【正文】 當 dx→0 ， dy→0 時， 流線 C D → CD 作業(yè)： p73: 5。 流函數(shù)的物理意義： ,xyuuyx????? ? ?由 于 d d d 1 d 1x y x yu y u x u y u x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?因 此 ，由此可見，流函數(shù)的物理意義為流場中單位高度的某條流線對應的體積流率。 運動方程 x方向 2222 2 2()x x x x x x xx y zu u u u u u upu u u Xt x y z x x y z? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???可簡化為： 2222 2 2()y y y y y y yx y zu u u u u u upu u u Yt x y z y x y z? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???y方向 可簡化為： 二、流函數(shù) 對于不可壓縮流體的平面流動，存在著一個與 ux， uy都有關(guān)的函數(shù) Ψ(x, y)，該函數(shù)滿足 ( , )xxy uy?? ??( , )yxy ux?? ???該函數(shù)被稱之為流函數(shù)?？梢粤鲃拥木唧w情況，將上述方程簡化后，結(jié)合流函數(shù)的概念進行求解。 下面以直角坐標系下不可壓縮流體的穩(wěn)態(tài)平面流動為例，考察平面流的連續(xù)性方程和運動方程。 上式表明，理想流體作勢流流動時， 流體的動能、壓力能和位能之和保持不變。 22up??最后再看一下 y 方向上的歐拉方程 2( / 2 ) 1upyy???????220upy????????? ??這說明 與 y也無關(guān)。坐標系選擇直角坐標，并取 x， y 的坐標方向為水平方向， z 的坐標方向為垂直向上。 引入速度勢函數(shù)的目的在于將三個速度分量 ux， uy， uz統(tǒng)一用一個變量 φ來 表示，從而可以采用變量代換法對方程進行簡化。 x y zu u ux y z? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?該函數(shù)就被稱為速度勢函數(shù)，簡稱勢函數(shù)。 當流體作無旋運動時，流體的旋度 rotu=0，這時有 yzzxyxuuyzuuzxuuyx????????? ????????? ????????速度勢函數(shù) 當流體作無旋運動時，存在著一個與流體流動在三個方向分速度（ ux， uy， uz）都有關(guān)的流動函數(shù) φ (x,y,z)， 使得 。 當達到穩(wěn)定狀態(tài)時，作用于粒子上的合外力 —— 重力、浮力和阻力 —— 的代數(shù)和應該等于零，即 330 0 0 044 633 sr g r g u r? ? ? ? ? ???其中， r0為小球的半徑， ρs為小球的密度， ρ為流體的密度 從上式可以解出 22 6 300 32 ( ) ( ) ( 8 0 1 0 ) ( 3 0 0 0 9 9 6 . 9 ) 9 . 8 1 7 . 7 8 6 1 0 /9 1 8 1 8 0 . 8 9 7 1 0ssr g d gu m s? ? ? ???? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ???最后要驗證一下流動是否為爬流 63038 0 1 0 7 . 7 8 6 1 0 9 9 6 . 9R e 0 . 6 9 2 10 . 8 9 7 1 0du ?????? ? ? ?? ? ? ??二、勢流運動方程 —— 歐拉方程 因為作勢流流動的流體可以不可慮粘性力的作用，因此重力場中的運動方程 2Du uD Bfpt? ? ?? ? ? ? ?可以簡化為 DuD Bpft ????該方程又被稱為的歐拉方程 第 7節(jié) 勢流與勢函數(shù) 一、勢流的定義 不考慮粘性力影響的流動就是勢流流動，理想流體的流動就是一種勢流流動。s。奧森（ Oseen）在 1910年將運動方程作一級近似，保留部分慣性力后求解，得到的結(jié)果為： 2 4 3 2 41 4 . 516DC R eR e R e??? ? ? ?????Stocks公式和 Ossen公式計算得到的爬流阻力系數(shù)結(jié)果的比較 Re experiment stokes error ossen error % % % % % % % % 與 Stokes公式相比， Ossen公式計算 結(jié)果更準確，其適用范圍 Re5 例： 直徑為 80μm ，密度為 3000 kg/m3的固體粒子在 25℃ 的水中自由沉降，求其沉降速度。即 0s i n dd s r rrAFA????????不可壓縮粘性流體作用于圓球上的剪應力的表達式為： 1 rruuur r r????? ?????? ? ???????于是，在球面上小球所受的剪應力為： 0 003 s i n2r r r ur?? ? ?? ?將其代入摩擦曳力的計算公式中，積分得： 00200230 0 0 000000si n d si n 2 si n d3si n si n 2 si n d 3 si n d2 4ds r rr r r rAF A ru r u rrur?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?????? ? ?????? ??? 所以，小球所受到的總曳力 0 0 0 0 0 02 4 6d d f d sF F F r u r u r u? