【正文】 Service Operations Management, 2021:203~230. [39] Richard E. dynamic pricing of perishable products with stochastic demand and a finite set of prices [J].European Journal of Operational Research,2021 125 :149~174. [40] Beat Burger, Matthias pricing A future airline business model [J].Journal of Revenue and Pricing Management, 2021 4 :39~53. [41] Kyle Y. pricing with realtime demand learning [J].European Journal of Operational Research, 2021 174 :522~538. [42] 商紅巖 .民航客運(yùn)的多等級(jí)動(dòng)態(tài)差別定價(jià)問(wèn)題研究 [碩士學(xué)位論文 ].南京 :南京航空航天大學(xué) ,2021. [43] Yuri Levin,Jeff dynamic pricing of perishable items by a monopolist facing strategic consumers [J].Production and Operations Management Society,2021:1~21. [44] Miguel F. Anjos, Russell . pricing policies for perishable products [J].European Journal of Operational Research, 2021 166 :246~254. 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L. amp。 航空運(yùn)輸業(yè)在一浪高過(guò)一浪的聯(lián)盟大潮中進(jìn)入了新千年，航空業(yè)進(jìn)入一個(gè)新的階段，航空公司競(jìng)爭(zhēng)力受到影響，而低成本航空公司得到長(zhǎng)足發(fā)展。由于航空公司與旅客的博弈是非對(duì)抗性的合作博弈，局中人謀劃共同取得盡可能大的利益，航空公司追求的理想結(jié)局是，在旅客收益 V 0 的基礎(chǔ)上，收益 U 盡可能大。因此，該問(wèn)題是完全信息動(dòng)態(tài)博弈。對(duì)于航空公司，可行方案集為公司可接受最低折扣價(jià)到全價(jià)之間的全 部?jī)r(jià)格集合。在航空公司與旅客間博弈分析基礎(chǔ)上建立定價(jià)模型，進(jìn)行航空機(jī)票票價(jià)研究的相關(guān)研究還比較少見(jiàn)?，F(xiàn)實(shí)中 ，博弈的結(jié)果往往是博弈各方一種博弈策略組合產(chǎn)生的均衡結(jié)果，我們稱之為納什均衡，納什軍是一種僵局，指其他參與人的策略一定沒(méi)有任何人又積極偏離這樣一種均衡的局面。從博弈結(jié)構(gòu)上，合作博弈可以分為兩人合作博弈和多人合作博弈，前者又稱二人討價(jià)還價(jià)問(wèn)題，其解法以 Nash 討價(jià)還價(jià)均衡解最為著名。合作博弈才又迎來(lái)了一個(gè)新的發(fā)展機(jī)遇 [4， 5』。所謂均衡即所以居中參與人的最優(yōu)策略組合，各方博弈產(chǎn)生的結(jié)果是一個(gè)均衡結(jié)果，它可能不是居中各方及整體的利益最大化，但它是在已給信息與知識(shí)條件下的一種必然結(jié)果，因?yàn)槿魏我环礁淖儾呗远鴮?dǎo)致均衡的變化都有可能使自己得到一個(gè)更慘的結(jié)果。為敘述方便 ,設(shè)是群體中的一個(gè)個(gè)體 , 是變異產(chǎn)生的后代 ,先在個(gè)體中隨機(jī)地選擇一個(gè)分量 代表一個(gè) ODF 的解 ,然后選擇一個(gè)服從的 ,用代替 ,以得到 ,即。將針對(duì)所有 ODF 的二進(jìn)制編碼基因片斷聯(lián)接起來(lái) ,構(gòu)成問(wèn)題的整體基因鏈碼 .考慮到實(shí)際情況的約束 ,對(duì)可依賴艙位剩余容量和其它 ODF 已有解推算的部分 ODF,不納入編碼范圍 .如在單航段、 2艙位時(shí) ,只對(duì)高等級(jí)艙位進(jìn)行 編碼 ,低等級(jí)艙位的座位分配值可由剩余座位數(shù)減去 高 等級(jí) 優(yōu)化 結(jié)果 得到 。 ,其中表示該 ODF 的需求座位數(shù)大于等于 i 的概率值 k 的取值同中的定義。 而 DMP 模型 [69,70,71]是對(duì) PMP 模型的近似運(yùn)算 ,即將 PMP 中的簡(jiǎn)單地用其期望值代替 ,文 [71]的研究表明 ,DMP 過(guò)高估計(jì)了期望收 益 ,可以認(rèn)為 DMP 的運(yùn)算結(jié)果為其它模型的研究提供了一個(gè)上限值。