【正文】 第三章 三角恒等變換一、課標(biāo)要求：本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換.，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力，使學(xué)生體會三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會它們在數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.1. 了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會向量方法的作用；2. 理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；3. 運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換，以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步提高運(yùn)用轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的應(yīng)用.二、編寫意圖與特色1. 本章的內(nèi)容分為兩節(jié)：“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“簡單的三角恒等變換”，在學(xué)習(xí)本章之前我們學(xué)習(xí)了向量的相關(guān)知識，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，運(yùn)用向量的知識來予以證明，降低了難度，使學(xué)生容易接受；2. 本章是以兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)來推導(dǎo)其它的公式；3. 本章在內(nèi)容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學(xué)會變換，暗線是發(fā)展推理和運(yùn)算的能力，因此在本章全部內(nèi)容的安排上，特別注意恰時恰點的提出問題，引導(dǎo)學(xué)生用對比、聯(lián)系、化歸的觀點去分析、處理問題，強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)設(shè)計變換思路的意識；4. 本章在內(nèi)容的安排上貫徹“刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末葉的內(nèi)容”的理念，嚴(yán)格控制了三角恒等變換及其應(yīng)用的繁、難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作為變換的依據(jù)，而只把這些公式的推導(dǎo)作為變換的基本練習(xí).三、教學(xué)內(nèi)容及課時安排建議本章教學(xué)時間約8課時，具體分配如下：、余弦、和正切公式 約3課時 約3課時復(fù)習(xí) 約2課時167。）（+=；③； ②=0，則=或=，其中真命題是（ ）A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤四、 鞏固訓(xùn)練（ ）①= ④③⊥(－)，則||②()，即A（1，），也就是= －, =， =3所以3=3+|即=3－3：①|(zhì)),y=2sin(150176。設(shè)=，=，=，且||=2，||=1，| |=3，用與表示 解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系xoy，其中, 是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（3，0），設(shè)A（x，y），則條件知x=2cos(150176。例2 已知O為△ABC內(nèi)部一點，∠AOB=150176。｜≤｜｜+｜｜證明：(1)兩個非零向量與不共線時，+的方向與，的方向都不同，并且｜｜｜｜＜｜177。|≤||+||(試問：取等號的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(||+||)=|－|+|+|.5. 了解實數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）：6. 向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法7. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算（）8. 數(shù)量積（點乘或內(nèi)積）的概念，2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四邊形法則（共起點）和三角形法則（首尾相接）。b＝（ ） (1，2)，B(2，3)，C(2，5)，則△ABC為（ ） =(4，3)，向量b是垂直a的單位向量，則b等于（ ）  =(2，3)，b=(2，4)，則(a+b)時，= 0，== (12， k3) = (1， k3)∴2(1) +3(k3) = 0 ∴k = 當(dāng)C = 90176。求點B和向量的坐標(biāo).解：設(shè)B點坐標(biāo)(x， y)，則= (x， y)，= (x5， y2)∵^ ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29由∴B點坐標(biāo)或；=或 例6 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一個內(nèi)角為直角，求k值.解：當(dāng)A = 90176。b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．記a與b的夾角為θ，則ｃｏｓθ＝又∵０≤θ≤π，∴θ＝評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應(yīng)注重角的范圍的確定.例5 如圖，以原點和A(5， 2)為頂點作等腰直角△OAB，使208。b及｜a｜|ab| ≤ |a||b|5．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：a b = b a數(shù)乘結(jié)合律：(a)b =(ab) = a(b)分配律：(a + b)c = ac + bc二、講解新課：⒈ 平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個非零向量，試用和的坐標(biāo)表示.設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，所以又，所以這就是說：2. 平面內(nèi)兩點間的距離公式八、 設(shè)，則或.（2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式)九、 向量垂直的判定設(shè)，則 十、 兩向量夾角的余弦（） cosq =十一、 講解范例：十二、 設(shè)a = (5， 7)，b = (6， 4)，求a 當(dāng)a與b同向時，ab = |a||b|；當(dāng)a與b反向時，ab = |a||b|. 特別的aa = |a|2或4176。 a^b 219。b=3，則|a+b|=______，|ab|= .|a|=3，|b|=5，且a+λb與a－λb垂直，則λ＝ .五、小結(jié)（略） 六、課后作業(yè)（略）七、板書設(shè)計（略）八、課后記：第9課時三、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角教學(xué)目的：⑴要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示⑵掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，及平面內(nèi)兩點間的距離公式.