【正文】 對數(shù)學(xué)上的純數(shù)字不考慮有效數(shù)字的概念。 2（ 10）在所有計算式中，常數(shù)如 ?、 e等以及乘除因子如 、 1/3等，它們的有效數(shù)字可認(rèn)為是無限制的，在計算中需要幾位就可以寫幾位。 （ 9）在對數(shù)計算中，對數(shù)中的首數(shù)不是有效數(shù)字，對數(shù)尾數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與對應(yīng)的真數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)相同。 有效數(shù)字 （ 8）數(shù)據(jù) 經(jīng)乘方與開方運算，所得結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與該數(shù)據(jù)的位數(shù)相同。 為簡化運算，可先以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)據(jù)為準(zhǔn)，修約各數(shù)據(jù)，然后再進行乘除運算，如上例中運算式可寫為 ?102??102 為盡可能減小數(shù)字舍入帶來的誤差，參與運算的各數(shù)據(jù)可多保留一位數(shù)字。如， ?=。 又如， + – = , 第二個數(shù)據(jù) 后的位數(shù)最少，為二位，則最后結(jié)果按小數(shù)點后二位截取有效數(shù)字，得運算結(jié)果為 。 示例： 有效數(shù)字 （ 6）有效數(shù)字作加、減運算時，各數(shù)值小數(shù)點后所取的位數(shù)應(yīng)以其中小數(shù)點后位數(shù)最少（絕對誤差最大）者為準(zhǔn)。 ，則結(jié)果應(yīng)表示為： R=(177。 Ω,則結(jié)果應(yīng)表示為： R=(177。 5%；只有在下列情況下，誤差可取二位有效數(shù)字： 1）測定次數(shù)很多； 2）進行重要的或高精確度的測量； 3）所得結(jié)果還需進一步計算時，誤差方可取兩位有效數(shù)字，且最多只能取兩位有效數(shù)字，測量數(shù)據(jù)也相應(yīng)多取一位； 4）誤差的第一個數(shù)字小于 3，則應(yīng)取 2位。 （ 5）表示誤差的數(shù)值時，在大多數(shù)場合下只取一位有效數(shù)字，如177。 如： ?? = 有效數(shù)字 （ 4）任一測量數(shù)據(jù)，其有效數(shù)字的最后一位，在位數(shù)上應(yīng)與誤差的最后一位對齊。 （ 3）若第一位數(shù)字大于或等于 8，則有效數(shù)字總位數(shù)可以多算一位。例如，用天平稱量一物質(zhì)的質(zhì)量 g，其中前面兩個 0不是有效數(shù)字，當(dāng)取質(zhì)量的單位為毫克時，記做 mg，前面兩個 0則沒有了，只有最后一個 0，它是有效數(shù)字，指示稱量的精度，不能任意舍棄。因此，若誤差限定在 ，則判定這一結(jié)果不合格。 有效數(shù)字 但對于表示精度的數(shù)據(jù)（如標(biāo)準(zhǔn)偏差、誤差等），在去掉多余位數(shù)時， 只入不舍 。 例如， 、 、 、 ，取四位有效數(shù)字時，結(jié)果分別是 （四舍）、 （六入）、 （五雙舍棄）、 （五單進入）。當(dāng)有效數(shù)字的位數(shù)確定之后，它后面的數(shù)字應(yīng)按“四舍六入五雙單”（國家標(biāo)準(zhǔn) GB/T 81701987）的原則取舍。 （ 1）在記錄測定數(shù)據(jù)和運算的結(jié)果時，只應(yīng)保留一位可疑數(shù)字。有效數(shù)字確定后，其余數(shù)字應(yīng)按一定運算規(guī)則棄去。 有效數(shù)字 記錄測量數(shù)據(jù)時，一般只保留一位可疑數(shù)字，但有時為避免由于計算而引起的誤差，可以保留兩位可疑數(shù)字，此時把第二個可疑數(shù)字寫小一些，寫底一些。