[信息與通信]第三章周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示(參考版)
2025-02-17 17:36本頁面
【正文】 ? 在對(duì)信號(hào)分析的基礎(chǔ)上，研究了 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及 LTI系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)的響應(yīng)。 ? 以周期性矩形脈沖信號(hào)為典型例子，研究了連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)和離散時(shí)間周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)及信號(hào)參量改變對(duì)頻譜的影響。 + 用微分方程所描述的 連續(xù)時(shí)間濾波器舉例 ? 一、簡單 RC低通濾波器 + Vr(t) R Vs(t) C Vc(t) ? 以電壓 Vc(t)為輸出： () ( ) ( )ccsd v tR C v t v tdt??1()1HjR C j?????頻率響應(yīng)： 21| ( ) |1 ( )HjRC?????? 二、簡單 RC高通濾波器 ? 以電阻兩端的電壓 vr(t)為輸出： ()() () srrd v td v tR C v t R Cd t d t???頻率響應(yīng)： ()1j R CGjj R C?????2| ( ) |1 ( )RCGjRC????? 用差分方程描述的 離散時(shí)間濾波器舉例 ? 一、一階遞歸離散時(shí)間濾波器 [ ] [ 1 ] [ ]y n a y n x n? ? ?? 二、非遞歸離散時(shí)間濾波器 [ ] [ ]MkkNy n b x n k????? 小結(jié) Summary 本章主要討論了： ? 復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切 LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 ? 高通濾波器（ Highpass Filter）：通過高頻，而衰減或阻止較低頻率的濾波器。 ? 微分濾波器： ()H j j???在圖像處理中用于邊緣的增晰 ! 頻率選擇濾波器 ? 專門用于完全地或近似地選取某些頻帶范圍內(nèi)的信號(hào)和除掉其它頻帶范圍內(nèi)信號(hào)的濾波器。 ? 頻率選擇性濾波器 :基本無失真的通過某些頻率 ,而顯著地衰減掉或消除掉另一些頻率的系統(tǒng)。 11),()( ???? ?? nunh n)2c o s ()( nNnx ?? ()yn22( ) ( )j k j k nNNnH e h n e???? ?? ? ?? ?20j k nnNne???? ??? ? 211jkNe?????2111 ?? ?aa即： 21()j k nNkky n b e????? ?2()jkNkkb a H e??由 1 21 / 21jNbe?????1 21 / 21 j Nbe??? ??得 221()1jNjNHee???????221()1jNjNHee?????? 濾波 Filtering ? 濾波：改變一個(gè)信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大小，或者全部消除某些頻率分量的過程。 * LTI系統(tǒng)的作用就是通過乘以相應(yīng)頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)值來逐個(gè)地改變輸入信號(hào)的每一個(gè)傅立葉系數(shù)，也就是改變每個(gè)頻率分量的大小。 ()Hs ()Hz如果 sj?? 則 ( ) ( ) jtH j h t e dt?? ? ???? ?()Hj? 被稱為連續(xù)時(shí)間 LTI系統(tǒng)的 頻率響應(yīng) 如果 jze?? 則 ( ) ( )j j nnH e h n e????? ? ?? ?()jHe? 稱為離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)的 頻率響應(yīng) ()jHe? 對(duì) 而言，是以 為周期的。 () ? stx t e( ) ( )? sty t H s e 在離散時(shí)間情況下， LTI系統(tǒng)的輸入是 ,那么輸出是 。 傅里葉級(jí)數(shù)與 LTI系統(tǒng) Fourier Series and LTI Systems LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)所起的作用只是給輸入信號(hào)加權(quán)了一個(gè)相應(yīng)的特征值。 幅度譜：反映諧波分量的幅值隨諧波頻率的變化。從 0到第一個(gè)包絡(luò)線零點(diǎn)的頻譜范圍內(nèi)的諧波分量稱為頻譜寬度，記作Bω和 BΩ。 （ 4）實(shí)際的周期信號(hào)一般都為實(shí)周期信號(hào)，實(shí)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)是共軛對(duì)稱的。 （ 3）在周期信號(hào)的離散頻譜中，每條譜線之間的間隔等于重復(fù)頻率 ω0 ，它與周期（ T或 N是成反比的）成反比。 221 | ( ) | | |kn N k Nx n aN?? ? ?? ????() D F S kx n a? ???周期信號(hào)頻譜的主要特點(diǎn) （ 1）不管是連續(xù)時(shí)間還是離散時(shí)間，周期信號(hào)的頻譜都是離散頻譜，即只在該周期信號(hào)重復(fù)頻率ω0(2π/T或 2 π/N)的整數(shù)倍頻譜點(diǎn)上，才出現(xiàn)譜線。 這表明： 一個(gè)周期信號(hào)的平均功率等于它的所有諧波分量的功率之和。 () D F S kx n a? ??? () D F S ky n b? ???( ) ( ) D F S k l k llNx n y n c a b ?? ? ?? ??? ? ?() D F S kx n a? ???00( ) ( ) ( 1 )jnD F S kx n x n n e a??? ? ? ??? ?3. 時(shí)域內(nèi)插 ()mxn ? ?( / )x n m0n rm?n rm?若 以 N為周期， ()xn則 以 mN為周期。不同的是，離散時(shí)間周期信號(hào)的頻譜具有 周期性 。 1N1N NN?kasinsinxx?121N? ??1N ?三 . DFS的收斂 DFS 是一個(gè)有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)，確定 的關(guān)系式也是有限項(xiàng)的和式，因而 不存在收斂問題 ，也不會(huì)產(chǎn)生 Gibbs現(xiàn)象 。當(dāng) 時(shí)，包絡(luò)的第一個(gè)零點(diǎn)會(huì)遠(yuǎn)離 原點(diǎn)從而使 頻譜主瓣變寬 。 ka s ins inxx?121kNaN?? k rN? 時(shí) 1s i n ( 2 1 )1sinkNNN kN???? 0 , , 2 ,k N N? ? ? ???kkk1 220NN??1 110NN??1 210NN??周期性方波序列的頻譜 ? 當(dāng) 不變、 時(shí)，頻譜的 包絡(luò)形狀不變 ，只是 幅度減小，譜線間隔變小 。即： 2() j k nNkkNx n a e?? ? ?? ? 其中 為 個(gè)相連的整數(shù) NNNk22 ()()j r n j k r nNNkkNx n e a e????? ? ?? ?2 2 2( ) ( )() j r n j k r n j k r nN N Nkkn N n N k N k N n Nx n e a e a e? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?2() j r nN rnNx n e N a??? ? ?????22 ( ) 21( ) ( )0,2()011j k rNj k r n j k r nNNNj k rn N nNeeee?? ????????? ? ? ??? ? ????而 kr?kr?顯然 仍是以 為周期的，對(duì)兩邊求和 2() j rnNx n e ?? N
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