【正文】 21312 )2(。 例 11 設(shè)有多項式 f (λ) = λ2－ 3λ + 2和矩陣 1 1 20 1 11 2 1A???????????求矩陣多項式 f (A) 。 1 2 31 2 31 2 3x x xX y y yz z z????????? A 與 可交換，即有解 設(shè) 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 31 2 3 1 2 31 0 0 1 0 00 2 0 0 2 00 0 3 0 0 3x x x x x xy y y y y yz z z z z z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于是 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3232 2 2 2 33 3 3 2 3x x x x x xy y y y y yz z z z z z? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?從而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 , 2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 , 3z1 = z1 , 3z2 = 2z2 , 即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 , 所以，與可交換的任一矩陣是 000000abc????????其中 a ， b， c 為任意實數(shù)。 解 由于 AB = BA ，即 1 2 1 21 1 3 2 3 2 1 1a b a b? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?6423524a a bb a bab? ? ???? ? ??????? ???亦即故 a = 8 , b = 6 。 )1 BABA ???. )3 BAAB ?2) AA?? ?七、 可換矩陣及方陣多項式 可換矩陣 設(shè) A、 B 均為 n階方陣，若 AB = BA ，則稱是 可換的 。 解 1123233211112 1 , , 2 1233 3 1??????? ?????? ?????????? ???? ??An = ( αβT )n = αβTαβTαβT … αβT = 3n1A | An | = | 3n1A | = (3n1)n| A | 11231 23321(3 ) 2 131nn??= 0 六、共軛矩陣 定義 定義 7 設(shè) A= 為復(fù)矩陣， 表示 的共軛復(fù)數(shù)，記 )( ijaija).( ijaA ?ija則 稱為 A的共軛矩陣。 證 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T = BTAT + ATBT = － BA－ AB = －（ AB + BA ） 所以， AB + BA 為 n 階反對稱矩陣。 再對 D 的行作 rj ? rn+j （ j = 1, 2, … , n ）， 有 0( 1 ) ,nEDAC???從而有 D = ( － 1 )n|－ E||C| = ( － 1 )n( － 1 )n| C | = | C | = | AB |。).2 AA n???BAAB ?).3 我們僅證明 3），設(shè) A = (aij), B = (bij)。 運(yùn)算律 。 TA + A2TAA2－例 5：設(shè)列矩陣 12nxxx??????????????X = 滿足 XTX = 1， E為 n 階的單位矩陣， H = E － 2XXT, 證明 H 是對稱矩陣，且 HHT = E 。(A + A + AT－ AT ) = 189。 TAA ?則. T AA ??則 例 4 試證任意 n階方陣都可分解為 一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。,2,1( mjni ?? ??? ? ., TTTT ABABCD ?? 也就是即例 2 0 1,1 3 2A???? ????1 7 14 2 32 0 1 ,B????????????求 ( AB )T。 顯然，要證明（ AB )T = BTAT, 只須證明 cji = dij 即可。)( )1 AA TT ?這里僅證明 4） 設(shè) A = ( aij )m s , B = ( bij )s n 。 )2 TTT BABA ???? ? 。 又如 22 1 1 00 1 1 11 0 0 00 2 1 1A????????????? 1 2 4 3 四、矩陣的轉(zhuǎn)置 定義 定義 5 把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的矩陣 , 叫做 A 的轉(zhuǎn)置矩陣 ,記作 AT。 C 表示為向三個商店所發(fā)產(chǎn)品的總值及總重量所構(gòu)成的矩陣 。 AB = ??????????2142?????????? 6342???????? ???1683216?????????? 6342??????????2142?????????0000解： BA= 2. 運(yùn)算律 1) 矩陣的乘法一般不 滿足交換律 2) （ AB） C = A（ BC） 3) λ (AB) = (λA) B = A(λ B), ( 其中 λ為數(shù) )。其中 即 A B = C. 1( 1 , 2 , 。,2,1( njmianm ij ?? ??? 個數(shù)由列的數(shù)表行排成 nm,列矩陣行稱為 nm .矩陣簡稱 nm ? 為表示它是一個整體 , 在這數(shù) 表的兩邊用大圓括 弧把它范圍起來， 并用大寫黑體字母表示 : ???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA??????212222111211 例 產(chǎn)品，其發(fā)送的數(shù)量和單價及單件 的重量都可用矩陣來刻劃 . 若用 表示為工廠向第 i 店發(fā) 送第 j 種產(chǎn)品數(shù)量，則矩陣 ija???????????343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA 表示了工廠向三個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量 . ???????????????4241323122211211bbbbbbbbB表示了這四種產(chǎn)品的單價及單件重量 . ,1 種產(chǎn)品的單價表示第若用 ib i種產(chǎn)品單件的重量表示第 ib i 2:則矩陣????01ija???????????????0101001000011110A4 2 1 3 例 2. 四個城市間的單向 航線如下圖所示 . 若令 從 i市到 j市有一條單向航線 從 i 市到 j 市沒有單向航線 則圖中的航線用矩陣表示為 例 3. ???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA??????212222111211???????????????????nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay????????????2211222212121212111112, , , nn x x x m個變量 與 個變量12, , , my y y 之間的關(guān)系式1 2 1 2, , , , , , ,nmi j i jx x x y y yaa表示了一個從變量 到變量 的線性變換其中 為常數(shù) 這個線性變換的系數(shù) 構(gòu)成矩陣二、矩陣的表示方法 等可用一個大寫字母表示 EDCBA ,:.1tsnm BA ?? ,:.2 表示用大寫字母加上下角標(biāo)表示或 nmijij aAaA ??? )()(.3三 .幾種特殊的矩陣 ???????????????nnnnnnaaaaaaaaaA??????212221211211 ???????????????nnnnaaaaaaA??????00022211211???????????????0001222111211??????nnbbbbbbB ???????????????nnnnnnaaaaaB???????21210000???????????????nnnnaaaaaaA??????21222111000 ????????????????n??????????00000021 ???????????????100010001???????E ),(11211 naaaA ?? ???????????????12111mbbbB? ???????????????000000000???????O 兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相同的矩陣稱為同型矩陣 . 為同型矩陣和如 nmnm BA ?? 為對稱矩陣則稱且設(shè) AaaaA jiijnnij ,)( ?? ?為反對稱矩陣則稱且設(shè) AaaaA jiijnnij ,)( ??? ?( ) , ( )i j m n i j m na a A aA??? ? ? ?設(shè)稱為矩陣 的負(fù)矩陣167。 TDD ?行列式知識點(diǎn) 性質(zhì) ? ??? nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD ???????21 21212222111211)1(展開 計算 ● 行展開 ● 列展開 ?? ??? ???nkkjki jijiDAa1 0?? ??? ???nkjkik jijiDAa1 0● 定義法 ● 遞推法 ● 加邊法 ●