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信息論與編碼-第六章(參考版)

2025-05-16 05:35本頁(yè)面
  

【正文】 如為零,說(shuō)明傳輸無(wú)誤;如余式非零,說(shuō)明該幀有差錯(cuò),須反饋重發(fā)和丟棄。除法器的結(jié)構(gòu)與圖 5-4- 4( b)所示相同,只是接收序列由最左端而不是從 處輸入而已。 信息論與編碼 碼的擴(kuò)展和縮短 接收端校驗(yàn)時(shí),只要將整個(gè)幀除以 g( x)檢查余式是否為零即可。 實(shí)施 CRC編碼時(shí),信息在輸出的同時(shí)由位置輸入移存器,相當(dāng)于信息移 16位后即 )(16 xmx再除以 g( x)。 4m in ?d信息論與編碼 碼的擴(kuò)展和縮短 將該碼所有前 i位為零的碼字去除前 i位后集合在一起就構(gòu)成( n- i, k- i)縮短循環(huán)碼,表現(xiàn)為 k- i信息位加上 16位 CRC組成長(zhǎng)度( n- i)的一個(gè)幀。 151216 ??? xxx1?nx1?nx信息論與編碼 碼的擴(kuò)展和縮短 g( x)本身也是碼字,而且是最輕的碼字,所以本碼的 能糾一個(gè)錯(cuò)誤( t= 1)或檢 3個(gè)差錯(cuò)。 信息論與編碼 碼的擴(kuò)展和縮短 例 5- 4- 6 用于 HDLC, , ISDN和 7號(hào)信令的 CRC- ITU- T循環(huán)冗余校驗(yàn)碼的生成多項(xiàng)式為 1)(51216 ???? xxxxgCRC n- k= 16位 r(x) 信息 k- i位 0~ 15次 16~ ni1次 低次 高次 (先發(fā) ) 帶 CRC的幀結(jié)構(gòu) 信息論與編碼 碼的擴(kuò)展和縮短 根據(jù)循環(huán)碼定義, g ( x)必定是 的因式,而 g( x)= 是本原多項(xiàng)式,它所能整除的 中 n的最小值是 2161,所以, g(x)生成的循環(huán)碼是一個(gè)( 65535, 65519)循環(huán)碼 將該碼所有前 i位為零的碼字去除前 i位后集合在一起就構(gòu)成( n- i, k- i)縮短循環(huán)碼,表現(xiàn)為 k-i信息位加上 16位 CRC組成長(zhǎng)度( n- i)的一個(gè)幀。如把一幀視為一個(gè)碼字,則其校驗(yàn)位長(zhǎng)度 n- k不變而信息位 k和碼長(zhǎng) n是可變的,正符合 (n- i, k- i)縮短循環(huán)碼的特點(diǎn)。 knx ?信息論與編碼 碼的擴(kuò)展和縮短 CRC: 縮短循環(huán)碼的最大應(yīng)用在于幀校驗(yàn),這就是在數(shù)據(jù)通信中大家所熟悉的循環(huán)冗余校驗(yàn)碼 (CRC: Cyclic Redundancy Check)。 信息論與編碼 碼的擴(kuò)展和縮短 ? 這樣,縮短循環(huán)碼的編、譯碼可以借用循環(huán)碼的方法,將消息多項(xiàng)式 m(x)乘以 后 除以 g(x) 即可,所不同的是這里的消息多項(xiàng)式 m(x)由 (ki)項(xiàng)組成而不是 k項(xiàng)組成。 一般來(lái)講,每縮短一位,碼字?jǐn)?shù)目減少一半。 該碼集是原循環(huán)碼碼集的一個(gè)子集,子集里所有碼多項(xiàng)式的階數(shù)均小于 ni且能夠被生成多項(xiàng)式 g(x)整除。 若原碼的校驗(yàn)矩陣為 H, 則擴(kuò)展碼 的校驗(yàn)矩陣為 ^C?????????????1. . .1100^??HH[ 2m1, 2m1m, 3] 漢明碼的擴(kuò)張碼是 [ 2m, 2m1m, 4] 碼 , 它的 中的 H是漢明碼的校驗(yàn) 矩陣 。常用的方法有: 增信,刪余,增余,刪信,及組合 信息論與編碼 碼的擴(kuò)展和縮短 ?擴(kuò)展碼 設(shè) C是一個(gè)最小距離為 d的二進(jìn)制[ n,k,d]線(xiàn)性分組碼, 它的碼字有奇數(shù)重量也有偶數(shù)重量。對(duì)于其二進(jìn)制衍生碼,若以二進(jìn)制信號(hào)在信道上傳送,突發(fā)差錯(cuò)長(zhǎng)度比特時(shí)最多影響到兩個(gè)八進(jìn)制符號(hào)時(shí),可糾正;若突發(fā)差錯(cuò)長(zhǎng)度等于 5時(shí),可能只影響兩個(gè)八進(jìn)制符號(hào),也可能跨三各八進(jìn)制符號(hào),就不一定能糾正了。 信息論與編碼 BCH碼和 RS碼 ?