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第二章:解析函數基礎(參考版)

2024-10-02 14:00本頁面
  

【正文】 ikzikziz eez ?????? ??? ??12l og2l og 1 ??? ????? ??????? ??? zezzeikzikz?z D?z ? ?z D? ?z Dn z D n? ? n kzinkn ezz ?2a r g ?? ? ?,1,1,0,2a r g0 ?? nkz ??? ?n zz 由 的解析分枝的表達式可知,當 時,對 于 的任一可單值分枝區(qū)域 , 在 取定初值 為 的單值分枝表達式為 ( ) 其中 為 到 的任何曲線 .特別地, ( ) Logz R???z D ?z ? ?Dz ?0000 ??? iezz ?? ? ? ? LL A r gzniiiA r gziz eezez 00ln ?????? ?? ?? Dz ?DL ?0z z? ? LA r gzniinn eezz 0??Dz ? 例 在復平面上以正實軸(包括原點)作剖線 . 在所得的區(qū)域 內取定 在正實軸上岸取正實值的一解析分枝,并求這一分枝在處的值及在正實軸下岸的值(圖 22) 解 在正實軸上岸取定一點 , 按條件 所以 ,因此 在正實軸上岸取正實數值的解析分枝為 在 內作以正實軸上岸的點 為起點,分別以 1和正實軸下岸的點 為終點的 和 則 D ?z ? ?01 ?? ??00 ?x,000 ???? iexx ? 00 ???z? ?LA r gziezz ??? ?D 0x1?1L 2L? ? ? ? .2, 21 ?? ?? LL A r g zA r g z 因此,所求解析分枝在 處的值為 在正實軸下岸的點 的值為 下 1??z? ? ? ? .11 1 iA r g zi ee L ????? ????0x? ??0x ? ? ? ? .202ln002 iixA r gzi exeex L ??????? ??? ? 現在我們來討論 的黎曼面 .當 不是有理數 時,由于 和 的枝點相同,且都可分成 無 窮個單值分枝,故其黎曼面相同 .當 是有理數 時,設 ( 互質), 也是根式函數 .由 于根式函數只有 個不同的單值分枝,故其黎曼 面有所不同 .下面我們先討論 ( 為大于的整數)的黎曼面 . ?z ??z Logz?nm?? nm, mnzn1nzn 如果將平面仍沿正實軸剖開,并如前取定 的 一單值連續(xù)分枝,記為 則由( ) 便得 在這個剖開的平面中的一個單值連續(xù)分枝,記 為 ,即 可見 再作上述剖開平面的一個復本, 但 另取一個分枝記為 , Argz? ?,2a r g0a r g 00 ??? zz1nz10()nz1 01 a r g0( ) .niznnz z e?.2a r g001nz n ???????????Argz z1arg 使 ,從而得到 的另一個單值分 枝 : 因此 .如此繼續(xù)下去,一般, 在第 個剖開的平面復本上,取分枝 , 使 , 從而 得單值分枝 ?? 4a r g2 1 ?? z 1nz11()nz1 11 a r g1( ) .niznnz z e?1124a r g ( ) .nznn????k zkarg? ? ? ?1,1,012a r g2 ????? nkkzk k ???1nz? ?11 arg( ) . 0 , 1 , 1 .kniznnkz z e k n? ? ? 最后,仍像討論 那樣,將上述各分枝所在的平面副 本沿正實軸如下粘連起來:將 所在的那個剖開 的平面正實軸的下岸和 那個平面正實軸的上岸粘 起來 .將后者的下岸又和 所在平面正實軸的上岸粘 起來 .如此繼續(xù)下去一直到把 所在平面正實軸的下 岸與 的正實軸上岸粘起來 . Argz? ?1 0nz? ?1 1nz? ?1 2nz? ?1 2n nz ?? ?1 1n nz ? 這時, 所在平面正實軸的上岸和 的正實軸 的下岸仍保持沒有與別的粘連 .但注意到, 而 ,相應 . 所以,我們仍應把這兩岸粘起來(雖然不能按通常意義 實現),便可使 和 當 越過正實軸時保 連續(xù) . ? ?1 0nz ? ?11nnz?? ?1 0a rg 0nz ?上? ?1 1 2a r g 2n n nz n? ?? ??下 ? ? ? ?1101nnnzz?? 下上? ?1 0nz ? ?1 1n nz ? z 這樣,我們就得到一個“理想”的曲面,它有 個 覆疊層,是 的“黎曼面” .這時, 在這個 層 的理想面上是單值了 .對于 在每一層又 一個值,共有 個不同值(正如預料的那樣) .但 時, 只有一個值 . n1nz 1nz n10 0, nzz?n00 ?z 10nz 0 對于 ( 既約整數),可以證明 (兩端都作多值函數理解),且 的一個單值也是 的一個單值分枝,它的“黎曼面”構造也和 一 樣 .不過當 時,對 無意義,而當 時, (不論哪一單值分枝) . 本段所論,不難推廣到 形的冪函數,敘述不再重復 . mnz nm,11()nn mzz?1nzmnzmnz0?nm ,00 ?z 0mnz 0?z1nz ? ??? ??0zz ?。2l o g39。39。39。z ? ???? s inc o s iz ???? iez ? ?? ,0?z ? ? z 特別值得注意, 且 當且僅當 此外,如果 ,則有 . ( ) 因此,如令 ,則有 ( ) 由( )立即可以檢查:對 來說, 處處成立 .因此, 是全平面 C中的解析函數 .由于它不 是多項式,我們說它是 超越整函數 . ,1,1 22 ????? ?? iii eiee ???1?ze .,2 Jninz ?? ?iyxz ??)s i n( c o s yiyeeeee xiyxiyxz ????? ?ivue z ??.s i nIm,c o sRe yeevyeeu xzxz ????zeze 復指數函數有些性質和實指數函數相似,例如,對任何 , 但也有些性質與實指數函數不同,例如,由( )或直接驗證可知, 是周期函數,以 為周期: . ( ) 從( )形式地逐項求導,可得 . ( ) 這的確是對的,因若 ,則有 , 這從( )立即可得 .用復合函
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