記為系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)后隊(duì)長(zhǎng) N 的概率分 布，注意到對(duì)個(gè)數(shù)為 s 的多服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)，有 （ 17） 和 （ 18） 記，當(dāng)時(shí)，有 （ 19） 故有 （ 20） 其中 （ 21） 事（ 20）和式（ 21）給出了再平衡條件下系統(tǒng)中顧客為 n 的概率，當(dāng)時(shí)，即系統(tǒng)中顧客數(shù)大于或等于服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，這是再來(lái)的顧客必須等待，因此記 （ 22） 式（ 22）稱 Erlang 等待公式，它給出了顧客 到底系統(tǒng)時(shí)需要等待的概率。對(duì)單服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)系統(tǒng)，由已得到的平穩(wěn)狀態(tài)下隊(duì)長(zhǎng)的分布，可以得到平均隊(duì)長(zhǎng) （ 9） 平均排隊(duì)長(zhǎng)為 （ 10） 對(duì)于顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間，可說(shuō)明它服從參數(shù)為的復(fù)指數(shù)分布，即 （ 11） 因此，平均逗留時(shí)間 （ 12） 因?yàn)?，顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間為等待時(shí)間和接受服務(wù)時(shí)間之和，故由 （ 13） 可得平均等待時(shí)間為 （ 14） 從式（ 9）和（ 11），可發(fā)現(xiàn)平均隊(duì)長(zhǎng)宇平均逗留時(shí)間具有關(guān)系 （ 15） 同樣，從式（ 10）和（ 13），可以發(fā)現(xiàn)平均對(duì)長(zhǎng)和平均等待時(shí)間具有關(guān)系 （ 16） 式（ 15）與（ 16）通常稱為 Little 公式。 單服務(wù)臺(tái)等待制模型 是指：顧客的相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)為 1，服務(wù)時(shí)間 V 服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)空間無(wú)限，允許無(wú)限排隊(duì)，這是一類最簡(jiǎn)單的排隊(duì)系統(tǒng)。第一個(gè)符號(hào) X 表示顧客到達(dá)流或顧客到達(dá)間隔時(shí)間的分布；第二個(gè)符號(hào) Y 表示服務(wù)時(shí)間的分布；第三個(gè)符號(hào) Z 表示服務(wù)臺(tái)數(shù)目；第四個(gè)符號(hào) A 是系統(tǒng)容量限制；第五個(gè)符號(hào) B 是顧客源數(shù)目；第六個(gè)符號(hào) C 是服務(wù)規(guī)則，如先到先服務(wù) FCFS，后到先服務(wù) LCFS 等。 （ 2） ?優(yōu)化問(wèn)題，又 分靜態(tài) ?優(yōu)和動(dòng)態(tài) ?優(yōu)，前者指 ?優(yōu)設(shè)計(jì)。由于顧客到達(dá)和服務(wù)時(shí)間的隨機(jī) 性。 排隊(duì)是在日常生活中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，如顧客到商店購(gòu)買物品、病人到醫(yī)院看病常 常要排隊(duì)。但總的來(lái)說(shuō)，我國(guó)對(duì)收益管理理論的深入研究還剛剛起步，國(guó)際研究水平還有一段距離。彭際華（ 2021）既構(gòu)造了壟斷情況下的動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，也提出了存在競(jìng)爭(zhēng)航班時(shí)的動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，比較全面的分析了航空公司對(duì)動(dòng)態(tài)定價(jià)模型的應(yīng)用 [49]。目前對(duì)競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下航空公司收益管理研究較為成熟的也是關(guān)于 艙位控制，不過(guò)近年來(lái)對(duì)于競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下采用動(dòng)態(tài)定價(jià)方法確定最優(yōu)機(jī)票價(jià)格的研究也逐步增多。 通過(guò)以上描述可容易看出，根據(jù)價(jià)格范圍限制的不同，動(dòng)態(tài)定價(jià)模型可以區(qū)分為離散價(jià)格型和連續(xù)價(jià)格型，而在構(gòu)造動(dòng)態(tài)定價(jià)模型時(shí)，較常用到的數(shù)學(xué)方法有微積分方法和動(dòng)態(tài)遞歸方法。 