【正文】 = （ 3﹣ m） = AM= AN= ， 可得 （ 3﹣ m） = ， 解得： m=3﹣ ， 情況 ③AM=NM，此時(shí) M 的橫坐標(biāo)是 ， 過點(diǎn) P 作 PI⊥ OA于 I，過點(diǎn) M作 MG⊥ OA于 G， ∴ MG= ， ∴ QK= = =3， GQ= = ， ∴ KG=3﹣ =， AG= AN=， ∴ OK=2， ∴ m=2， （ 3）當(dāng) 0≤x≤3 時(shí)， 如圖， OI=x， IQ=PI?tan60176。=AQ?sin60176。 即 ∠ MQO=60176。 ∴∠ MNO=60176。； ③如下圖：當(dāng)點(diǎn) Q 與點(diǎn) A重合時(shí)，過點(diǎn) P 作 PE⊥ OA于 E， ∵∠ PQO=60176。 PC=EP， ∴△ BPC≌△ MEP， ∴ BC=PM， ∴ 2（ m﹣ 1） =m， ∴ m=2，此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo)是（ 2， 0）； （ ii）若點(diǎn) E 在 y 軸上（如圖 2）， 過點(diǎn) P 作 PN⊥ y 軸于點(diǎn) N， 易證 △ BPC≌△ NPE， ∴ BP=NP=OM=1， ∴ m﹣ 1=1， ∴ m=2， 此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo)是（ 0， 4）； （ II）當(dāng) 0＜ m＜ 1 時(shí)， BC=2（ 1﹣ m）， PM=m， BP=1﹣ m， （ i）若點(diǎn) E 在 x軸上（如圖 3）， 易證 △ BPC≌△ MEP， ∴ BC=PM， ∴ 2（ 1﹣ m） =m， ∴ m= ，此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo)是（ ， 0）； （ ii）若點(diǎn) E 在 y 軸上（如圖 4）， 過點(diǎn) P 作 PN⊥ y 軸于點(diǎn) N， 易證 △ BPC≌△ NPE， ∴ BP=NP=OM=1， ∴ 1﹣ m=1， ∴ m=0（舍去）， 綜上所述，當(dāng) m=2 時(shí)，點(diǎn) E 的坐標(biāo)是（ 0， 2）或（ 0， 4）， 當(dāng) m= 時(shí)，點(diǎn) E 的坐標(biāo)是（ ， 0）． 15．（ 2020?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，一次函數(shù) （ m 為常數(shù)）的圖象與 x軸交于點(diǎn) A（﹣ 3， 0），與 y 軸交于點(diǎn) C．以直線 x=1 為對(duì)稱軸的拋物線 y=ax2+bx+c（ a， b， c 為常數(shù)，且 a≠0）經(jīng)過 A， C 兩點(diǎn)，并 與 x軸的正半軸交于點(diǎn) B． （ 1）求 m 的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （ 2）設(shè) E 是 y 軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn) E 作直線 AC 的平行線交 x軸于點(diǎn) F．是否存在這樣的點(diǎn) E，使得以 A， C， E， F 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由； （ 3）若 P 是拋物線對(duì)稱軸上使 △ ACP 的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)，過點(diǎn) P 任意作一條與 y軸不平行的直線交拋物線于 M1（ x1， y1）， M2（ x2， y2）兩點(diǎn)，試探究 是否為 定值，并寫出探究過程． 