誠然，溫度的測量是有誤差的，但現(xiàn)在說明的是在 20 ℃ 時的密度是多少，所有的實驗誤差都算在密度上，用密度的數(shù)據(jù)來反映實驗的精密度。例如， H2O中的 2。 由上可見，按 有效數(shù)字確定數(shù)據(jù)位數(shù)表述了數(shù)據(jù)的精度 ，這是規(guī)定有效數(shù)字的實質(zhì)意義。此時， 由書寫出的數(shù)據(jù)可斷定數(shù)據(jù)的誤差應(yīng)在末位的半個單位以內(nèi) 。位數(shù)太少會增大數(shù)據(jù)的誤差，位數(shù)太多又會對數(shù)據(jù)的精度產(chǎn)生誤解。這樣就顯示出前者有三位有效數(shù)字，后者則有四位有效數(shù)字。單寫 29 800mL，這兩個“ 0”是不是有效數(shù)字，就不清楚了。 有效數(shù)字 在轉(zhuǎn)換單位時，有效數(shù)字的“數(shù)目”應(yīng)不會減少或增加。 而數(shù)據(jù) ，其誤差在 ?。例如，滴定管讀數(shù) mL，及天平稱量為 0 g中，所有“ 0”都是有效數(shù)字；而在長度為 20m中，前面三個“ 0”均非有效數(shù)字，因為這些“ 0”只與所取的單位有關(guān)，而與測量的精密度無關(guān)，若改用 mm為單位，則前面三個“ 0”全部消失，變?yōu)? mm，故有效數(shù)字實際位數(shù)為三位。反之，表示一個數(shù)值時書寫位數(shù)過少，低于測量所能達到的精密度，同樣是錯誤的，因為它不能正確反映實驗的精密度，準(zhǔn)確寫法應(yīng)按測量的精密度來表示，即寫出的位數(shù)除末位數(shù)字為可疑的估計數(shù)外，其余各位數(shù)字都是確切知道的。這個 精密度，一方面決定于所用儀器刻度的精細(xì)程度，另一方面也與我們所用的方法有關(guān) 。例如，記長度為 cm與 m的精密度完全相同。 上述想法對嗎？為什么？ 有效數(shù)字 實際上，上述兩個想法都是錯誤的。從溫度計的最小分度為 ℃ 可知，其讀數(shù)應(yīng)記錄到小數(shù)點后第二位（ ℃ ）。如圖 24，溫度計內(nèi)水銀凸形彎月面的最高點處在 ~℃ 之間，讀取 ℃ ，其中前面三位數(shù)字是可以讀準(zhǔn)的，而第四位是估計出來的，有人可能讀取 6，也有人可能讀取 4，因此是可疑的，因此讀數(shù) ℃ 只是準(zhǔn)確值的近似值。 誤差理論 ? 有效數(shù)字 在直接測量中，每一種儀器都有它可能達到的精密限度，這個精密限度，就是儀器的最小分度。 解：苯的摩爾質(zhì)量為 ?M g?mol1。 誤差理論 例 25 摩爾折射度 。從計算結(jié)果可知，由于溶劑用量較大，使用工業(yè)天平其相對誤差仍然不大，而溶質(zhì)因其用量少，就須用分析天平稱量。測溫精度受到溫度計精度和操作條件及技術(shù)的限制。 誤差理論 誤差理論 誤差理論 誤差理論 從直接測量值的誤差看，最大的誤差來源是溫度差的測量。s2。 誤差理論 例 21 用毛細(xì)管升高法測定液體的表面張力，得到下列數(shù)據(jù)：毛細(xì)管半徑 r = (?)mm, 毛細(xì)管中液體上升的高度 h = (?)mm, 液體的密度 ? = (?)g xxyy ????設(shè)函數(shù) z = F(x, y)，其中 x, y是可直接測量的量，則有 yyFxxFzxyddd ???????? ????????? ???此為誤差傳遞的基本公式。即： dy = ?y， dx = ?x。當(dāng)自變量有無限小的變化 dx時，由此而引起因變量 y 發(fā)生無限小的變化 dy，兩者之關(guān)系是 dy = y?dx。 誤差傳遞的規(guī)律可用微分法來揭示。 注意！??！ 誤差理論 ? 誤差分析 ? 間接測量結(jié)果的平均誤差和相對平均誤差 數(shù)據(jù)的測定除了少數(shù)可在儀器上直接讀出外，絕大多數(shù)都要將直接測量所得的數(shù)據(jù)，經(jīng)過某種函數(shù)關(guān)系推算出我們所需的量。相對偏差表示為：平均相對偏差 = ， 相對標(biāo)準(zhǔn)偏差 =