【正文】 邊值條件和常微分方程聯(lián)立構(gòu)成邊值問(wèn)題 ???= =∈ = + ′ + ′ ′β α ) 1 ( , ) 0 () 1 , 0 ( ), (y yx x f py y q y 最簡(jiǎn)單的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題是 ???= =∈ = ′ ′β α ) 1 ( , ) 0 () 1 , 0 ( , 0y yx y《工程數(shù)學(xué)》試題 第 82 頁(yè) 共6 頁(yè)。初值條件和常微分方程聯(lián)立構(gòu)成初值問(wèn)題 0 0 = x???= ′ =∞ + ∈ = + ′ + ′ ′0 0 ) 0 ( , ) 0 () , 0 ( ), (181。（2）一、常微分方程邊值問(wèn)題 以二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性常微分方程為例 ) (x f py y q y = + ′ + ′ ′ 需要兩個(gè)定解條件才可以確定方程的唯一解。二(1) 原式(2) 原式三 四 (1) ? (2) ???? 五，六 （1） 的方向余弦，（2）雅可比矩陣為，所以既為調(diào)和場(chǎng)。七 (6分) 用拉普拉斯變換法求解常微分方程初始值問(wèn)題：八(6分) 設(shè)在z0處解析，且為函數(shù)的一級(jí)極點(diǎn)，且 (1)證明：z0為函數(shù)的一級(jí)極點(diǎn)； (1)求。五（7分）求一個(gè)共性映射，將z平面區(qū)域映射成w平面單位圓 。四 (1) (5分)用定義求函數(shù)的傅里葉逆變換。八．（共4分）證明：由于在內(nèi)解析，取，則由高階導(dǎo)數(shù)公式，有 (A) ()學(xué)分一．填空題（每小題2分，共24分）1．復(fù)數(shù)的三角表示式為 ；2．復(fù)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)在 處可導(dǎo)；3. 復(fù)函數(shù)的的冪級(jí)數(shù)收斂半徑= ；4. 映射將z平面區(qū)域映射成w平面區(qū)域 ；5. ；6. ，其中C為曲線(xiàn) 從到一段；7．設(shè)，則；8．；9．；10．矢量場(chǎng)通過(guò)點(diǎn)(1,1, 1)的矢量線(xiàn)方程為 ；11．?dāng)?shù)量場(chǎng)u=cosx+ siny cosz，則div[grad u]+u=_______；12．已知平面調(diào)和場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)為，則場(chǎng)矢量。 注：此題含兩小題，為基本題，第1小題考查旋度運(yùn)算的基本公式，第2小題考查有勢(shì)場(chǎng)的判斷和勢(shì)函數(shù)計(jì)算。二. （每小題5分，共15分） 解：1. C的參數(shù)方程為 所以 2. 被積函數(shù)f(z)在內(nèi)只有一級(jí)極點(diǎn)和，而 所以 3. 在上半平面有一級(jí)極點(diǎn)i， 所以 ， 因此， 三． （共8分） 解：1． 2． 四． （每小題5分，共10分） 解：1．因 所以 2．因 五．（第一小題4分，第二小題6分，共10分）證明：1． ，所以矢量場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。八．（4分）設(shè)在內(nèi)解析，且，證明。六．（7分）用拉氏變換解微分方程：。四．計(jì)算下列各題（每小題5分，共10分）：1．設(shè)，求的Fourier變換；2．設(shè)，求的拉氏變換。二．計(jì)算下列積分（每小題5分，共15分）：1．，C是0到的直線(xiàn)段；2．，其中C：正向； 3．。C內(nèi)有本性奇點(diǎn)和一級(jí)極點(diǎn)，而 所以3. 在上半平面有二級(jí)極點(diǎn)i， 故有 四．（共8分） 解：1．┈┈（2分）2． 五．（每小題5分，共10分） 解： 1．因 所以 2．因 所以 六．（共8分） 解：設(shè)，對(duì)方程兩邊取拉氏變換得 由此可得 取拉氏逆變換得 七．（共7分）解： 復(fù)合以上四個(gè)映射，即得所求的一個(gè)映射為。 由，得，所以。二.（共8分）解：由，得，由，得， 所以，因此 。八．（4分）設(shè)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，且，證明：。六．（8分）用拉氏變換解微分方程：。四．（8分）將函數(shù)在下列圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)：1．；　 2．。二．（8分）已知一調(diào)和函數(shù)，求一解析函數(shù)，使。其調(diào)和函數(shù) 六．，且所以，七．記?，?八．，所求映射為。C內(nèi)有本性奇點(diǎn)和一級(jí)極點(diǎn)，而所以 三．解：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)。08年2月試卷答案一．填空題 （每題3分，共30分）1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. ；8. ； 9. ； 10. 。七．(8分)用積分變換法求解微分積分方程：，八．(8分)求一個(gè)共形映射將平面的區(qū)域映射成平面上的區(qū)域。