定積分的簡單應(yīng)用李用(參考版)
2025-05-02 05:34本頁面
【正文】 S ＝kx. ∴ 所做的功 W ＝????abkxd x ＝ k (3)電車從 A站到 B站所需的時(shí)間 . (1)240 (m) (2)240 (m) (3)20+20+280=320(s) 能力練習(xí) : 4 . A 、 B 兩站相距7 . 2 km，一輛電車從 A 站開往 B 站，電車開出1ts后到達(dá)途中 C 點(diǎn)，這一段 做初速為零的勻 加 速直線運(yùn)動(dòng)加 速度為21. 2 ( )ms，到達(dá)C點(diǎn)速度達(dá)24 ms，從C 點(diǎn)到達(dá) B 站前的 D 點(diǎn)以等速行駛，從 D 點(diǎn)開始剎車 ( 做勻速直線運(yùn)動(dòng) ) ，經(jīng)過2ts后，速度為2( 2 4 1 . 2 )mts?，在B 點(diǎn)恰好停車，試求： ⑴ A 、 C 間的距離； ⑵ B 、 D 間的距離； ⑶電車從 A 站到 B 站所需的時(shí)間 . 3. A 、 B 兩站相距 7 . 2 km ，一輛電車從 A 站開往 B 站，電車開出1ts后到達(dá)途中 C 點(diǎn)，這一段 做初速為零的勻 加 速直線運(yùn)動(dòng)加 速度為21. 2 ( )ms，到達(dá) C 點(diǎn)速度達(dá)24 m s，從 C點(diǎn)到達(dá) B 站前的 D 點(diǎn)以等速行駛，從 D 點(diǎn)開始剎車 ( 做勻速直線運(yùn)動(dòng) ) ，經(jīng)過2ts后，速度為2( 2 4 1 . 2 )mt s?，在 B點(diǎn)恰好停車，試求： ⑴ A 、 C 間的距離；⑵ B 、 D 間的距離；⑶電車從 A 站到 B 站所需的時(shí)間 . 返回 [研一題 ] [例 1] 有一動(dòng)點(diǎn) P沿 x軸運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間 t時(shí)的速度為 v(t)＝ 8t－ 2t2(速度的正方向與 x軸正方向一致 )．求 (1)P從原點(diǎn)出發(fā)，當(dāng) t＝ 6時(shí)，求點(diǎn) P移動(dòng)的路程和離開原點(diǎn)的位移； (2)P從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間 t后又返回原點(diǎn)時(shí)的 t值． [自主解答 ] (1)由 v(t)＝ 8t－ 2t2≥0得 0≤t≤4， 即當(dāng) 0≤t≤4時(shí)， P點(diǎn)向 x軸正方向運(yùn)動(dòng)， 當(dāng) t4時(shí)， P點(diǎn)向 x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)． 故 t＝ 6時(shí)，點(diǎn) P移動(dòng)的路程 返回 s1＝???04 (8 t － 2 t2)d t －???46 (8 t － 2 t2)d t ＝ (4 t2－23t3) |40 － (4 t2－23t3) |64 ＝1283. 當(dāng) t ＝ 6 時(shí) ， 點(diǎn) P 的位移為 ???06(8 t － 2 t2)d t ＝ (4 t2－23t3) |60 ＝ 0. ( 2) 依題意???0t (8 t － 2 t2)d t ＝ 0 ， 即 4 t2－23t3＝ 0 ， 解得 t ＝ 0 或 t ＝ 6 ， t ＝ 0 對(duì)應(yīng)于 P 點(diǎn)剛開始從原點(diǎn)出發(fā)的情況， t ＝ 6 是從原點(diǎn)出發(fā)，又返回原點(diǎn)所用的時(shí)間． 返回 [悟一法 ] 作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)刻 t ＝ a 到時(shí)刻 t ＝ b ( a b ) 所經(jīng)過的路程 s 和位移 s ′ 情況如下： ( 1) 若 v ( t ) ≥ 0 ，則 s ＝????abv ( t )d t ； s ′ ＝????abv ( t )d t . 即 s ＝ s ′ . ( 2) 若 v ( t ) ≤ 0 ，則 s ＝－????abv ( t )d t ； s ′ ＝????abv ( t )d t . 即 s ＝－ s ′ . ( 3) 若在區(qū)間 [ a ， c ] 上 v ( t ) ≥ 0 ，在區(qū)間 [ c ， b ] 上 v ( t ) ＜ 0 ，則 s＝????acv ( t )d t －????cbv ( t )d t ， s ′ ＝????abv ( t )d t . 所以求路程時(shí)要事先求得速度的正負(fù)區(qū)間． 返回 [例 2] 設(shè)有一長 25 cm的彈簧，若加以 100 N的力，則彈簧伸長 30 cm，又已知彈簧伸長所需要的拉力與彈簧的伸長量成正比，求使彈簧由 25 cm 伸長到 40 cm所做的功． [ 自主解答 ] 設(shè) x 表示彈簧伸長的量 ( 單位： m) ， F ( x ) 表示加在彈簧上的力 ( 單位： N) ． 由題意 F ( x ) ＝ kx ，且當(dāng) x ＝ 時(shí)， F ( ) ＝ 100 N ，即 k ＝ 100 ， ∴ k ＝ 2 000. ∴ F ( x ) ＝ 2 0 00 x . ∴ 將彈簧由 25 c m 伸長到 40 c m 時(shí)所作的功為 W ＝ ∫0 . 1 50 2 000 x d x ＝ 1 000 x2|0 . 1 50 ＝ ( J) ． 返回 [通一類 ] 解： 由物理學(xué)知識(shí)易得，壓強(qiáng) P 與體積 V 的乘積是常數(shù) k ，即 PV ＝ k . ∵ V ＝ xS ( x 指活塞與底的距離 ) ， ∴ P ＝kV＝kxS. 2．在底面積為 S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等 溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個(gè)活塞 (面積為 S)從點(diǎn) a處推到點(diǎn) b處，計(jì)算在移動(dòng)過程中，氣體壓力所做的功． 返回 ∴ 作用在活塞上的力 F ＝ P 2qFkr?解 : ro?q? ?a ?b? ? ? ? ? ??1?r由題意 ,所求功為 drrkqw ba?? 2barkq ???????? 1 .11 ?????? ??bakq3. 一物體以速度2( ) 2v t t?( m / s ) 作直線運(yùn)動(dòng) , 媒質(zhì)的阻力 F ( N ) 與速度 v ( m / s ) 的關(guān)系為20 . 7Fv?, 試求在時(shí)刻0t ?( s ) 到2t ?( s ) 這
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