【正文】 參考文獻(xiàn) 1 El Tani, M., 2021. Circular tunnel in a semiin?nite . (1),49–55. 2 Kolymbas,D.,Wagner,P., ingress to tunnels–the exact analytical (1),23–27. 3 Lei,S., solution for steady ?ow into a tunnel. Ground Water37,23–26. 4 Verruijt,A., Variable Solutions of Elastic Tunneling Laboratory,Delft University of Technology. 5 Verruijt,A.,Booker,., Variable Analysis of Mindlin’s Tunnel Problem. Development of Theoretical Geomechanics 。如果水位在地面以上，近似解 QA2似乎更適合實際應(yīng)用。 近似解可用于 r / h≤ (h≥ ) 的隧道。近似解 QA2似乎給出了水位在地面之上情況下的穩(wěn)定結(jié)果。 一般來說 , 不需考慮沿隧道的邊界條件的 r / h≤ (h≥ r)的隧道現(xiàn)有精確和近似方法都可使用。如預(yù)期的那樣， b = 1, 當(dāng) r/h 1， Q1的涌水率大大增加?？紤]到 ha = h 且 h ﹥﹥ r，涌水量由公式（ 16）中的 Q1或者公式（ 19）中的 QA2表示 )1()11(kh2Q22221??????rhrhb??? 或 )2ln( )1(2 2rhbkhQ A ??? 表 4 不同 b值得涌水量預(yù)測 實線表示 Q1的結(jié)果 ,而虛線表示 QA2的結(jié)果。 通過采用近似 與精確解來研究 H對水下隧道涌水量預(yù)測的影響。下面研究其影響。由于當(dāng) r/h?1 時 0)1//ln ( 22 ??? rhrh ， Q1 為穩(wěn)定值。這也許是因為當(dāng) r/h? 1時 0)1//ln ( 22 ??? rhrh 且 ??1AQ 。 表 3 解的差異 由圖 3，δ 1和δ 2表明近似解 ,QA1和 QA2，當(dāng) r / h = 1015%。 涌水量預(yù)測的差別 為了研究涌水量預(yù)報的精確和近似解的不同以及近似解適用范圍 ,相對誤差 ,如先前 El Tani (2021)圖 3 ,由以下 ）（ %100Q 1 1A11 ??? Q Q? 或 (%)100Q 1 1A22 ??? Q Q? δ 1 與δ 2 表明 Q1（例 1）與 QA1, QA2 (例 2 的近似解 )之間的差異 ,。公式 (18)是 Rat,Schleiss 指出的解決 方法， El Tani (2021)表一 （ 2） h﹥﹥ r情況下的近似解 (深隧道 )。 通過簡單假設(shè) ha = h 且 H =0。 r, y = h)的總水頭也即 ha =h的假定，先前的近似解可確定 (Lei, 1999。公式 (16)與 (17)在 H = 0 和 h為地下水埋深(不是隋道深度 )時適用。 還應(yīng)指出 , 地下水位在地面之上的這種情況也用到公式 (16)與 (17)。 應(yīng)用公式（ 5）給的邊界條件 0,lnc o s)(ln)(321322?????????? ????CHhChnCCHaannn???????? (14) 則， ??? lnlnH2 Hh a ??? (15) 涌水量計算方法 圓形排水隧道單位長度涌水量的體積可有兩種不同情況獲得： ??????????? ? ???????202211)1l n ()(2)(ln2QrhrhHAkHAkdk (16) ??????????? ? ???????202222)1l n ()(2)(ln2rhrhHhkHhkdkQ aa (17) 注意公式 (16)是 El Tani (2021)H = 0的表達(dá)式 ,而公式 (17) 與 Kolymbas和 Wagner (2021)是相同的解決方法。 （ 1）例 1：無水頭壓力 考慮到在ζ軸上ζ = aexp(?θ) ,隧道掌子面的位置水頭可以表示為 ??? ? c os21 )1(2 2?? ?? Ay (11a) 或者以下面這系列的形式 (Verruijt,1996) )c os21( 1?????? n n nAy ?? (11b) 然后應(yīng)用公式（ 4）給的邊界條件 12,ln)(c o s2c o s)(ln)(223211321??????????????????????nnnnnnnACHACnAAnCCH???????????? (12) 則， ??? ??????? 1 2 21 c os)(12lnln )( n nnn n nAHAH ???? ???? (13) 注意公式（ 13）與 El Tani(2021)公式 () H = 0 時的表達(dá)式相同。 地面的邊界條件 常數(shù) C1 可以通過考慮地表的邊界條件 ,即ζ軸上ρ = 1，確定。 保角映射 在 z平面的地面和隧道掌子面可以被保角映射到兩個半徑分別為 1和α的圓上 , 由解析函數(shù)在這個ζ軸上轉(zhuǎn)變 (圖 2)(VerruijtandBooker,2021 年 )。 Kolymbas 和 Wagner,2021) ar h?）（? (5) 應(yīng)該注意到公式 (5)中邊界條件假設(shè)為總水頭恒定，而公式（ 4）中則給出的是沿隧道掌子面變化的總水頭。在地表的邊界條件 (y = 0)可確定的表達(dá)為 Hy ??）（ 0? (3) 在這個圓形隧道的例子中，隧道掌子面的兩種不同邊界條件同樣可以在文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn) (圖1)。注意E1 Tani (2021)將水平面作為參考基準(zhǔn)面，而 Kolymbas 和 Wagner (2021)使用了地面。 ZpW ???? (2) p 為壓力， W? 為水的重度， Z 為位置水頭，它是某一高于或低于基準(zhǔn)面的給定點到基準(zhǔn)面的垂直距離。 根據(jù)達(dá)西定律和質(zhì)量守恒定律，隧道周圍的二維穩(wěn)態(tài)地下水流由下面的拉普拉斯方程描述。 假定一個半徑為 r的圓形隧道處于一完全飽和、均質(zhì)、各向同性、水位水平的多孔介質(zhì)含水層中（圖一）。通過 在兩種不同邊界條件共同的理論框架內(nèi)利用保角映射技術(shù)，重新推導(dǎo)兩種不同邊界條件的解決方法。盡管在文獻(xiàn)中可以找到數(shù)種圓形隧道中涌水量的解析方法，但是由于他們給使用的符號 ,假設(shè)的邊界條件 ,參考資料標(biāo)準(zhǔn)和解決問題的研究方法使得他們彼此之間不能輕易進(jìn)行對比。許多研究人員 (Muscat, Goodma al., Karlsrud, Rat, Schleiss, Lei, 以及 Lombardi),收集精確的和近似的解決方法 , El Tani (2021)列明了這些地下水涌水量預(yù)測方法的巨大差異。 關(guān)鍵詞 :解析解、隧道、地下水流量、半無限含水層 隧道的排水系統(tǒng)設(shè)計和排水系統(tǒng)的環(huán)境影響評價都需要隧道的涌水量預(yù)測值。強(qiáng)調(diào)淺排水圓形隧道隧道掌子面的邊 界條件的合理運用。利用保角映射技術(shù)，在兩種不同邊界條件共同的理論框架下 ,重新推導(dǎo)出簡單封閉條件下的解析解。 El Tani, 2021). (1) Approximate solution by assuming ha = h. By simply assuming ha = h and H =0,Eq. (17) can be simpli?ed as )1ln (2Q22A1 ???rhrhhk? (18) Where subscript A means