第一類曲面積分習題(參考版)
2025-01-10 23:19本頁面
【正文】 解： 設半球殼為上半球殼，即 ? ： 2 2 2z a x y? ? ? ， D ： 2 2 2x y a??；由球面的均勻性，重心在對稱軸 z 軸上，即 0??yx ，且 22 adS ????? ????zdS ?? ?????D dyxa ayxa ?222222 3ada D ???? ?? 所以，??????? dSzdSz22 23 aaa ?? ??，重心坐標為 )2,0,0( a 。 解： 因為錐面、圓柱面均關于 yoz 面對稱，故曲面 ? 關于 yoz 面對稱，而 xyxz? 關于 x 恰好是奇函數， yz 關于 x 是偶函數，從而 x?yz222x y ay?? xy222x y ay??2 sinra??()xy yz zx dS? ???? yzdS???? 12 yzdS?? ?? 1? ： 22z x y??， 1D 如圖所示。 解： 12??? ?? ，其中 1? ： 2 2 2z R x y? ? ?， 2? ： 2 2 2z R x y? ? ? ?； 22222 2 2 2 2 211xyx y Rzz R x yR x y?? ? ? ? ????? D： 2 2 2x y R?? 2zdS???1222z dS z dS?????? ?? 2 2 2 22 2 22 ( )DRR x y dR x y ?? ? ? ? ???? 2 2 22 DR R x y d?? ? ??? 342433R R R??? ? ? 或因為積分曲面具有輪換對稱性，即 2 2 2z d S x d S y d S? ? ????? ?? ??，則 2 2 2 21 ()3z d S x y z d S??? ? ??? ??22 24443 3 3RRd S R R???? ? ? ??? 例 6． 計算積分 ()x y z dS? ????， ? 是上半球面 2 2 2 2x y z? ? ? 被旋轉拋物面 22z x y??截出的頂部。 解 ： 12??
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