解題思路 ： （ 1）首先求得 m 的值和直線的解析式，根據(jù)拋物線對(duì)稱性得到 B 點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù) A、 B 點(diǎn)坐標(biāo)利用交點(diǎn)式求得拋物線的解析式； （ 2）存在點(diǎn) E 使得以 A、 C、 E、 F 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．如答圖 1 所示，過點(diǎn) E 作 EG⊥ x軸于點(diǎn) G，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形和平行四邊形的性質(zhì)求得 E 點(diǎn)坐標(biāo)和平行四邊形的面積．注意：符合要求的 E點(diǎn)有兩個(gè)，如答圖 1 所示，不要漏解； （ 3）本問較為復(fù)雜，如答圖 2 所示，分幾 個(gè)步驟解決： 第 1 步：確定何時(shí) △ ACP 的周長(zhǎng)最?。幂S對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的原理解決； 第 2 步：確定 P 點(diǎn)坐標(biāo) P（ 1， 3），從而直線 M1M2的解析式可以表示為 y=kx+3﹣ k； 第 3 步：利用根與系數(shù)關(guān)系求得 M M2兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，得到 x1+x2=2﹣ 4k， x1x2=﹣ 4k﹣ 3．這一步是為了后續(xù)的復(fù)雜計(jì)算做準(zhǔn)備； 第 4 步：利用兩點(diǎn)間的距離公式，分別求得線段 M1M M1P 和 M2P 的長(zhǎng)度，相互比較即可得到結(jié)論： =1為定值． 這一步涉及大量的運(yùn)算，注意不要出錯(cuò)，否則難以得出最后的結(jié)論． 解答： 解：（ 1） ∵ 經(jīng)過點(diǎn)（﹣ 3， 0）， ∴ 0= +m，解得 m= ， ∴ 直線解析式為 ， C（ 0， ）． ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c 對(duì)稱軸為 x=1，且與 x軸交于 A（﹣ 3， 0）， ∴ 另一交點(diǎn)為 B（ 5， 0）， 設(shè)拋物線解析式為 y=a（ x+3）（ x﹣ 5）， ∵ 拋物線經(jīng)過 C（ 0， ）， ∴ =a?3（﹣ 5），解得 a= ， ∴ 拋物線解析式為 y= x2+ x+ ； （ 2）假設(shè)存在點(diǎn) E 使得以 A、 C、 E、 F 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形， 則 AC∥ EF 且 AC=EF．如答圖 1， （ i）當(dāng)點(diǎn) E 在點(diǎn) E 位置時(shí)，過點(diǎn) E 作 EG⊥ x軸于點(diǎn) G， ∵ AC∥ EF， ∴∠ CAO=∠ EFG， 又 ∵ ， ∴△ CAO≌△ EFG， ∴ EG=CO= ，即 yE= ， ∴ = xE2+ xE+ ，解得 xE=2（ xE=0 與 C 點(diǎn)重合，舍去）， ∴ E（ 2， ）， S?ACEF= ； （ ii）當(dāng)點(diǎn) E 在點(diǎn) E′位置時(shí)，過點(diǎn) E′作 E′G′⊥ x軸于點(diǎn) G′， 同理可求得 E′（ +1， ）， S?ACE′F′= ． （ 3）要使 △ ACP 的周長(zhǎng)最小，只需 AP+CP 最小即可． 如答圖 2，連接 BC 交 x=1 于 P 點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn) A、 B 關(guān)于 x=1 對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí) AP+CP 最?。?AP+CP 最小值為線段 BC 的長(zhǎng)度）． ∵ B（ 5， 0）， C（ 0， ）， ∴ 直線 BC 解析式為 y= x+ ， ∵ xP=1， ∴ yP=3，即 P（ 1， 3）． 