⑶能用所學(xué)知識解決有關(guān)綜合問題.教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1．兩個非零向量夾角的概念已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.C2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a||b|cosq，（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.4．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1176。(a3b)等于（ ） 3.|a|=3，|b|=4，向量a+b與ab的位置關(guān)系為（ ） |a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150176。b是一個實數(shù)|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為６０176。(2ａ)＝０，即ａｂ＝ｂｂ＝сｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２сｄ＝ｄｂ＝ｂ 7a2 30ab + 8b2 = 0 ②兩式相減：2ab = b2代入①或②得：a2 = b2設(shè)a、b的夾角為q，則cosq = ∴q = 60176。ｂ＋ｂ２三、講解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a 5b垂直，a 4b與7a 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 222。с＋ｂс＋ａс＝ｂｂ)с≠ａ（ｂcosq = ；5176。 ab = 03176。 ea = ae =|a|cosq； 2176。時投影為 |b|；當(dāng)q = 180176。 啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì).求|a+b|；(3)若ab與a垂直，求a與b的夾角.、n是兩個單位向量，其夾角為６０176。且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則(a+2bc)２＝______.|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求a|ab|= .+b=2i8j，ab=8i+16j，其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么a 176。 176?；?80176。180176。ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60176。ｂ＝０；③當(dāng)ａ與ｂ的夾角是60176。＝36（1）＝－18；②當(dāng)ａ⊥ｂ時，它們的夾角θ＝90176?！啵幔猓點os0176?！啵釙r，分別求ａｂ)с≠（ｂс）λс＝（ｂс＝λ（ｂс），∴（ａｂ＝λ（сｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；對于⑦：若ａ與с共線，記ａ＝λс.則ａ｜ｂ｜；對于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，這里θ是ａ與ｂ的夾角，只有θ＝０或θ＝π時，才有｜ａｂ｜＝｜ａ｜ａ＝０；對于②：應(yīng)有０ｂ）с＝ａ（ｂｂ≠０；⑥ａａ＝０；③0－＝；④｜ａ(a3b).例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與akb互相垂直. 例4 判斷正誤，并簡要說明理由.①ａ |ab| ≤ |a||b|三、講解范例：例1 已知|a|=5， |b|=4， a與b的夾角θ=120o，求a 當(dāng)a與b同向時，ab = |a||b|；當(dāng)a與b反向時，ab = |a||b|. 特別的aa = |a|2或4176。 a^b 219。時投影為 |b|.4．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1176。 a(bc) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3．“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0176。 ab = bc 但a 185。0)，則ab=bc 222。0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a185。C2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a||b|cosq，（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學(xué)到兩個向量的外積ab，而ab是兩個向量的數(shù)量的積，“)的充要條件是x1y2x2y1=06．線段的定比分點及λ P1， P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1， P2的任一點，存在實數(shù)λ，使 =λ，λ叫做點P分所成的比，有三種情況：λ0(內(nèi)分) (外分) λ0 (λ1) ( 外分)λ0 (1λ0)7. 定比分點坐標(biāo)公式：若點P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ為實數(shù)，且＝λ，則點P的坐標(biāo)為（），我們稱λ為點P分所成的比.8. 點P的位置與λ的范圍的關(guān)系：①當(dāng)λ＞０時，與同向共線，這時稱點P為的內(nèi)分點.②當(dāng)λ＜０()時，與反向共線，這時稱點P為的外分點.：在平面內(nèi)任取一點O，設(shè)＝ａ，＝ｂ，可得=.10．力做的功：W = |F||s|cosq，q是F與s的夾角.二、講解新課：1．兩個非零向量夾角的概念已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.說明：（1）當(dāng)θ＝０時，ａ與ｂ同向；（2）當(dāng)θ＝π時，ａ與ｂ反向；（3）當(dāng)θ＝時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ；（4）注意在兩向量的夾角定義，176。0 ∴與不平行 ∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD四、課堂練習(xí)：=(2，3)，b=(4，1+y)，且a∥b，則y=（ ） (x，1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（ ） =i+2j， =(3x)i+(4y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量). 與共線，則x、y的值可能分別為（ ），2 ，2 ，2 ，4=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y= .=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2ab平行，則x的值為 .□ABCD四個頂點的坐標(biāo)為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x= .五、小結(jié) （略）六、課后作業(yè)（略）七、板書設(shè)計（略）八、課后記： 167。)三、講解范例：例1已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y.例2已知A(1， 1)， B(1，3)， C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關(guān)