五．(8分)證明矢量場(chǎng)為調(diào)和場(chǎng)，并求其一個(gè)調(diào)和函數(shù)。三．（8分）將函數(shù)在下列圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)：； 。二． ，三．1．原式2．原式3．原式四．，1. 2． 五．1. ?2. ???六．原式??七． 八．記?，?九．1.2. 所以，即為常數(shù)。八．（6分）用積分變換法求解常微分方程初始值問(wèn)題： 九．（6分）設(shè)為復(fù)平面上有界解析函數(shù)，證明：1．對(duì)任意復(fù)數(shù)有；2．為常數(shù)函數(shù)。六．（5分）計(jì)算?。三．（15分）計(jì)算下列積分1． ； 2． 3． 四．（8分）將函數(shù)在下列指定的圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)1． ； 2．。 記?，則 ? （2），, 令方程兩邊取變換，得：，即： ， 故 八．(6分)設(shè)復(fù)函數(shù)為復(fù)平面上解析函數(shù)，為的一個(gè)三級(jí)零點(diǎn)，證明：證明：因?yàn)?，其中解析，且，所? 2分 07年12月試卷 3學(xué)分一．填空題（每題2分，共20分）1．復(fù)數(shù)的三角表示式為 ；2．函數(shù)僅在 處可導(dǎo)；3． ；4．已知冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級(jí)數(shù)在處 (填收斂、發(fā)散、可能收斂可能發(fā)散)；5． ；6．分式線(xiàn)性映射將平面區(qū)域共形地映射成平面區(qū)域 ；7．設(shè)?，則? ；8．設(shè)，則? ；9．? ；10．? 。 的勢(shì)函數(shù)為。將映成角形域 將映成單位圓， 故所求映射為： 六．（10分）證明：矢量為有勢(shì)場(chǎng)，并求它的勢(shì)函數(shù)。? （2）已知求的變換?。 二．計(jì)算（每題6分，共12分）1． ； 2． 1．原式 2．原式= 三．（8分）將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)。證明：。七．用積分變換法求解：（每題7分，共14分）(1)。五．（8分）求一個(gè)把角形域}映射成單位圓的映射。四．（每題6分，共12分）（1）求矩形脈沖函數(shù)：的?。10．?dāng)?shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿其矢徑方向的方向?qū)?shù)=　 　 。8．,求?=　　　 。6．映射將平面區(qū)域映射成平面區(qū)域 。4．冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 。 2．若在復(fù)平面內(nèi)處處解析，則常數(shù)= 。05年12月試卷答案一． C A B A A 二． 1 ； 2 ； 3 4； 4. 2+i 5 ； 6 ； 7 ； 8 。八．（7分）求一個(gè)將平面的區(qū)域映射成平面區(qū)域的共形映射。六．（8分）已知平面調(diào)和場(chǎng)的力函數(shù)，求場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)及場(chǎng)矢量。四．（8分）將函數(shù)在下列圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù) 1 ； 2 。8. 矢量場(chǎng)在點(diǎn)處沿矢量方向的環(huán)量面密度=。6. 設(shè)，則? 。4. 已知為解析函數(shù)，且，則 。2． 設(shè)，是從沿曲線(xiàn)到一段，則 。 A ； B ； C ； D 。 A ； B ； C ； D 。 A ；B ；C ；D 。 A ； B ； C ； D 整個(gè)復(fù)平面。A ； B ； C ； D 。174。已知第一臺(tái)加工的零件是第二臺(tái)加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．解：設(shè)：“是第臺(tái)車(chē)床加工的零件”，：“零件是合格品”.由全概公式有　　顯然，故 5．設(shè)，試求⑴；⑵．（已知）解：⑴　⑵6．設(shè)來(lái)自指數(shù)分布，其中是未知參數(shù)，求的最大似然估計(jì)值．解：答案: 解： 似然函數(shù)為　　取對(duì)數(shù)得　　求導(dǎo)得　　　　　令得的最大似然估值四、證明題（本題4分）設(shè)是隨機(jī)事件，試證：證明：由事件的運(yùn)算得 ，且與互斥，由加法公式得 ，又有 ，且與互斥，由加法公式得綜合而得，證畢．工程數(shù)學(xué)11春試題一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分）　 1．設(shè)為階矩陣，則下列等式成立的是（ 　）．　　A． B．　　C． D． 2．方程組相容的充分必要條件是( )，其中，．　　A． B．　　C． D． 3．下列命題中不正確的是（ ）． A．A與有相同的特征多項(xiàng)式 B．若是A的特征值，則的非零解向量必是A對(duì)應(yīng)于的特征向量 C．若=0是A的一個(gè)特征值，則必有非零解 D．A的特征向量的線(xiàn)性組合仍為A的特征向量 4．若事件與互斥，則下列等式中