令經(jīng)過點(diǎn) P（ 1， 3）的直線為 y=kx+3﹣ k， ∵ y=kx+3﹣ k， y= x2+ x+ ， 聯(lián)立化簡(jiǎn)得： x2+（ 4k﹣ 2） x﹣ 4k﹣ 3=0， ∴ x1+x2=2﹣ 4k， x1x2=﹣ 4k﹣ 3． ∵ y1=kx1+3﹣ k， y2=kx2+3﹣ k， ∴ y1﹣ y2=k（ x1﹣ x2）． 根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到： M1M2= = = = ∴ M1M2= = =4（ 1+k2）． 又 M1P= = = ； 同理 M2P= ∴ M1P?M2P=（ 1+k2） ? =（ 1+k2） ? =（ 1+k2）? =4（ 1+k2）． ∴ M1P?M2P=M1M2， ∴ =1 為定值． 16．（ 2020?梅州）如圖，矩形 OABC 中， A（ 6， 0）、 C（ 0， 2 ）、 D（ 0， 3 ），射線 l過點(diǎn) D 且與 x軸平行，點(diǎn) P、 Q 分別是 l和 x軸正半軸上動(dòng)點(diǎn)，滿足 ∠ PQO=60176。 ∴△ AGH∽△ PCB， ∴ ， ∵ 拋物線 y=﹣ x2+2mx的對(duì)稱軸為直線 x=m，其中 m＞ 1， 又 ∵ B， C 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱， ∴ BC=2（ m﹣ 1）， ∵ B（ 1， 2m﹣ 1）， P（ 1， m）， ∴ BP=m﹣ 1， 又 ∵ A（ 2m， 0）， C（ 2m﹣ 1， 2m﹣ 1）， ∴ H（ 2m﹣ 1， 0）， ∴ AH=1， CH=2m﹣ 1， ∴ ， ∴ m= ． （ 3） ∵ B， C 不重合， ∴ m≠1， （ I）當(dāng) m＞ 1 時(shí)， BC=2（ m﹣ 1）， PM=m， BP=m﹣ 1， （ i）若點(diǎn) E 在 x軸上（如圖 1）， ∵∠ CPE=90176。利用已知條件證明 △ AGH∽△ PCB，根據(jù)相似的性質(zhì)得到： ，再用含有 m的代數(shù)式表示出 BC， CH， BP，代入比例式即可求出 m 的值； （ 3）存在，本題要分當(dāng) m＞ 1時(shí)， BC=2（ m﹣ 1）， PM=m， BP=m﹣ 1 和當(dāng) 0＜ m＜ 1時(shí)， BC=2（ 1﹣ m）， PM=m， BP=1﹣ m，兩種情況分別討論，再求出滿足題意的 m值和相對(duì)應(yīng)的點(diǎn) E 坐標(biāo)． 解答： 解：（ 1）當(dāng) m=3 時(shí)， y=﹣ x2+6x 令 y=0 得﹣ x2+6x=0 ∴ x1=0， x2=6， ∴ A（ 6， 0） 當(dāng) x=1 時(shí)， y=5 ∴ B（ 1， 5） ∵ 拋物線 y=﹣ x2+6x的對(duì)稱軸為直線 x=3 又 ∵ B， C 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱 ∴ BC=4． （ 2）過點(diǎn) C 作 CH⊥ x軸于點(diǎn) H（如圖 1） 由已知得 ∠ ACP=∠ BCH=90176。 ， ∴ P（ 1177。則 B′D2=B′M2+DM2， 即 t2﹣ 4t+13=（ t2﹣ 2t+8） +（ t2+t+1）， 解得： t1=﹣ 3+ ， t2=﹣ 3﹣ （舍去）， ∴ t=﹣ 3+ ； （ Ⅲ ）若 ∠ B′DM=90176。則 B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可 求得答案； （ 3）分別從當(dāng) 0≤t≤ 時(shí)，當(dāng) ＜ t≤2 時(shí)，當(dāng) 2＜ t≤ 時(shí)，當(dāng) ＜ t≤4 時(shí)去分析求解即可求得答案． 