整環(huán)里的因子分解-wenkub.com
2025-06-18 08:45 本頁面
【正文】 (2) 由相伴元的定義可得 2 的相伴元只有 2 與 2 。221 ???，于是 239。 2. 證 D是整環(huán)，顯然?，F(xiàn)設(shè)b m n i??是a的因子，則? ? ,a b c c Z i??， 于是2 2 29 a b c??， 而 對,m n Z?? 2 223b m n? ? ?，因而有21b ?或 9 ， 當21b ?時， b 為單位。 2 、證明：2nmD m Z?????，nZ?，0n ? ???是整環(huán)，并指出 D 的哪些元素是單位，哪些是素元。因此，?只有平凡因子，即?是不可約元。 若2| | 9? ?，則?必是環(huán)[ 5 ]Zi的不可約元。 若pb，同理可得a是單位 ，b與p相伴。 定理 . 4 環(huán) K 中素元一定是不可約元 。這樣， b 既不是單位，也不是 a 的相伴元， b 是 a 的真因子。 證明 若 a 有真因子 b , 那么 a = bc 這里的 b 由真因子的定義不是單位。設(shè) 1( ) ( )b a a? ? ? ????，（?是單位）。 下證a?是 K 中 的 不可約元。 (ii ) , 。 否則， 稱a為環(huán)K的一個 可約元 。 于是， 5 的全部真因子共有 8 個，它們是12 i??，2 i??。 即?是單位，?與 5相伴。 （ 2 ）設(shè)a b i? ??是 5 在? ?Zi中的任一真因子 ， 則存在 ? ?Zi? ?， 使 得5 ???，2225 ???。 例 2 求出高 斯 整環(huán)? ?Zi中的所有單位以及整數(shù) 5 在? ?Zi 中的所有真因子。 由于 K 的單位元 1 是可逆的，所以1 G?。 2 、 整環(huán)的單位 的 性 質(zhì) ： 定理 設(shè) 環(huán)K的全體單位組成的集合為G，則G對K的乘 法構(gòu) 成一個交換群。 1 才是單位，因此 在整數(shù) 環(huán) Z 中 兩個整數(shù)相伴當且僅當這兩數(shù)相等或只相差一 個符號；數(shù) 域 P 上的一元多項式環(huán)? ?Px中 的單位是全 體零次多項式，? ?Px中 兩個多項式相伴當且僅當這兩 個多項式只相差一個非零常數(shù)因子 。 （ 3 ）若ab ??，其中?是 K 的一個單位，則稱a與b相伴 ，并稱a是b的 相伴元 。 定義 1 設(shè),a b K?，K? ?
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