的問題，不僅進(jìn)一步掌握了推理證明的方法，而且發(fā)展了同學(xué)們演繹推理的能力．同學(xué)們這一節(jié)課的表現(xiàn)，很值得繼續(xù)發(fā)揚(yáng)廣大．7：課后作業(yè)習(xí)題1．6第5題四、教學(xué)反思本節(jié)HL定理的證明學(xué)生掌握得比較好，定理的應(yīng)用方面尤其是“議一議”中的該題靈活性較強(qiáng)，給教師和學(xué)生發(fā)揮的余地較大，該題是一個開放題，結(jié)論和方法并不惟一，所以學(xué)生積極性非常高，作為教師要充分利用好這個資源，可以達(dá)到一題多解，舉一反三的效果。B39。B39。 (已知)，∠ACB=∠A39。 (已證)，AC=A39。C39。(全等三角形的對應(yīng)角相等)．在△ABC和△A39。C39。 (已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A39。(已知)，CD=C39。中，AC=A39。D39。=90176。D39。C39。分別是△ABC△A39。 就可行．證明：∵CD、C39。C39。．觀察圖形，這里有三對三角形應(yīng)該是全等的，且題目中具備了HL定理的條件，可證的Rt△ADC≌Rt△A39。是三角形的高，CD=C39。那么就可根據(jù)SAS．……注意到題目中，通有CD、C39。這樣就有AAS；還可尋求BC=B39。．如果尋求∠A=∠A39。C39。C39。C39。．分析：要證△ABC≌△A39。B39。B39。．∠ACB=∠A39。CD=C39。分別分別是高，并且AC＝A39。中，CD，C39。B39。）4：議一議如圖，已知∠ACB=∠BDA=90176。C(SAS)．通過上述師生共同活動，學(xué)生板書推理過程之后可發(fā)動學(xué)生去糾錯，教師最后再總結(jié)?！郣t△ABC≌CORt△A39。AC=A39。∠C=∠C 39。中，∵BC=B39。B 39。C39。D 39。C 39。D39。C 39。,∴Rt△BDC≌Rt△B 39。,BC=B39。中，∵BD=B39。D39。C39。 (如圖)．求證：Rt△ABC≌Rt△A39。邊上的中線且BD—B39。分別是AC、A39。BD、B39。BC=B39?！螩=∠C39。B 39。C39。．∴Rt△ABC≌Rt△A39。AC=A39。BC=B39。2 (勾股定理)．AB=A39。2一B39。=A39。 =A39。中，A39。 B39。2：引入新課（1）．“H