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?由此可以看出，小球在流體中作爬流流動時，流動阻力 1/3來自于形體曳力， 2/3來自于摩擦曳力。而摩擦曳力的方向與流體的主流方向一致，即 u0方向。 （ 1）球坐標系下爬流的斯托克斯方程 22 2 2 22 2 2 2c otsi nrruup u u ur r r r r????? ?? ???? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ???r方向 22 2 2 2 21 2 2 c ossi n si nr uuup ur r r r?????? ? ???????? ? ? ? ? ???? ? ???θ方向 22 2 2 2 21 2 2 c ossi n si n si n si nru uup ur r r r? ????? ? ? ?? ? ??? ??? ? ? ? ? ???? ? ???φ方向 （ 2）斯托克斯方程的簡化 其中， 2222 2 2 2 21 1 1s i ns i n s i ni i ii u u uur r r rr r r??? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?,ir???由于流動是穩(wěn)態(tài)的，所以 0ut? ??由于流動是軸對稱 (z軸 )的，因此 00,u u??? ???222 2 2 2 2 2 21 2 2 2 2c ot c otr r r rruu u u up uur r rr r r r r r?????????? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????r方向 θ方向 222 2 2 2 2 2 21 1 2 2c otsi nru u u u uupr r rr r r r r? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???φ方向 c o t210rruuuur r r r?? ???? ? ? ? ???方程的邊界條件為 0 ( ) 0 0rr r u u ?? ? ?，球 體 表 面 ， r ?? 00c o s s inru u u u???? ? ?， 0, pp?(無窮遠處 ) p0為外界流體的壓力 將簡化條件帶入上述方程，爬流的運動方程可簡化為 （ 3）斯托克斯方程的求解 上述由 3個偏微分方程組成的偏微分方程組，可采用分離變量法求解，求解的結(jié)果為 3000311 c os22rrruurr ??? ??? ? ?????????3000311 sin44rruurr? ??? ??? ? ?????????000 23 c o s2rp p ur????6. 3 爬流運動方程解的應用 : 求小球在沉降過程中的流動阻力 小球在沉降過程中受到的阻力來自于流體對小球施加的曳力， dF形體曳力 Fdf 摩擦曳力 Fds （ 1）形體曳力 Fdf ＝？ 形體曳力來自于壓應力，壓應力的方向始終垂直于小球表面，而曳力的方向則與流動方向相同，因此形體曳力應該等于小球表面上的壓應力在流動方向上的分量在整個小球表面上的積分。 選擇球坐標，以小球的中心作為坐標原點， θ 方向為余緯度方向 (取沿流動方向為正 θ∈ [0, π])， φ方向為方位角 φ ∈ [0，2π]。 如右圖所示，一半徑為 r0的小球在流體中以 u0的速度作勻速自由沉降運動。 因為雷諾數(shù)的物理意義就是慣性力與粘性力之比 本節(jié)主要研究流體作爬流流動時的速度分布和流動阻力問題 2=up ???2Du guD pt? ? ?? ? ? ? ? ? 爬流的運動方程的建立 重力場中不可壓縮流體的運動方程的向量形式為 上式兩邊同乘以流體的體積 V 得： 2Du guDm p V m Vt ?? ? ? ? ? ?式中，與 m有關(guān)的項代表慣性力（因為質(zhì)量是慣性力大小的量度），將其忽略以后，方程可簡化為 該方程即為流體作爬流流動的運動方程，又稱作斯托克斯方程。 作業(yè)： P73: 3 第 6節(jié) 爬流 一、爬流的定義 爬流又稱為蠕動流，是指雷諾數(shù)很低的流動 (Re1時即為爬流）。流速可以用下面的公式來計算 2 2 249 . 8 1 0 . 0 0 2 5 0 . 1 0 2 /33 3 ( 2 1 0 )mggu m s? ? ??? ??? ? ? ???因此，單位寬度的質(zhì)量流率為 1 0 . 1 0 2 8 0 0 0 . 0 0 2 5 1 0 . 2 0 4 /smm u k g s??? ? ? ? ? ? ? ? ?上述計算結(jié)果僅當液膜內(nèi)流動為層流時才是正確的，因此需要驗算雷諾數(shù)。 運動方程的簡化： 連續(xù)性方程的簡化： 連續(xù)性方程 u 0y zx u uux y z ??? ?? ? ? ? ?? ? ?uy=uz=0（ 一維流動） 0xux? ??得： 運動方程的簡化： x方向 2222 2 2()x x x x x x xx y zu u u u u u upu u u Xt x y z x x y z? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???s inXg ??22( 2) 0 0uuzz??????： ； （ 平 板 無 限 寬 ）( 1 ) : 0ut? ?? （ 穩(wěn) 態(tài) 流 動 ）c osYg ??? 0Z ?(3): uy=uz=0（ 一維流動） 簡化條件： 將上述簡化條件代入后， x方向 運動方程可簡化為： 22s i nxup gxy? ? ??? ???? 22( 4 ) : 0 0xx