解答： 解：（ 1）如圖 ①， 設(shè)正方形 BEFG 的邊長(zhǎng)為 x， 則 BE=FG=BG=x， ∵ AB=3， BC=6， ∴ AG=AB﹣ BG=3﹣ x， ∵ GF∥ BE， ∴△ AGF∽△ ABC， ∴ ， 即 ， 解得： x=2， 即 BE=2； （ 2）存在滿足條件的 t， 理由：如圖 ②，過點(diǎn) D 作 DH⊥ BC 于 H， 則 BH=AD=2， DH=AB=3， 由題意得： BB′=HE=t， HB′=|t﹣ 2|， EC=4﹣ t， ∵ EF∥ AB， ∴△ MEC∽△ ABC， ∴ ，即 ， ∴ ME=2﹣ t， 在 Rt△ B′ME 中， B′M2=ME2+B′E2=22+（ 2﹣ t） 2= t2﹣ 2t+8， 在 Rt△ DHB′中， B′D2=DH2+B′H2=32+（ t﹣ 2） 2=t2﹣ 4t+13， 過點(diǎn) M 作 MN⊥ DH 于 N， 則 MN=HE=t， NH=ME=2﹣ t， ∴ DN=DH﹣ NH=3﹣（ 2﹣ t） = t+1， 在 Rt△ DMN 中， DM2=DN2+MN2= t2+t+1， （ Ⅰ ）若 ∠ DB′M=90176。則 DM2=B′M2+B′D2，若 ∠ DB′M=90176。 ∴ FD=5 ， 則 C△ EFD=5+10+5 =15+5 ， 由（ 2）可得 C△ COB=3+ ， ∴ C△ EFD： C△ COB=（ 15+5 ）：（ 3+ ） =5： 1． 11．（ 2020?重慶）已知：如圖，在直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC， ∠ B=90176。 ∵ cos∠ BOC=cos30176。= ，即 EC=AEtan30176。； （ 2） ∵ AE=3 ， ∠ A=30176。 又 ∠ BCO=∠ ACE， ∴△ AEC∽△ OBC，又 ∠ A=30176。的值，利用銳角三角函數(shù)定義表示出 OC，用 OE﹣ OC=EC 列出關(guān)于 R 的方程，求出方程的解得到半徑 R的值； （ 3）把 △ OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn) E， F 重合．在EF 的同一側(cè)，這樣的三角形共有 6 個(gè)，如圖所示，每小圖 2 個(gè)，頂點(diǎn)在圓上的三角 形，延長(zhǎng) EO 與圓交于點(diǎn) D，連接 DF，由第二問求出半徑，的長(zhǎng)直徑 ED 的長(zhǎng)，根據(jù) ED 為直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到三角形 EFD 為直角三角形，由∠ FDE 為 30176。 tan∠ ACB= ．如圖，把 △ ABC 的一邊 BC 放置在 x軸上，有 OB=14， OC= ， AC 與 y 軸交于點(diǎn) E． （ 1）求 AC 所在直 線的函數(shù)解析式； （ 2）過點(diǎn) O 作 OG⊥ AC，垂足為 G，求 △ OEG 的面積； （ 3）已知點(diǎn) F（ 10， 0），在 △ ABC 的邊上取兩點(diǎn) P， Q，是否存在以 O， P， Q 為頂點(diǎn)的三角形與 △ OFP 全等，且這兩個(gè)三角形在 OP 的異側(cè)？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解題思路 ： （ 1）根據(jù)三角函數(shù)求 E 點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求解； （ 2）在 Rt△ OGE 中，運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理求 EG， OG 的長(zhǎng)度，再計(jì)算面積； （ 3）分兩種情況討論求解： ①點(diǎn) Q 在 AC 上； ②點(diǎn) Q 在 AB 上．求直線 OP 與直線 AC 的交點(diǎn)坐 標(biāo)即可． 解答： 解：（ 1）在 Rt△ OCE中， OE=OCtan∠ OCE= = ， ∴ 點(diǎn) E（ 0， 2 ）． 設(shè)直線 AC 的函數(shù)解析式為 y=kx+ ，有 ，解得： k= ． ∴ 直線 AC 的函數(shù)解析式為 y= ． （ 2）在 Rt△ OGE 中， tan∠ EOG=tan∠ OCE= = ， 設(shè) EG=3t， OG=5t， OE= = t， ∴ ，得 t=2， 故 EG=6， OG=10，