文科考研第六章無窮級(jí)數(shù)(參考版)
2025-05-19 06:01本頁面
【正文】 解 例 5 (1) 0211???? nnnna，正項(xiàng)級(jí)數(shù)， nnn aa 1lim ???所以級(jí)數(shù)收斂； 考慮冪級(jí)數(shù) ??? ?1 1nnxnn ， (2) 它的收斂域是 )1,1( ? ； nnnnnnn2112121lim1?????????用比值判別法， ,121 ??62 考慮冪級(jí)數(shù) ??? ?1 1nnxnn ， (2) 它的收斂域是 )1,1( ? ； 和函數(shù) ??? ??1 1)(nnxnnxS ??? ???1)111(nnxn?????? ???11 11nnnn xnx ,)(11 1 xSxxx ????0?x其中 ?????? 111 11)(nnxnxS ， 逐項(xiàng)求導(dǎo)， ?????11 )(nnxxSxx?? 1 ， 63 ,)(11)( 1 xSxxxxS ???? 0?x所以 ?????1 211n nnn )21(S? 2ln22 ?? . xxxS??? 1)(1所以 )0(d1)( 101SxxxxS x ??? ? ,)1ln ( xx ????于是 )(11)( 1 xSxxxxS ???? )]1l n ([11 xxxxx ???????,)1l n (11 1 xxx ???? ,1||0 ?? x64 (95,6 分 ) 將函數(shù) )21l n ( 2xxy ??? 展開成 x 的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂域 . 題型 5：將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 例 1 解 利用展開式 ???????11)1()1l n (nnnnxx , ]1,1( ??x )21ln ( 2xx ?? )21l n ()1l n ( xx ??????????11)1(nnnnx ???? ???11 )2()1(nnnnx,)2()1(11???? ????nnnnxn??????????12111xx ,2121 ???? x 即收斂域?yàn)??????? ?21,21 . 65 (07,10 分 ) 將 函數(shù)431)( 2???xxxf 展開成 1?x 的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間 . 例 2 解 431)(2 ??? xxxf )1)(4(1??? xx )1141(51???? xx)12 113 1(51 ??????? xx21111013111151???????xx???????????00)2 1(101)3 1(151nnnn xx ,)1](2131[51011????? ????nnnn x???????2|1|3|1|xx ,2|1| ??? x 收斂區(qū)間為 )3,1( ? . 66 解 xxxxxf ????? a r c t a n2111ln41)( 例 3 試將函數(shù) 展開成 x的冪級(jí)數(shù) ,并指出其收斂域 . (Ⅰ94 三 5) 11 121)1 11 1(41)( 2 ???????? xxxxf11 1 4 ??? x ,14????nnx 1|| ?x所以 )0()()( fxfxf ??? ?? x ttf0 d)(,14114??????nnnx 1|| ?x? ????1 04 dnx ntt67 答案 : 將函數(shù)xxxf2121ar c t an)(??? 展開成 x 的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù) ??? ??0 12)1(nnn的和 . 類題 (Ⅰ03 四 12) ].21,21(,124)1(24)( 120?????? ???? xxnxf nnnn?.412)1(0???????nnn68 題型 6：其它 例 1 證 證明 0!2lim ??? nnn nn . 1e2 ?? , nnnnn nnnn !2)1()!1(2l i m11???? ?? nn n )/11(2lim???? 由比值審斂法知級(jí)數(shù) ??? 1!2nnnnn 收斂 , 故 0!2l i m ??? nnn nn . 分析：利用收斂級(jí)數(shù)的必要性來證 . 69 證 設(shè) 21 ?a , )1(211nnn aaa ??? , ),2,1( ??n , 證明： （ 1 ） nna??l i m 存在；（ 2 ）級(jí)數(shù) ??? ??1 1)1(n nnaa 收斂 . （ 1 ）顯然 0?na , ),2,1( ??n , 由基本不等式 , )1(211nnn aaa ??? 11 ???nn aa , 可見數(shù)列 }{ na 有下界； 例 2 (Ⅰ97 六 8) nn aa ??1 )1(21nnaa ?? nnaa21 2?? )0( 0 ?? na , 又 得 nn aa ?? 1 , 即 }{ na 單調(diào)下降 , 由此 , }{ na 收斂 , 70 )1(211nnn aaa ??? 設(shè) aa nn ???lim , )1(21 aaa ?? , ? 1?a （ 1??a 舍去）； （ 2 ）記 11???nnn aab, 則有 1122???nnn aab, 11112221211?????????nnnnnnaaaabb 114)1()1(2222222???????nnnnnaaaaa 22244)1(1nnnaaa???? )(10 ???? n , 由比值審斂法知 , ??? ??1 1)1(n nnaa 收斂 . 對(duì)題設(shè)等式兩邊取極限 ,得 71 END 。 當(dāng) 3??x 時(shí) , 例 4 因?yàn)閚nnn 1)2(3)3( ???? 收斂半徑 nnRnnnnn ???????? ???? ])2(3[)1(])2(3[lim 11 ,3?43 且 ????11)1(nnn 和 ??????11)2(32nnnnn ( 由比值法 ) 都收斂 , 故原級(jí)數(shù)在點(diǎn) 3??x 處收斂 , 所以收斂域?yàn)? )3,3[ ? . 當(dāng) 3??x 時(shí) , 因?yàn)閚nnn 1)2(3)3( ???? ??????1 )2(31nnnn nx,1)2(3 21)1( nn nnnn ??????44 ( 0 1 , 7 分 ) 已知 )( xf n 滿足xnnn xxfxf e)()(1???? ( n 為正整數(shù) ) ，且nf ne)1( ? ，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? 1)(nn xf 的和 . 題型 3：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 例 1 方程化為 xnnn xxfxf e)()( 1???? ， 解 由一階線性方程的通解得 )dee(e)( d1d Cxxxf xxnxn ????? ? ??)d(e 1 Cxx nx ?? ? ? ,)1(e Cxnnx ??代入條件 nf n e)1( ? ，得 0?C ， 所以 nxxfnxn e)( ? ， 45 nxxf nxn e)( ?于是 ???????11e)(nnxnn nxxf ? ?????1 01 denx nx xx? ?
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