屆總復習-走向清華北大--16任意角和弧度制及任意角的三角函數(參考版)
2025-01-21 18:00本頁面
【正文】 練全能 。 (k∈ R)(此時|sinα|=|cosα|)時 ,其終邊分單位圓為二 ?四等份的情況如下圖 1?圖 2. 表 1: 大小關系 sinαcosα sinαcosα 終邊范圍 圖 1中 Ⅰ 圖 1中 Ⅱ 大小關系 |sinα||cosα| |sinα||cosα| 終邊范圍 圖 2中 1?3 圖 2中 2?4 【 典例 1】 在 (0,2π)內 ,使 sinαcosα成立的 α的取值范圍為 ( ) [解析 ] 由圖 1和表 1可知此題選 B. [答案 ] B 二 ?標象限法 在單位圓中 ,當角 α= (k∈ Z)時 ,角的終邊和坐標軸重合 ,其終邊分單位圓為四個象限的情況如下圖 . 表 2: 在單位圓中 ,當 α= (k∈ Z)時 ,其終邊分單位圓為八等份的情況如上圖 . 表 3: 大小關系 1sinα+cosα≤0 0≤sinα+cosα1 終邊范圍 圖 4中 4?7 圖 4中 3?8 大小關系 1sinαcosα≤0 0≤sinαcosα1 終邊范圍 圖 4中 1?6 圖 4中 2?5 特別地 ,當角 α終邊與坐標軸重合時 ,sinα177。 又由 cosα≥0知 ,α終邊在第一象限 ,或第四象限 ,或 x軸的非負半軸上 . 故 α終邊在第一象限 . [剖析 ] 錯解的解答中由 sinα≥0和 cosα≥0確定 α終邊位置時 ,分別遺漏了 x軸和 y軸的情形 ,造成錯誤 . [正解 ] 由 sinα≥0知 ,α終邊在第一象限或第二象限 ,或 x軸 ,或 y軸的非負半軸上 。 又 sin2θ=2sinθ?cosθ0, 所以 1≤sin2θ0, 即 sin2θ也是第四象限角 , 因此 cos(sin2θ) [反思感悟 ] 此處要正確理解 sin(cosθ)的含義 ,sin(cosθ)中 ,是把角 θ的余弦值 (一個實數 )作為一個角的弧度數 ,求該角的正弦值 ,因此只需研究 cosθ這個角的范圍 (所在象限 )即可 . 錯源一 忽視表示區(qū)間角的不等式兩端的大小關系 【 典例 1】 用集合表示終邊在陰影部分的角 α的集合 . [錯解 ] 由圖可知 ,終邊落在射線 OA上的角為 2kπ+ (k∈ Z),終邊落在射線 OB上的角為 2kπ (k∈ Z). 所以終邊落在圖中陰影部分的集合為 α∈ {α|2kπ+ ≤α≤2kπ ,k∈ Z}. [剖析 ] 上面集合中的關于角的不等式是一個矛盾的不等式 ,左邊的比右邊的大 . [正解 ] 由圖知 ,終邊落在射線 OA上的角為 2kπ+ (k∈ Z),終邊落在射線 OB上的角為 2kπ+ (k∈ Z).所以終邊落在圖中陰影部分的集合為 α∈ {α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈ Z}. [評析 ] 利用終邊相同的角的表達式表示區(qū)域角要把握兩條原則 :(1)按逆時針方向書寫 。(2)當點 P的坐標中含字母時 ,表達 r時要注意分類討論思想的應用 . 【 典例 3】 已知 α的終邊經過點 P(4a,3a)(a≠0),求 sinα?cosα?tanα的值 . [分析 ] 根據任意角三角函數的定義 ,應首先求出點 P到原點的距離 r,由于含有參數 a,要注意分類討論 . [反思感悟 ]
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