例,一個(gè) 8進(jìn)制( 7, 3) RS碼的 a冪次,多項(xiàng)式及三比特組這三種形式的符號(hào)集如表 67,寫(xiě)出相應(yīng)的 RS碼的生成多項(xiàng)式。第三是 q進(jìn)制 RS碼得二進(jìn)衍生碼具有良好的抗突發(fā)差錯(cuò)能力。碼重多項(xiàng)式第 i次項(xiàng)的系數(shù)(重量為 i的碼字個(gè)數(shù))是 ? RS碼之所以重要,原因之一是該碼的距離特性好,是( MDC)碼。 若 m= 8即 256進(jìn)制,可以將整個(gè) 8比特字節(jié)變?yōu)?RS碼的一個(gè)碼元。對(duì)于給定的 t,求連續(xù)冪次所對(duì)應(yīng)的最小多項(xiàng)式的最小公倍式 如 t=1, 連續(xù)冪次為 a,a2,生成多項(xiàng)式為 g(x)=LCM(m1(x),m2(x))=x3+x+1 生成一個(gè) (7,3)BCH碼,即漢明碼 t=2, g(x)=x6+x5+x4+x3+x2+x+1 生成一個(gè) (7,1)BCH碼。 信息論與編碼 BCH碼和 RS碼 2。計(jì)算這些最小多項(xiàng)式的最小公倍式,得到生成多項(xiàng)式為 g(x)=LCM(m1(x), m2(x), …, m t2(x)) 4. 得到 BCH碼字 c(x)=m(x)g(x) 信息論與編碼 BCH碼和 RS碼 ?例 設(shè)計(jì)一個(gè) n=7的二元本原 BCH碼,求出不同糾錯(cuò)能力下的生成多項(xiàng)式。由關(guān)系式 n=2m1算出 m,查表找到 m次本原多項(xiàng)式P(x),用它產(chǎn)生一個(gè) GF(2m)擴(kuò)域 2。 又因其構(gòu)碼方法帶來(lái)的譯碼特點(diǎn),使之可以用伯利坎普( Berlekamp)迭代譯碼等通用,高效的譯碼算法,以致 BCH碼從 70年代起已成為線(xiàn)性分組碼的主流。 1?nx)1(|)(|)(|)( ?ni xxCxgxm信息論與編碼 BCH碼和 RS碼 ?由近世代數(shù)可進(jìn)一步得知,在二元擴(kuò)域GF(2m)上可把 xn+1分解為如下 n個(gè)根的乘積 式中, a是 GF(2m)上本原元, n=( 2m- 1)。 12 ?? mnmtkn ??12m in ?? td12 ?m信息論與編碼 BCH碼和 RS碼 ? BCH碼的基本特點(diǎn)是其生成多項(xiàng)式 g(x)包含 2t個(gè)連續(xù)冪次的根。 信息論與編碼 BCH碼和 RS碼 BCH碼 ? BCH( Bose: ChaudhuriHocquenghem)碼是循環(huán)碼中一大子類(lèi),它可以是二進(jìn)制碼,也可以是非二進(jìn)制碼。同樣,兼有循環(huán)特征的高萊碼叫作循環(huán)高萊碼,比如用生成多項(xiàng)式 g(x)=x11+x9+x7+x6+x5+x+1 產(chǎn)生的線(xiàn)性( 23,12)高萊碼就是循環(huán)高萊碼。 信息論與編碼 循環(huán)碼 信息論與編碼 循環(huán)碼 一個(gè)碼可以兼有很多的特點(diǎn),循環(huán)特征僅是其中之一。 信息論與編碼 循環(huán)碼 圖 5 10 乘 (x3+x+1)除 (x2+1)電路 信息論與編碼 循環(huán)碼 電路運(yùn)算過(guò)程表 ?循環(huán)碼將生成矩陣簡(jiǎn)化為生成多項(xiàng)式,從而將與編碼矩陣對(duì)應(yīng)的硬件陣列(平面型)簡(jiǎn)化為帶反饋的移存器(直線(xiàn)型)。 信息論與編碼 循環(huán)碼 圖 5 9 乘 (x2+1)除 (x3+x+1)電路 信息論與編碼 循環(huán)碼 若 GF(2)上的多項(xiàng)式 A(x)=x4+x+1, H(x)=x3+x+1, G(x)=x2+1 則 A(x)H(x)=(x4+x+1)(x3+x+1)=x7+x5+x3+x2+1 =(x5+x+1)(x2+1)+x=q(x)G(x)+r(x) 該運(yùn)算可用下圖所示的電路實(shí)現(xiàn) , 它的工作過(guò)程如下表所示 。 如果 H(x)與 G(x)次數(shù)不等, 則只要按 G(x)與 H(x)中最高次數(shù)設(shè)計(jì)移存器級(jí)數(shù) 即可。 信息論與編碼 循環(huán)碼 B(x) 除 x4+x3+1 的運(yùn)算過(guò)程表 信息論與編碼 循環(huán)碼 多項(xiàng)式相乘相除電路 GF(q)上的多項(xiàng)式 A(x)、 H(x)、 G(x)分別為: A(x)=akxk+ak1xk1+… +
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