Yuri Levin 和 Jeff McGill 等（ 2021）也在假設(shè)價(jià)格為連續(xù)型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用動(dòng)態(tài)遞歸方法構(gòu)造了一個(gè)易腐蝕產(chǎn)品的最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，與上述模型不同的是，該文將旅客效用明確考慮進(jìn)來(lái)，以航空公司和旅客作為博弈雙方，雙方分別以航班期望收益最大化和旅客效用最大化為目標(biāo)進(jìn)行博弈，結(jié)果表明該博弈存在戰(zhàn)略均衡解，模型算例證明如果航空公司忽略旅客選擇行為那么其收益將會(huì)受到損害 [43]。他將潛在旅客分為虛旅客和實(shí)旅客兩種，并假設(shè)潛在旅客總量服從參數(shù)為 c ， α 的負(fù)二項(xiàng)分布，然后以價(jià)格、剩余艙位存量和參數(shù) c ， α 作為決策變量、運(yùn)用動(dòng)態(tài)遞歸方法構(gòu)造了一個(gè)較為復(fù)雜的收益函數(shù) [41]。價(jià)格離散變化時(shí)，最優(yōu)價(jià)格只能在預(yù)先給定的價(jià)格集中選??；連續(xù)變動(dòng)時(shí)，一般假設(shè)最優(yōu)價(jià)格 p∈ [0， +∞ 。理論上來(lái)說(shuō)，采用動(dòng)態(tài)定價(jià)方法可以確定每一銷售狀態(tài)下的機(jī)票價(jià)格，也就是說(shuō)該方法已經(jīng)隱含了對(duì)艙位的控制，并且其重心在于與旅客需求聯(lián)系更為直接、更為緊密的定價(jià)方面。 對(duì)于收益管理定價(jià)方法的有效性， Theodore C. Botimer（ 1996）從經(jīng)濟(jì)學(xué)效率的角度對(duì)其進(jìn)行了分析，他認(rèn)為制定差別定價(jià)體系可以保證旅客在供給大于需求的情況下按最大支付意愿購(gòu)買機(jī)票，使艙位的分配效率達(dá)到最佳，使社會(huì)和航空公司效益最大化 [35]。 Weatherford[34]曾提出了價(jià)格與艙位控制決策的綜合公式，但由于 收入函數(shù)的表達(dá)式較為復(fù)雜，至今沒(méi)有計(jì)算出結(jié)果。這可能使得航班裝滿了僅對(duì)網(wǎng)絡(luò)收益有邊際貢獻(xiàn)的旅客。個(gè)優(yōu)化艙位分配提供了組影子價(jià)格，航段的競(jìng)價(jià)簡(jiǎn)單定義為航段上個(gè)影子價(jià)格的平均。這種線性要求通常并不滿足，然而，他們也證明當(dāng)運(yùn)力和銷售量巨大時(shí)，競(jìng)價(jià)政策是漸進(jìn)優(yōu)化的。其主要思想是：建立前面提到的確定型線性規(guī)劃模型，用期望需求代替隨機(jī)需求作為模型中的約束條件，用該模型的對(duì)偶價(jià)格來(lái)建立網(wǎng)絡(luò)中不同航節(jié)上每增加一個(gè)艙位的邊際價(jià)值，旅客路線經(jīng)過(guò)的航節(jié)上的對(duì)偶價(jià)格累加起來(lái)作為該路線的近似的替換成本（一般稱之為該路線的投標(biāo)價(jià)），作為可接受票價(jià)的下限邊界值。因此嵌套順序基于： 其中表示航段上運(yùn)力限制的影子價(jià)格。 按照的觀點(diǎn)，使用組合對(duì)網(wǎng)絡(luò)收益的凈貢獻(xiàn)來(lái)確定訂座限。隨機(jī)模型沒(méi)有需求限制條件，但依然使用平均需求增加一個(gè)所產(chǎn)生的額外收益來(lái)設(shè)定嵌套順序，額外需求的估計(jì)可以通過(guò)使用增加一個(gè)平均需求的模型重新優(yōu)化，把新的目標(biāo)函數(shù)值和原來(lái)的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較得到。嵌套順序應(yīng)該基于組合對(duì)網(wǎng)絡(luò)收益的貢獻(xiàn)，按票價(jià)等級(jí)排序沒(méi)有考慮票價(jià)水平，按票價(jià)水平排序沒(méi)有考慮飛行航段的載運(yùn)率。這是一種將起訖點(diǎn)客流分類歸并到數(shù)量有限的單航段訂座等級(jí)中的技術(shù)，這種方法是評(píng)估起訖點(diǎn)客流對(duì)航空公司的價(jià)值，按照這種評(píng)估 價(jià)值而不是它的價(jià)格，將起訖點(diǎn)客流分配到當(dāng)前航段的訂座等級(jí)集合中。在研究網(wǎng)絡(luò)艙位分配的博士論文中也是采用網(wǎng)絡(luò)模型，先針對(duì)單票價(jià)問(wèn)題建模，然后拓展到多等級(jí)情況下。這種模型的優(yōu)點(diǎn)是容易求解并能非常迅速地重新優(yōu)化。網(wǎng)絡(luò)收益管理主要應(yīng)用了數(shù)學(xué)規(guī)劃方法、虛擬嵌套、投標(biāo)價(jià)格等方法。不僅要考慮單個(gè)航班的航段上的問(wèn)題，還要考慮顧客整個(gè)航程可能包括多個(gè)聯(lián)程航班以及整個(gè)營(yíng)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)上的問(wèn)