自回歸滑動平均模型(參考版)
2025-05-17 08:00本頁面
【正文】 H o m e w o r k : P 41 , E x e r c i s e 1. 。注意，依 ( 3 . 1 1 ) 式，tY也服從 A R M A ( 1 3 , 1 2 ) 模型，其所包含的中階 AR 和 MA 的許多系數(shù)被限制為零。如果{}tY表示若干年的 每月觀測值，我們可以用二向 A N O V A 把數(shù)據(jù)表格化如下： 1 13 2512 24 3619 94 19 95 19 96Januar yDe c e m berY Y YY Y Y 作為一個例子，有2 6 2 5 1 4 1 3( , , )Y f Y Y Y??。則tY不僅依賴 于12,ttYY ??而且也依賴于2,t s t sYY ??。 而差分后所 得過程{} tW滿足 A R M A ( 1 , 1 ) 模型。因而，如果0 0Y ?，則 1011()ttk k k t tkkW Y Y Y Y Y???? ? ? ? ???。 例 設(shè){}tY是 A R I M A ( 1 , 1 , 1 ) 模型，滿足 1( 1 ) ( 1 ) t t tB B Y Z Z?? ?? ? ? ?。 它被稱為融合的，因?yàn)橥ㄟ^求和 ( 把各項(xiàng)融合在一起 ) ，可以恢復(fù){}tY。 在實(shí)踐上，為可能 是 非平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)建模，我們可以運(yùn)用如 下步驟： 1 . 研究 A C F 以確定數(shù)據(jù)是否為平穩(wěn)的； 2 . 如果非平穩(wěn)，可以用差分方法，加工處理數(shù)據(jù)； 3 . 完成差分后，用模型A R M A ( , )pq去擬合差分后的數(shù)據(jù)。對數(shù)函數(shù)的簡單泰勒展式 引導(dǎo)出以下方程： 11ttttPPrP???? 11l o g 1tttPPP???? ??????? 1l o gttPP??1l o g l o gttPP??? 因此，如果我們令l o gttYP ?并且如果我們相信股票的收益率服從白噪聲 過程 ( 即，我們以ttrZ ?建模 ) ，那么，以上推導(dǎo)顯示股票價(jià)格的對數(shù)服 從隨機(jī)游動模型 ARIMA(0,1,0) 。 作為 ARIMA 模型的另一個示例，設(shè)tP表示在第t天結(jié)束時一種股票的價(jià) 格。由此可得2v a rtYt ??。進(jìn)一步，原過程{}tY 是 A R I M A ( 0 , 1 , 1 ) 模型，并且由于它有一個單位根，因而是非因果的。 例 設(shè)ttY t N??? ? ?，使得( 1 )ttB Y Z?? ? ?，其中1t t tZ N N???。 通常，d是一個小整 數(shù)( 3 )?。 設(shè)( 1 )dttW B Y??而且tW是一個 A R M A (,pq) ，( ) ( )ttB W B Z?? ?。 3 . 5 A R I M A 模型 通常在分析一個時間序列之前，我們先要加工處理它 ( 例如，剔除 趨勢 ) 。進(jìn)一步，既然當(dāng)過程包含一個常數(shù)均值時 ACF保持不變，因此，把一個常數(shù)均值加入到 ARMA模型的表達(dá)式中不會改變?nèi)魏螀f(xié)方差結(jié)構(gòu)。與AR和 MA情形一樣， ARMA模型的性質(zhì)通常可以由他們的自相關(guān)函數(shù)來刻畫。于是， 200()i k i iiik? ? ? ??????? ?? ( 0 .5 )k。 那么， 1( ) ( 1 0 .3 ) ( )B B B????? 22( 1 ) ( 1 ( ) )B B B? ? ? ? ? 231 B B? ? ? ? ? 因此，10 .2 ( 0 .5 )ii????，1 , 2 ,i ?，01? ?。 ( )( ) ( )t t t t tBBZ Y B Y Y B ZBB????????? ? ? ? ?????。此時， ( ) ( )( ) 。 其中，()B?和()B?沒有公共根并且()B?是因 果的 [ 即，()B?滿足定 理 3 . 2 ] 而()B?是可逆的 [ 即，()B?滿足定理 3 . 1 ] 。 基于因果性和可逆性的討論，審慎的做法是假定任何給定的 A R M A 模型是 因果的和可逆的。 定義 稱{}tY是 A R M A (,pq) 過程，如果 ( i ) {}tY是平穩(wěn)的； ( i i ) 對于所有的t，( ) ( )ttB Y B Zfq =，其中，2W N ( 0 , )tZ s:。這點(diǎn)也許不 甚合意，因?yàn)槲覀兺ǔＯ胍獢M合一個簡約的模型，即一個未知參數(shù)相對少的 模型。 作為總結(jié)， AR 模型()ttB Y Zf =和 MA 模型()ttY B Zq=的因果性和可逆性之 間的關(guān)系可以表示如下： 1[ ( ) ( ) ]ttBBZYyf=因 果； 1( ) ( )ttBBYZpq輊=犏臌可 逆。 它要么是指數(shù)遞減的 ( 如 區(qū)域 1 中所示 ) 要么是正負(fù)交替 的 ( 如 區(qū)域 2 中所示 ) . 另一方面，當(dāng)根為復(fù)共軛根時 ，其 A C F 的行為類似 于衰減的正弦波 ( 如 區(qū)域 3 和 4 中 所示 ) 。 在 圖 中， 對于不同的1f和2f值， A R ( 2 ) 模型的 ACF 的圖形被展示了 出來。這 方面的詳情可見 B r o c k w e l l 和 D a v i s ( 1 9 9 1 ) 的著作。 給定1f和2f，我們可以解出1p和2p。 于是 2111fa b a b= = 。由因果性，1a ，1b 。同時， 12( 1 ) 1 0f
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